センター試験.数Ⅱ･B-三角関数(2015～)

← PC用は別頁

=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには，次の色をクリック

◎内側の色を変えるには，次の色をクリック

◎標準文字色を変えるには，次の色をクリック

== センター試験.数Ⅱ･B-三角関数(2015～) ==

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 Oを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ, 2sinθ), Q(2cosθ+cos7θ, 2sinθ+sin7θ)を考える。ただし， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}$ とする。

(1)　OP=ア，PQ=イである。また
OQ2=ウ+エ(cos7θcosθ+sin7θsinθ)
=ウ+エcos(オθ)
である。

よって， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}$ の範囲で，OQはθ=

カ

のとき

最大値 $\sqrt{\hspace{30px;}}$ キ　をとる。

解説を読む

(1)
$\rm{OP}=\sqrt{2^2\cos^2\theta+ 2^2\sin^2\theta}$
$=\sqrt{4(\cos^2\theta+ \sin^2\theta)}=2$ →ア
$\rm{PQ}=\sqrt{\cos^27\theta+ \sin^27\theta}=1$ →イ
$\rm{OQ^2}=(2\cos\theta+ \cos7\theta)^2+(2\sin\theta+ \sin7\theta)^2$
$=4\cos^2\theta+ 4\cos\theta\cos7\theta+\cos^27\theta$
$+ 4\sin^2\theta+ 4\sin\theta\sin7\theta+\sin^27\theta$
$=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+ 4(\cos\theta\cos7\theta+\sin\theta\sin7\theta)$
$+(\cos^27\theta+\sin^27\theta)$
$=5+ 4(\cos\theta\cos7\theta+\sin\theta\sin7\theta)$ →ウ,エ
$=5+ 4\cos(7\theta-\theta)$
$=5+ 4\cos6\theta$ →オ
$\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}$ のとき

$\frac{3\pi}{4}\underset{=}{\lt}6\theta\underset{=}{\lt}\frac{3\pi}{2}$ だから $-\frac{\sqrt{2}}{2}\underset{=}{\lt}\cos 6\theta\underset{=}{\lt}0$

$6\theta=\frac{3\pi}{2}$ すなわち $\theta=\frac{\pi}{4}$ のとき→カ
OQは最大値 $\sqrt{5}$ をとる→キ →解説を隠す←

(2)　3点O, P, Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。
　直線OPを表す方程式はクである。クに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪ (cosθ)x+(sinθ)y=0

① (sinθ)x+(cosθ)y=0

② (cosθ)x−(sinθ)y=0

③ (sinθ)x−(cosθ)y=0

　このことにより， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}$ の範囲で，3点O, P, Qが一

直線上にあるのはθ=

ケ

のときであることがわかる。

(3)　∠OQPが直角となるのはOQ= $\sqrt{\hspace{30px;}}$ コ　のときである。したがって， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}$ の範囲で，∠OQPが直角と

なるのはθ=

サ

シ

πのときである。

解説を読む

(2)
直線O(0, 0), P(2cosθ, 2sinθ)を表す方程式は
$y=\frac{2\sin\theta-0}{2\cos\theta-0}x$
$y=(\tan\theta)x$

分母を払った形で， $(\sin\theta)x-(\cos\theta)y=0$ と書けば，cosθ=0の場合でも表せる→③ク

Qが直線O, P上にあれば，3点O, P, Qが一直線上にあるから
$\sin\theta\times(2\cos\theta+ \cos 7\theta)-\cos\theta\times(2\sin\theta+\sin 7\theta)=0$
$2\sin\theta\cos\theta+\sin\theta\cos 7\theta$
$-2\sin\theta\cos\theta-\sin 7\theta\cos\theta=0$
$\sin\theta\cos 7\theta-\sin 7\theta\cos\theta=0$
$\sin(7\theta-\theta)=0$
$\sin(6\theta)=0$
ただし， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow \frac{3\pi}{4}\underset{=}{\lt}6\theta\underset{=}{\lt}\frac{3\pi}{2}$
の範囲だから
$6\theta=\pi$
$\theta=\frac{\pi}{6}$ →ケ

(1)のア,イの結果から，右図のようにOP=2, PQ=1だから，∠OQPが直角となるのは
$\rm{OQ}=\sqrt{3}$ →コ
(1)のオの結果から
$\rm{OQ}=5+ 4\cos6\theta=3$
$\cos6\theta=-\frac{1}{2}$
ただし， $\frac{\pi}{8}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow \frac{3\pi}{4}\underset{=}{\lt}6\theta\underset{=}{\lt}\frac{3\pi}{2}$
の範囲だから
$6\theta=\frac{4\pi}{3}$
$\theta=\frac{2\pi}{9}$ →サ,シ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　すべて，教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべきものです．

→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔2〕 kを正の定数として
$\cos^2x-\sin^2x+ k\Big(\frac{1}{\cos^2x}-\frac{1}{\sin^2x}\Big)=0$ 　･･･①
を満たすxについて考える。

(1)　 $0\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たすxの個数について考えよう。
　①の両辺に $\sin^2x\hspace{2}\cos^2x$ をかけ，2倍角の公式を用いて変形すると

$\Big($

$\sin^22x$

チ

$-k\Big)\cos 2x=0$ 　･･･②

を得る。したがって，kの値に関係なく，x=

ツ

のと

きはつねに①が成り立つ。また， $0\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ の範囲で

$0\lt\sin^22x\underset{=}{\lt}1$ であるから，k>

テ

ト

のとき，①を満た

すxは

ツ

のみである。一方，0<k<

テ

ト

のとき，

①を満たすxの個数はナ個であり，k=

テ

ト

のとき

はニ個である。

解説を読む

(1)
$\sin^2x\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)+ k\sin^2x\cos^2x\Big(\frac{1}{\cos^2x}-\frac{1}{\sin^2x}\Big)=0$
$\big(\frac{\sin 2x}{2}\big)^2\cos 2x+ k\big(\sin^2x-\cos^2x\big)=0$
$\big(\frac{\sin 2x}{2}\big)^2\cos 2x-k\cos 2x=0$
$\big(\frac{\sin^2 2x}{4}-k\big)\cos 2x=0$ →チ
したがって，kの値に関係なく， $\cos 2x=0$ すなわち， $2x=\frac{\pi}{2}$ ，すなわち $x=\frac{\pi}{4}$ のとき→ツ
つねに①が成り立つ．

• $k\gt\frac{1}{4}$ のとき
$\frac{\sin^2 2x}{4}-k=0$
となるxの値はないから，①を満たすxは，上記の $x=\frac{\pi}{4}$ のみである．

• $0\lt k\lt\frac{1}{4}$ のとき
$0\lt\sin^2 2x=4k\lt 1$ ･･･(#1)

ここで $0\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ のとき， $0\lt 2x\lt \pi$ だから
$0\lt\sin 2x\underset{=}{\lt}1$ ･･･(#2)

(#1)(#2)より
$0\lt\sin 2x=\sqrt{4k}\lt 1$
となるxは2個あるから，①を満たすxは， $x=\frac{\pi}{4}$ を加えて，合計3個→ナ

• $k=\frac{1}{4}$ のとき
$\sin 2x=1$
となるxは， $x=\frac{\pi}{4}$ ．これは， $\cos 2x=0$ の解と重なるから，①の解は1個→ニ
→解説を隠す←

(2)　 $k=\frac{4}{25}$ とし, $\frac{\pi}{4}\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たすxについて考えよう。

②により $\sin 2x=$

ヌ

ネ

であるから

$\cos 2x=$

ノハ

ヒ

である。したがって

$\cos x=$

$\sqrt{\hspace{30px;}}$ フ　

ヘ

である。

解説を読む

(2)

$k=\frac{4}{25},\hspace{5}\frac{\pi}{4}\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ のとき
①の解のうちで， $\cos 2x=0$ からは解が出ない．
$\frac{\sin^22x}{4}=\frac{4}{25}$
$\sin^22x=\frac{16}{25}$ ･･･(#3)

ただし， $\frac{\pi}{4}\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ より， $\frac{\pi}{2}\lt 2x\lt \pi$
したがって， $\sin 2x\gt 0,\hspace{5}\cos 2x\lt 0$ ･･･(#4)
(#3)(#4)より
$\sin 2x=\frac{4}{5}$ →ヌ,ネ
$\cos 2x=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{-3}{5}$ →ノハ,ヒ
したがって
$\cos 2x=2\cos^2x-1=-\frac{3}{5}$
$\cos^2x=\frac{1}{5}$

$\frac{\pi}{4}\lt x\lt\frac{\pi}{2}$ だから $\cos x\gt 0$
$\cos x=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ →フ,ヘ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　すべて，教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべきものです．

→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕連立方程式

$\cos 2\alpha+ \cos 2\beta=\frac{4}{15}$ 　･･･①
$\cos\alpha\cos\beta=-\frac{2\sqrt{15}}{15}$ 　･･･②
を考える。ただし，0≦α≦π, 0≦β≦πであり，α<βかつ
|cosα|≧|cosβ|
とする。このとき，cosαとcosβの値を求めよう。

　2倍角の公式を用いると，①から

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=$

アイ

ウエ

が得られる。また，②から， $\cos^2\alpha\hspace{2}\cos^2\beta=$

オ

である。

解説を読む

(1)
2倍角公式を用いて変形する
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
$\cos 2\beta=2\cos^2\beta-1$
を①に代入すると
$2\cos^2\alpha-1+ 2\cos^2\beta-1=\frac{4}{15}$
$2(\cos^2\alpha+ \cos^2\beta)=\frac{34}{15}$
$\cos^2\alpha+ \cos^2\beta=\frac{17}{15}$ →アイ,ウエ
また，②の辺々を2乗すると
$\cos^2\alpha\cos^2\beta=\frac{4}{15}$ →オ →解説を隠す←

　したがって，条件③を用いると

$\cos^2\alpha=$

カ

キ

， $\cos^2\beta=$

ク

ケ

である。よって，②と条件0≦α≦π, 0≦β≦π, α<βから

$\cos\alpha=$

コ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ サ　

シ

$,\hspace{2}\cos\beta=$

ス $\sqrt{\hspace{30px;}}$ セ　

ソ

である。

解説を読む

以上から， $\cos^2\alpha$ と $\cos^2\beta$ は，和が $\frac{17}{15}$ 積が $\frac{4}{15}$ である2数だから，次の2次方程式の２つの解になる
$x^2-\frac{17}{15}x+\frac{4}{15}=0$
$15x^2-17x+ 4=0$
$(5x-4)(3x-1)=0$
$x=\frac{1}{3},\hspace{3}\frac{4}{5}$
条件③により， $|\cos\alpha|\underset{=}{\gt}|\cos\beta|$ だから
$\cos^2\alpha=\frac{4}{5},\hspace{3}\cos^2\beta=\frac{1}{3}$ →カキ,クケ
②と条件0≦α≦π, 0≦β≦π, α<βから
$\cos\beta\lt 0\lt\cos\alpha$
$\cos\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ →コ,サ,シ
$\cos\beta=-\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ →ス,セ,ソ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　すべて，教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべきものです．

→解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕
(1)　１ラジアンとは，アのことである。アに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪ 半径が1，面積が1の扇形の中心角の大きさ
① 半径がπ，面積が1の扇形の中心角の大きさ
② 半径が1，弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
③ 半径がπ，弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2)　144°を弧度で表すと

イ

ウ

πラジアンである。

また， $\frac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すとエオカ°である。

解説を読む

(1)

半径がr，弧の長さがℓの扇形の中心角θを，弧度法で $\theta=\frac{l}{r}$ （ラジアン）と定義される．したがって，r=1，弧の長さがℓ=1の②の場合，θ=1となる．→ア

扇形の面積は $S=\frac{1}{2}rl$ で求められ，⓪，①の場合，中心角は1ラジアンにならない｡

(2)

【弧度法⇔度数法の変換】
　度数法（60分法）で表された角度θ°を弧度法の角度xラジアンに直すには，次の比例式を用いるとよい．
180° : θ°=π : x
⇒180x=θπ

180° : 144°=π : x
⇒180x=144π
$x=\frac{144}{180}\pi=\frac{4}{5}\pi$ (ラジアン)→イ,ウ
また
$180^{\circ}\hspace{2}:\hspace{2}\theta^{\circ}=\pi\hspace{2}:\hspace{2}\frac{23}{12}\pi$
$\theta\pi=180\times\frac{23}{12}\pi$
$\theta=180\times\frac{23}{12}=345$ →エオカ(°)
→解説を隠す←

(3)　 $\frac{\pi}{2}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\pi$ の範囲で
$2\sin\big(\theta+\frac{\pi}{5}\big)-2\cos\big(\theta+\frac{\pi}{30}\big)=1$ 　･･･①
を満たすθの値を求めよう。
　 $x=\theta+\frac{\pi}{5}$ とおくと，①は

$2\sin x-2\cos\Big(x-$

キ

$\Big)=1$

と表せる。加法定理を用いると，この式は

$\sin x-$ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ク　 $\cos x=1$
となる。さらに，三角関数の合成を用いると

$\sin\Big(x-$

ケ

$\Big)=$

コ

と変形できる。 $x=\theta+\fra{\pi}{5}\hspace{2},\hspace{5}\frac{\pi}{2}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\pi$ だから，

θ=

サシ

スセ

πである。

解説を読む

(3)
$x=\theta+\frac{\pi}{5}$ とおくと，①は
$2\sin x-2\cos\big(x-\frac{\pi}{6}\big)=1$ →キ
と表せる．加法定理を用いると
$2\sin x-2(\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6})=1$
$2\sin x-\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$ →ク
三角関数の合成公式を用いると
$2(\sin x\times\frac{1}{2}-\cos x\times\frac{\sqrt{3}}{2})=1$
$2\sin(x-\frac{\pi}{3})=1$
$\sin(x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$

ここで， $x=\theta+\fra{\pi}{5}\hspace{2},\hspace{5}\frac{\pi}{2}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\pi$ だから
$\frac{7\pi}{10}\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}\frac{6\pi}{5}$
$\frac{11\pi}{30}\underset{=}{\lt}x-\frac{\pi}{3}\underset{=}{\lt}\frac{13\pi}{15}$
$x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}(=\frac{25\pi}{30}\lt\frac{26\pi}{30}=\frac{13\pi}{15})$
$x=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$
$\theta=x-\frac{\pi}{5}=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{5}=\frac{29}{30}\pi$ →サシ,スセ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　加法定理，合成公式とも基本問題であるが，計算が込み入っているので，計算間違いに気を付けて，ていねいに進めるとよい．

→解説を隠す←

解説を読む

（参考）
1) 和差⇒積の公式により，同種の三角関数（ $\sin A$ と $\sin B$ ， $\cos A$ と $\cos B$ ）の和［差］）の変形ができる
$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+ B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+ B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+ B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+ B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

1’) 異種の三角関数（ $\sin A$ と $\cos B$ など）の和差）の変形公式はない
$\sin A\pm\cos B=??$

2) 角度が同じなら，振幅が違っても，合成公式がある．
$a\sin A+ b\cos A=\sqrt{a^2+ b^2}\sin(A+\alpha)$
$a\sin A+ b\cos A=\sqrt{a^2+ b^2}\cos(A-\beta)$
3) 以上の内容に反して??（以上の内容を踏まえて??），三角関数の種類を変えると，変形公式が使えることがある．
$\sin A+\cos B=\sin A+\sin(\frac{\pi}{2}-B)$ など

　※南極から攻めてもよい
これにより，元の問題が加法定理，合成公式を併用するのに対して，１つの変形で解答する別解を作れる
（ただし，途中経過,キ,ク,ケ,コは，当然埋められない）

→解説を隠す←

解説を読む

（別解の答案）
$\cos\big(\theta+\frac{\pi}{30}\big)=\sin\big(\frac{\pi}{2}-\theta+\frac{\pi}{30}\big)=\sin(\frac{7}{15}\pi-\theta)$
だから
$\sin\big(\theta+\frac{\pi}{5}\big)-\sin(\frac{7}{15}\pi-\theta)=\frac{1}{2}$
$2\cos\frac{\pi}{3}\sin(\theta-\frac{2\pi}{15})=\frac{1}{2}$
$\sin(\theta-\frac{2\pi}{15})=\frac{1}{2}$

ここで， $\frac{\pi}{2}\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\pi\Longrightarrow\frac{11\pi}{30}\underset{=}{\lt}\theta-\frac{2\pi}{15}\underset{=}{\lt}\frac{13\pi}{15}$ により
$(\frac{11\pi}{30}\lt)\theta-\frac{2\pi}{15}=\frac{5\pi}{6}(=\frac{25\pi}{30}\lt\frac{26\pi}{30}=\frac{13\pi}{15})$
$\theta=\frac{2\pi}{15}+\frac{5\pi}{6}=\frac{29}{30}\pi$ →サシ,スセ
→解説を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕関数f(θ)=3sin2θ+4sinθcosθ−cos2θを考える。

(1)　f(0)=アイ， $f(\frac{\pi}{3})=$ ウ+ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ エ　である。

(2)　2倍角の公式を用いて計算すると，

$\cos^2\theta=$

$\cos 2\theta+$ オ

カ

となる。さらに，sin2θ,

cos2θを用いて f(θ)を表すと
f(θ)=キsin2θ−クcos2θ+ケ　･･･①
となる。

解説を読む

(1)
f(0)=0+0−1=−1→アイ
$f(\frac{\pi}{3})=3\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+ 4\times(\frac{\sqrt{3}}{2})\times(\frac{1}{2})-(\frac{1}{2})^2$
$=\frac{9}{4}+ \sqrt{3}-\frac{1}{4}=2+\sqrt{3}$ →ウ,エ
(2)
余弦の2倍角公式より
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)$
$=2\cos^2\alpha-1$
$\cos^2\alpha=\frac{\cos 2\alpha+ 1}{2}$ →カ,オ
$f(\theta)=2\times 2\sin\theta\cos\theta+ 3\times\frac{1-\cos 2\theta}{2}-\frac{\cos 2\theta+ 1}{2}$
$=2\sin 2\theta-2\cos 2\theta+ 1$ →キ,ク,ケ
→解説を隠す←

(3)　θが0≦θ≦πの範囲を動くとき，関数f(θ)のとり得る最大の整数の値mとそのときのθの値を求めよう。
　三角関数の合成を用いると，①は

f(θ)=コ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ サ　 $\sin\Big(2\theta-$

シ

$\Big)+$ ケ

と変形できる。したがって，m=スである。
　また，0≦θ≦πにおいて，f(θ)=スとなるθの値

は，小さい順に，

セ

，

ソ

である。

解説を読む

(3)

【三角関数の合成公式】
$a\sin\theta+ b\cos\theta=\sqrt{a^2+ b^2}\sin(\theta+\alpha)$

ただし， $\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}},\hspace{5}\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}$

$2\sin 2\theta-2\cos 2\theta+ 1=2\sqrt{2}\sin(2\theta-\frac{\pi}{4})+ 1$
ここで，0≦θ≦πのとき
0≦2θ≦2π
$-\frac{\pi}{4}\underset{=}{\lt}2\theta-\frac{\pi}{4}\underset{=}{\lt}\frac{7\pi}{4}$
だから
ア）
$2\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\rightarrow\theta=\frac{\pi}{4}$ →セ
イ）
$2\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\rightarrow\theta=\frac{\pi}{2}$ →ソ
→解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 0≦θ<2πのとき

(1)　 $\sin\theta\gt\sqrt{3}\cos\big(\theta-\frac{\pi}{3}\big)$ 　･･･①
となるθの値の範囲を求めよう。
　加法定理を用いると

$\sqrt{3}\cos\Big(\theta-\frac{\pi}{3}\Big)=$

$\sqrt{\hspace{30px;}}$ ア　

イ

$\cos\theta+$

ウ

イ

$\sin\theta$

である。よって，三角関数の合成を用いると，①は

$\sin\Big(\theta+$

エ

$\Big)\lt 0$

と変形できる。したがって，求める範囲は

オ

カ

π<θ<

キ

ク

である。

解説を読む

(1)
$\sqrt{3}\cos\big(\theta-\frac{\pi}{3}\big)=\sqrt{3}\big(\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{3}\big)$
$=\sqrt{3}\big(\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\big)$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta$ →ア,イ,ウ
したがって，①は次の形に書ける
$\sin\theta\gt\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}\sin\theta$
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta\lt 0$
$\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta\lt 0$
$2\big(\sin\theta\times\frac{1}{2}+\cos\theta\times\frac{\sqrt{3}}{2}\big)\lt 0$
$2\big(\sin\theta\times\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\times\sin\frac{\pi}{3}\big)\lt 0$
$2\sin(\theta+\frac{\pi}{3})\lt 0$
$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})\lt 0$ →エ
0≦θ<2πのとき
$\frac{\pi}{3}\underset{=}{\lt}\theta+\frac{\pi}{3}\lt\frac{7\pi}{3}$ だから
$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})\lt 0$ となるのは
$\pi\lt\theta+\frac{\pi}{3}\lt 2\pi$
$\frac{2}{3}\pi\lt\theta\lt\frac{5}{3}\pi$ →オ,カ,キ,ク
→解説を隠す←

(2)　 $0\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{2}$ とし，kを実数とする。sinθとcosθはxの2次方程式25x2−35x+k=0の解であるとする。このとき，解と係数の関係によりsinθ+cosθとsinθcosθの値を考えれば，k=ケコであることがわかる。
　さらに，θがsinθ≧cosθを満たすとすると，

sinθ=

サ

シ

，cosθ=

ス

セ

である。このとき，θは

ソを満たす。ソに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪ $0\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{12}$

① $\frac{\pi}{12}\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{6}$

② $\frac{\pi}{6}\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{4}$

③ $\frac{\pi}{4}\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{3}$

④ $\frac{\pi}{3}\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{5}{12}\pi$

⑤ $\frac{5}{12}\pi\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{2}$

解説を読む

(2)
2次方程式の解と係数の関係より

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{35}{25}$ ･･･(#1)
$\sin\theta\cos\theta=\frac{k}{25}$ ･･･(#2)
(#1)²−(#2)×2により，sinθ, cosθを消去する
$1=\big(\frac{35}{25}\big)^2-\frac{2k}{25}$
$\frac{2k}{25}=\big(\frac{35}{25}\big)^2-1=\frac{10\times 60}{25^2}$
2k=24
k=12→ケコ
25x2−35x+12=0を解くと
(5x−3)(5x−4)=0
$x=\frac{3}{5},\hspace{3}\frac{4}{5}$
sinθ≧cosθにより
$\sin\theta=\frac{4}{5},\hspace{5}\cos\theta=\frac{3}{5}$ →サ,シ,ス,セ
$0\underset{=}{\lt}\theta\underset{=}{\lt}\frac{\pi}{2}$ において，関数 $\sin\theta$ は単調増加関数

-表1-
$\theta$ $ \theta $	0	$\frac{\pi}{6}$ $ \dfrac{\pi}{6} $	$\frac{\pi}{4}$ $ \dfrac{\pi}{4} $	…	$\frac{\pi}{3}$ $ \dfrac{\pi}{3} $	$\frac{\pi}{2}$ $ \dfrac{\pi}{2} $
sinθ	0	0.5	0.707..	0.8	0.86..	1

上の表1により， $\frac{\pi}{4}\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}$ が成り立つ．
したがって，当然， $\frac{\pi}{4}\underset{=}{\lt}\theta\lt\frac{\pi}{3}$ が成り立つ．→③ソ
→解説を隠す←

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る