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== 行列式の基本性質を用いた因数分解 ==
 このページでは,行列式の基本性質を使って,文字式の値を求める問題を扱う.
 以下においては,これらの基本性質のうちで,主に次の2つを使って,文字式の変形を行う.
【行列式の基本性質】
(A)
 行列式の1つの行を定数(k)倍すると,行列式の値はk倍になる.
 行列式の1つの列を定数(k)倍した場合も同様に,行列式の値はk倍になる.
(B)
 行列式の1つの行に他の行の定数倍を加えても,行列式の値は変わらない.
 行列式の1つの列に他の列の定数倍を加えた場合も同様に,行列式の値は変わらない.
【例A】


【例B】

 これらの性質を利用して,1つの行あるいは1つの列にできるだけ多くの0を作り,余因子展開を行うことによって次数を下げることを目指す.

【例題1】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2行をでくくり出す

第3行をでくくり出す

第2行−第1行,第3行−第1行

第1列に沿って余因子展開

第1行をでくくり出す
第2行をでくくり出す

第2行−第1行

第1列に沿って余因子展開
…(答)
【問題1】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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 一般に

もしくは,その転置行列の行列式

は,Vandermonde[ヴァンデルモンド, ファンデルモンド]の行列式と呼ばれ,Vnもしくはで表される.
の差積と呼ばれ,例えば




になる.

【例題2】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2列−第1列, 第3列−第1列

第1行に沿って余因子展開する

第1列をでくくり出す
第2列をでくくり出す

第2列−第1列

第1行に沿って余因子展開する



【問題2】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題3】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2行−第1行, 第3行−第1行, 第4行−第1行

第1列に沿って余因子展開する

第1列に沿って余因子展開する


【問題3】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題4】
 行列式の基本性質を用いて,次の式の値を計算してください.

(解答)
第2行−第1行×

第2行に沿って余因子展開する

【問題4】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題5】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2行−第1行, 第3行−第1行, 第4行−第1行

第2行をでくくり出す

第3行をでくくり出す

第4行をでくくり出す

第1行+第3行×

第1列に沿って余因子展開する

第1列−第2列

第3行に沿って余因子展開する


【問題5】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題6】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第1列に第2列と第3列を加える

第1列をでくくり出す

第2行から第1行を引く,第3行から第1行を引く

第1列に沿って余因子展開する



[参考]
前問の結果と比較すると

が成り立つことが分かる.このことは,次の変形によっても示すことができる.
【行列式の基本性質】(C)
行列式のある列が2つの列の和であれば,行列式の値はをそれぞれで置き替えた2つの行列式の和に等しい.


第1列を分けると

第1項は

【行列式の基本性質】(D)
2つの列が等しい行列式の値は0になる
この後半は第1列と第3列が等しいから,0となって消える.
前半を第2列で分けると,同様にして

の後半は第2列と第3列が等しいから,0となって消える.
結局,第1項は

に等しい.
同様にして,第2項は

に等しいから,元の式は,次の和に等しい

【行列式の基本性質】(E)
2つの列を入れ替えると符号が変わる




【例題7】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第1列に第2列と第3列を加える

第1列に沿って余因子展開する

【問題7】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題8】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第1列に第2列と第3列を加える

第1列をでくくり出す

第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く

第1列に沿って余因子展開

【問題8】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題9】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第1行から第2行と第3行を引く

第1行を−2でくくり出す

第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く

第1列に沿って余因子展開


【行列式の基本性質】(D)
 2つの列が等しい行列式の値は0になる.
 2つの行が等しいときも同様.
【例題10】
 行列式の基本性質を用いて,次の式の値を計算してください.

(解答)
第3列に第2列を加える

第3列をでくくり出す

第1列と第3列が等しいから,行列式の値は0になる

【問題10】
 行列式の基本性質を用いて,次の式の値を計算してください.

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【例題11】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2列から第1列を引く, 第3列から第1列を引く

第2列をでくくり出す

第3列をでくくり出す

第1行に沿って余因子展開する



【問題11】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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【例題12】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

(解答)
第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く

第2行をでくくり出す

第3行をでくくり出す

第1列に沿って余因子展開する

第2行から第1行を引く



【問題12】
 行列式の基本性質を用いて,次の式を因数分解してください.

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