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別のページにある目次
1. 1点を通り方向ベクトル
2. 1点を通り直線2に平行な直線1の方程式 3. 2点を通る直線の方程式 4. 点と直線の距離 5. 平行な2直線間の距離 6. ねじれの位置にある2直線間の距離 7. 直線の方向余弦 8. 2直線のなす角
1. 直線と平面の交点の座標
2. 2平面の交線の方程式 3. 直線と点を含む平面の方程式 4. 直線1を含み直線2と平行な平面の方程式 (交わる2直線を含む平面の方程式)
5. 直線を含み平面に垂直な平面の方程式(2点を通り平面に垂直な平面の方程式)
6. 直線と平面がなす角 |
1. 法線ベクトルによる平面の方程式
三次元空間において1点
内積表示 成分表示 ![]()
【例題1】
(解答)三次元空間において点 ※表示形式が特に指定されていなければ,成分表示で答えるとよい. |
【問題1.1】
解答を見る解答を隠す点
【問題1.2】
解答を見る解答を隠す点
平面
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(別解1) …垂直条件から法線ベクトルを求める方法(高校数学でできる答案) 2つのベクトル 連立方程式(1)(2)は未知数が3個,方程式が2個なので,不定解を持つ.そこで1文字rについては解かないことにして、p,qをrで表す. ![]() (1’)より 結局, |
(別解2) …ベクトルの外積を用いて法線ベクトルを求める方法(大学数学の答案) だから,これを平面の法線ベクトルとすると (別解3) …行列式の形で公式にしてしまう方法(大学数学の答案) 上記の別解2の方法を見ると,次のことが常に成り立つといえる
点
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【問題2.1】
解答を見る解答を隠す三次元空間において点
(解答)…媒介変数表示→媒介変数消去
![]() (3)+(1)によりt消去 (2)−(3)×3によりt消去 (5)+(4)×3
消去の仕方によっては
![]() のようになることがあるが,(B)が解を表す.(A)は (別解1)…垂直条件から法線ベクトルを求める 2つのベクトル 連立方程式(1)(2)は未知数が3個,方程式が2個なので,不定解を持つ.そこで1文字qについては解かないことにして,p,rをqで表す. ![]() (1’)(2’)より (別解2) …ベクトルの外積を用いて法線ベクトルを求める方法(大学数学の答案) だから,これを平面の法線ベクトルとすると (別解3) …行列式の公式で解く方法(大学数学の答案) |
【問題2.2】
解答を見る解答を隠す三次元空間において点
(解答)…媒介変数表示→媒介変数消去
![]() (1)+(3)×2, (2)+(3)×2によりs消去 (4)÷3, (5)÷4によりt消去 (別解1)…垂直条件から法線ベクトルを求める 2つのベクトル 連立方程式(1)(2)は未知数が3個,方程式が2個なので,不定解を持つ.そこで1文字rについては解かないことにして,p,qをrで表す. ![]() (1’)−(2’) これを(2’)に代入 (別解2) …ベクトルの外積を用いて法線ベクトルを求める だから,これを平面の法線ベクトルとすると (別解3) …行列式の公式で解く |
別解2の方法を公式として次の形にまとめることができる. 同一直線上にない3点 3つのベクトル
【3点を通る平面の方程式】
同じことであるが,この公式は次のように見ることもできる.同一直線上にない3点 2つのベクトル 平面の方程式は ベクトルのスカラー三重積については,次の公式がある. に等しい.そこで が成り立つ. (別解3) 3点 すなわち すなわち |
4点![]() が成り立つ. この行列式に対して,各行から第2行を引く行基本変形を行うと この行列式を第4列に沿って余因子展開すると したがって,(A)と(B)は同値である.
【3点を通る平面の方程式】
同一直線上にない3点 これは,次の形で書いてもよい. |
【例題3.2】
(解答1)同一直線上にない3点 行基本変形を行ってから余因子展開する 第1行,第2行,第3行から各々第4行を引く |
第4列に沿って余因子展開する 第1行に沿って余因子展開する (解答2) 第1行に沿って余因子展開する |
【問題3.1】
解答を見る解答を隠す同一直線上にない3点
(解答1)
第1,2,3行から第4行を引く 第4列に沿って余因子展開する 第1行に沿って余因子展開する (解答2) |
【問題3.2】
解答を見る解答を隠す同一直線上にない3点
(解答1)
第1,2,3行から第4行を引く 第4列に沿って余因子展開する 第1行に沿って余因子展開する (解答2) |
(別の証明)![]() ところで,2つのベクトルの内積は となるが,ここで であるから そこで,平面の法線ベクトル との内積をとれば, |
となって,点と平面の距離(符号は付いている)に等しくなる. より ここで 負の値になれば正に変えるものとして,絶対値を付けると,公式が得られる. |
【例題】
(解答)(1) 点(1, 2, 3)から平面3x+4y+5z−1=0に引いた垂線の長さを求めよ. (2) 点P(2, −3, 0)と平面x+2y−2z+1=0との距離を求めよ. (3) 原点O(0, 0, 0)と平面x+y−z+3=0との距離を求めよ. (1) (2) (3) |
【例題】
(解答)(1) 平行な2平面3x−4y+5z+1=0, 3x−4y+5z−1=0の間の距離を求めよ. (2) 平行な2平面 (1) 平面3x−4y+5z+1=0上の1点を適当に選ぶ. 例えば(1, 1, 0) 次に,その点と平面3x−4y+5z−1=0の間の距離を求めるとよい. (2) 平面 例えば(−1, 0, 0) 次に,その点と平面 |
【ヘッセの標準形】
(1) xy平面において,原点から直線に下ろした垂線の長さをh,垂線とx軸の正の向きとのなす角をαとすると,直線の方程式は 垂線とx軸の正の向きとのなす角をα,y軸の正の向きとのなす角をβとすると (1.1)(1.2)をヘッセの標準形という. ![]() |
(2) 3次元空間において,原点から平面に下ろした垂線の長さをh,垂線とx軸の正の向きとのなす角をα,y軸の正の向きとのなす角をβ,z軸の正の向きとのなす角をγとすると,平面の方程式は
(2.1)をヘッセの標準形という. ![]() |
【問題6.1】
解答を見る解答を隠す2平面
法線ベクトルは各々
これらの法線ベクトルのなす角を求めると 高校数学では 大学数学では |
【問題6.2】
解答を見る解答を隠す2平面
法線ベクトルは各々
これらの法線ベクトルのなす角を求めると
【問題6.3】
解答を見る解答を隠す2平面
法線ベクトルは各々
これらの法線ベクトルのなす角を求めると 高校数学では 大学数学では |