【センター試験 2006年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 0°≦θ<180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える. sinθ=tとおけば cos2θ=ア−イ t ウ であるから,y=f(θ)とおくと y=−エ t ウ+オ t +カ である.したがって,yの最大値はであり,最小値はケである. また,aが0°<α<90°を満たす角度でf(α)=3のとき sin(α+30°)= である. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
[2] 不等式
2log3 x−4logx 27≦5 ……(*) が成り立つようなxの値の範囲を求めよう. (1) 不等式(*)において,xは対数の底であるから x>セ かつ x≠ソ を満たさなければならない.また logx 27= である. (2) 不等式(*)は セ<x<ソのとき チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≧0 x>ソのとき チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≦0 と変形できる.したがって,求めるxの値の範囲は セ<x≦, ソ<x≦ヌネ である. セHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ヌHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ネHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
【センター試験 2007年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 不等式 sin 2x>cos(x+)+ を満たすxの範囲を求めよう.ただし,0≦x<2πとする. a=sin x, b=cos xとおくと,与えられた不等式は アab+イa−ウb−1>0 となる.左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると <x<πまたはπ<x<π である. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
[2] 不等式
2+log3<log y81+2 log y(1−) の表す領域を求めよう. yとは対数の底であるからy>サ, y≠シである.真数は正であるからx<スである.ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という. また log3=, logy81= であるから,与えられた不等式は 1<+ となる.よって y>チのとき,log3y<log3{ ツ(1−)} テ<y<チのとき,log3y>log3{ ツ(1−)} となる.
求める領域を図示すると,次の図のトの影をつけた部分となる.ただし,境界(境界線)は含まない.トに当てはまるものを,次の0〜3のうちから一つ選べ.
![]() ![]() ![]() ![]() |
サHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
【センター試験 2008年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 実数x, yは を満たしている.このとき K=+3−log10x の最小値を求めよう. 真数の条件によりx>アである.ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という.次に,(*)により 5y=イ·3log10x−1 である.z=3log10xとおくと,5y>0であるから,zのとり得る値の範囲は z> となる.さらに K=z+− となるから,Kはz=キのとき,最小値をとる.このと き,x=コ , y=logサシである. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
[2] aを正の定数とする.点Oを原点とする座標平面において,中心がOで,半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1 , C2とする.θ≧0を満たす実数θに対して,角aθの動径
とC1との交点をPとし,角−の動径とC2との交点をQと する.ここで,動径はOを中心とし,その始線はx軸の正の部分とする. (1) θ=πのとき,Qの座標は( , セ)である. (2) 3点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は π である.θが 0≦θ≦π の範囲を動くとき,円C2において点Qの軌跡を弧とする π である. (3) 線分PQの長さの2乗PQ2は ナ−ニsin(θ) である. (4) xの関数f(x)を f(x)=ナ−ニsin(x) とおき,f(x)の正の周期のうち最小のものが4πであるとすると, a=である. スHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ヌHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ネHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ノHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ハHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ヒHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
【センター試験 2009年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき,z=log2+log2 yの最大値を求めよう. s=log2x , t=log2 yとおくと,s, t, s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ s≧ア , t≧ア , イ≦s+t≦ウ となる.また z= s+t が成り立つから,zはs=カ , t=キのとき最大値をとる. したがって,zはx=コ , y=サのとき最大値をとる. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
[2] 0≦θ<2πの範囲で
5 sin θ−3 cos 2θ=3 ……(*) を満たすθについて考えよう. 方程式(*)をsin θを用いて表すと シsin2θ+5 sinθ−ス=0 となる.したがって,−1≦sin θ≦1より sinθ= であり,0≦θ<2πの範囲での範囲でこの等式を満たすθのうち,小さい方をθ1,大きい方をθ2とすると cosθ1= , cosθ2= である. θ1について不等式ツが成り立つ.ツに当てはまるものを,次の0〜5のうちから一つ選べ. 0 0<θ1< 1 <θ1< 2 <θ1< 3 <θ1< 4 <θ1< 5 <θ1< ただし,必要ならば,次の値 cos= , cos= を用いてもよい. さらに,不等式nθ1>θ2を満たす自然数nのうち最小のものはテである. シHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
セHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |