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== 指数方程式 ==
≪指数方程式とは≫
指数の部分に未知数が含まれる方程式は指数方程式と呼ばれます.
例 次の方程式はいずれも指数方程式です.
2x=23
3x=81
5−x=25
【指数方程式の解き方1】
a>0, a≠1を満たすものとする.

 方程式の両辺のが等しいならば
ax=a p → x=p
(解説)
図1に示されるように,a>1のときy=axのグラフは単調増加(右上がり)になっていいます.
x>pax>a p
x<pax<a p
したがって,x=pの場合,かつその場合だけ
ax=a p になります.
ゆえに
ax=a px=p
図 1a>1のときのy=axのグラフ
図2に示されるように,0<a<1のときy=axのグラフは単調減少(右下がり)になっています.
x>pax<a p
x<pax>a p
したがって,x=pの場合,かつその場合にだけ
ax=a p になります.
ゆえに
ax=a px=p
図 20<a<1のときのy=axのグラフ
a=1のときはy=1x=1(常に1:定数値をとる関数)となり,通常は指数関数に含めません.
注意!
この方法で指数を外して簡単な方程式に書き換えられるのは,両辺の底が等しい場合だけです.もし,両辺の底が等しくなければ,変形して両辺の底が等しい形に直しておかなければなりません.

(底が等しいとき→)2x=2 3x=3
(底が等しくないとき→)3x=923x=34x=4


次の指数方程式を解いてください.
(1)32x=33−x
(解答)
両辺の底は等しいから
2x=3−x
3x=3
x=1
(2)52x−1=125
(解答)
右辺を底5を用いて表すと
52x−1=53
2x−1=3
2x=4
x=2
(3)3x+1=9x−1
(解答)
右辺を底3を用いて表すと
3x+1=(32)x−1
3x+1=32x−2
x+1=2x−2
−x=−3
x=3
(4)93x=27x−1
(解答)
両辺を底3を用いて表すと
(32)3x=(33)x−1
36x=33x−3
6x=3x−3
3x=−3
x=−1
(5)()x=4
(解答)
両辺を底2を用いて表すと
(2)x=22
2=22
=2
x=4
(6)()1−x=9x
(解答)
両辺を底3を用いて表すと
(3−1)1−x=(32)x
3−1+x=32x
−1+x=2x
−x=1
x=−1



【問題 1】次の指数方程式を解いてください.
(正しいものを選んでください.暗算では無理なので,各自の計算用紙を使うとよい.)
(1) 21−x=32

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(2) 3x=3

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(3) 33x=37x−8

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(4) 5x−1=25×5−x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=

(5) 42−x=81−x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(6) 27x=9x+1

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(7) 2x−3=( )x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(8) 94−3x=( )x−3

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(9) ( )x=( )x+1

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(10) 2x+1=4( )2x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=


【指数方程式の解き方2】
a>0, a≠1を満たすものとする.
axが何度も現れるとき,ax=XとおいてXについて解きます.このXから,最終的にxを求めます.

図3,図4から分かるように,ax=Xとおくと
xは任意の実数値をとります.(−∞<x<∞
Xは正の実数のみをとります。(X>0
図3
図4
まず,次のような変形に慣れておきましょう.
例14x=(22)x=(2x)2だから,2x=Xとおくと
4xX 2の形で表されます.
例29x=(32)x=(3x)2だから,3x=Xとおくと
9xX 2の形で表されます.
次の方程式をxについて解いてください.
1.4x−2x−12=0
(解答)
2xで表すと
(22)x−2x−12=0
22x−2x−12=0
(2x)2−2x−12=0
2x=X(>0)とおくと …(1)
X 2−X−12=0
左辺を因数分解すると
(X+3)(X−4)=0
X+3=0 または X−4=0
X=−3 または X=4 …(2)
(1)(2)→
X=4
2x=4=22
x=2
2.3×9x+2×3x−1=0
(解答)
3xで表すと
3×(32)x+2×3x−1=0
3×32x+2×3x−1=0
3×(3x)2+2×3x−1=0
3x=X(>0)とおくと …(1)
3X 2+2X−1=0
左辺を因数分解すると
(3X−1)(X+1)=0
3X−1=0 または X+1=0
X= または X=−1 …(2)
(1)(2)→
X=
3x==3−1
x=−1
1.≪解き方のポイント≫
 2x=X(>0)とおくと,図3から分かるようにxは任意の実数値をとります(−∞<x<∞)が,Xは正の実数のみをとります.(X>0
 そこで,左の(2)のように正負2つの解X=−3, 4が途中経過として得られたとき
X=−3には対応するxの実数値がありません.
X=4には対応するxの値があります.
このように,X>0となるXの値だけを選んで元のxを求めることが重要です.(2x=−3に対応するのは虚数解で,高校では扱いません.)

2.≪解き方のポイント≫
 1.と同様にX=−1(<0)には対応するxの実数値がありません.X=(>0)の方から解xを求めます.


※ブラウザとしてSafari, Chrome, Operaなどをお使いの時は,以下の問題を解くときに漢字変換モードを外して半角数字で入力する必要があります.Internet Explorer, Firefoxでは自動的に漢字変換モードが外れます.
【問題2】次の方程式をxについて解いてください.
(1) 9x−4×3x+3=0 (A<B)
x= (A) , (B)
採点するやり直す
(2) 4x−2x+1−8=0
x=
採点するやり直す
(3) 4x+1−17×2x+4=0 (A<B)
x= (A) , (B)
採点するやり直す

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