【センター試験 2006年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　0°≦θ<180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える．

sinθ=tとおけば

cos2θ=ア−イ t ウ

であるから，y=f(θ)とおくと

y=−エ t ウ+オ t +カ

である．したがって，yの最大値はであり，最小値はケである．
　また，aが0°<α<90°を満たす角度でf(α)=3のとき

sin(α+30°)=

である．

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[2]　不等式
2log3 x−4logx 27≦5 ……(*)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう．

(1)　不等式(*)において，xは対数の底であるから
x>セ かつ x≠ソ
を満たさなければならない．また
logx 27= である．

(2)　不等式(*)は
　セ<x<ソのとき
チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≧0
　x>ソのとき
チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≦0
と変形できる．したがって，求めるxの値の範囲は セ<x≦, ソ<x≦ヌネ である．

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【センター試験 2007年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　不等式
sin 2x>cos(x+)+
を満たすxの範囲を求めよう．ただし，0≦x<2πとする．
a=sin x, b=cos xとおくと，与えられた不等式は
アab+イa−ウb−1>0
となる．左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
<x<πまたはπ<x<π である．

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[2]　不等式
2+log3<log y81+2 log y(1−)
の表す領域を求めよう．
　yとは対数の底であるからy>サ, y≠シである．真数は正であるからx<スである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．
　また
log3=, logy81=
であるから，与えられた不等式は 1<+
となる．よって y>チのとき，log3y<log3{ ツ(1−)}
テ<y<チのとき，log3y>log3{ ツ(1−)}
となる．
01 23

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【センター試験 2008年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　実数x, yは
……(*)
を満たしている．このとき K=+3−log10x
の最小値を求めよう．
　真数の条件によりx>アである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．次に，(*)により
5y=イ·3log10x−1
である．z=3log10xとおくと，5y>0であるから，zのとり得る値の範囲は
z>
となる．さらに K=z+−
となるから，Kはz=キのとき，最小値をとる．このと
き，x=コ , y=logサシである．

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[2]　aを正の定数とする．点Oを原点とする座標平面において，中心がOで，半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1 , C2とする．θ≧0を満たす実数θに対して，角aθの動径
とC1との交点をPとし，角−の動径とC2との交点をQと
する．ここで，動径はOを中心とし，その始線はx軸の正の部分とする．

(1)　θ=πのとき，Qの座標は( , セ)である．

(2)　３点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は π である．θが
0≦θ≦π の範囲を動くとき，円C2において点Qの軌跡を弧とする扇(おうぎ)形の面積は
π である．
(3)　線分PQの長さの２乗PQ2は
ナ−ニsin(θ) である．

(4)　xの関数f(x)を f(x)=ナ−ニsin(x) とおき，f(x)の正の周期のうち最小のものが4πであるとすると， a=である．

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【センター試験 2009年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき，z=log2+log2 yの最大値を求めよう．
　　s=log2x , t=log2 yとおくと，s, t, s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ
s≧ア , t≧ア , イ≦s+t≦ウ
となる．また
z= s+t
が成り立つから，zはs=カ , t=キのとき最大値をとる． したがって，zはx=コ , y=サのとき最大値をとる．

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[2]　0≦θ<2πの範囲で
5 sin θ−3 cos 2θ=3 ……(*)
を満たすθについて考えよう．
　方程式(*)をsin θを用いて表すと
シsin2θ+5 sinθ−ス=0
となる．したがって，−1≦sin θ≦1より
sinθ=
であり，0≦θ<2πの範囲での範囲でこの等式を満たすθのうち，小さい方をθ1，大きい方をθ2とすると cosθ1= , cosθ2=
である．
　θ1について不等式ツが成り立つ．ツに当てはまるものを，次の0〜5のうちから一つ選べ． 0 0<θ1< 1 <θ1< 2 <θ1< 3 <θ1< 4 <θ1< 5 <θ1< ただし，必要ならば，次の値 cos= , cos= を用いてもよい．
　さらに，不等式nθ1>θ2を満たす自然数nのうち最小のものはテである．

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