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== 集合,必要条件,十分条件(共通,センター問題) ==

【2013年度センター試験.数学T・数学A】第1問 [2]
 三角形に関する条件p, q, rを次のように定める。
p : 三つの内角がすべて異なる
q : 直角三角形でない
r : 45°の内角は一つもない
 条件pの否定をで表し,同様にはそれぞれ条件q, rの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ( p または q )」の対偶は
」である。
 に当てはまるものを,次の0 〜Bのうちから一つ選べ。
0  ( p かつ q )
@ ( かつ )

A ( または q )
B ( または )

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(2) 次の0 〜Cのうち,命題「( p または q ) r」に対する反例となっている三角形はである。
 に当てはまるものを,0 〜Cのうちから一つずつ選べ。ただし,の解答の順序は問わない。
0  直角二等辺三角形
@ 内角が30°,45°,105°の三角形
A 正三角形
B 三辺の長さが3,4,5の三角形
C 頂角が45°の二等辺三角形
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(3) r( p または q )であるための
 に当てはまるものを,次の0 〜Bのうちから一つ選べ。
0  必要十分条件である
@ 必要条件であるが,十分条件ではない
A 十分条件であるが,必要条件ではない
B 必要条件でも十分条件でもない
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【2014年度センター試験.数学T・数学A】第1問 [2]
 集合UU={n|n5<<6を満たす自然数}で定め,またUの部分集合P, Q, R, Sを次のように定める。
P={n|n∈Uかつn4の倍数}
Q={n|n∈Uかつn5の倍数}
R={n|n∈Uかつn6の倍数}
S={n|n∈Uかつn7の倍数}
 全体集合をUとする。集合Pの補集合をPで表し,同様にQ, R, Sの補集合をそれぞれQRSで表す。
(1) Uの要素の個数はタチ個である。
(2) 次の0 〜Cで与えられた集合のうち,空集合であるものはである。
 に当てはまるものを,次の0 〜Cのうちから一つずつ選べ。ただし,の解答の順序は問わない。
0  P∩R @ P∩S A Q∩R B P∩Q C R∩Q
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(3) 集合Xが集合Yの部分集合であるとき,X⊂Yと表す。このとき,次の0 〜Cのうち,部分集合の関係について成り立つものはである。
 に当てはまるものを,次の0 〜Cのうちから一つずつ選べ。ただし,の解答の順序は問わない。
0 P∪R⊂Q   @SQ⊂P  AQSP
BPQS  CRSQ
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【2015年度センター試験.数学T・数学A】第2問 [1]
 条件の否定をそれぞれと書く。
(1) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つ選べ。
命題「(かつかつ)」の対偶はである。
0  (またはまたは
@ (またはまたは
A (かつかつ
B (かつかつ
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(2) 自然数nに対する条件を次のように定める。
: nは素数である
: n+2は素数である
: n+1は5の倍数である
: n+1は6の倍数である
 30以下の自然数nのなかでウエ
  命題「(かつかつ)」
の反例となる。
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【2016年度センター試験.数学T・数学A】第1問
[2] 次の問いに答えよ。必要ならば,が無理数であることを用いてよい。
(1) Aを有理数全体の集合,Bを無理数全体の集合とする。空集合をと表す。
 次の(@)〜(C)が真の命題になるように,に当てはまるものを,下の0 〜Dのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
(@) A{0}
(A) B

(B) A={0}A
(C) ∅=AB

0   @  A  B  C  D
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(2) 実数xに対する条件p, q, rを次のように定める。
p : xは無理数
q : x+は有理数
r : xは有理数
 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
pqであるための
prであるための
0  必要十分条件である
@ 必要条件であるが,十分条件でない
A 十分条件であるが,必要条件でない
B 必要条件でも十分条件でもない
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【2017年度センター試験.数学T・数学A】第1問
[2] 実数xに関する2つの条件p, q
p : x=1
q : x2=1
とする。また,条件p, qの否定をそれぞれpqで表す。
(1) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
qpであるための
pqであるための
(pまたはq)はqであるための
(pかつq)はqであるための
0  必要条件だが十分条件でない
@ 十分条件だが必要条件でない
A 必要十分条件である
B 必要条件でも十分条件でもない
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(2) 実数xに関する条件r
r : x>0
とする。次のに当てはまるものを,下の 0 〜Fのうちから一つ選べ。
 3つの命題
A : 「(pかつq)r
B : qr
C : qp
の真偽について正しいものはである。
0  Aは真,Bは真,Cは真
@ Aは真,Bは真,Cは偽
A Aは真,Bは偽,Cは真
B Aは真,Bは偽,Cは偽
C Aは偽,Bは真,Cは真
D Aは偽,Bは真,Cは偽
E Aは偽,Bは偽,Cは真
F Aは偽,Bは偽,Cは偽
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【2018年度センター試験.数学T・数学A】第1問[2]
(1) 全体集合UU={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合A, B, Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
 集合Aの補集合をAで表し,空集合をと表す。
 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つ選べ。
 集合の関係
(a) A⊂C
(b) A∩B=∅
の正誤の組合せとして正しいものはである。
0  @AB
(a)
(b)




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(2) 実数xに関する次の条件p, q, r, sを考える。
p : |x−2|>2,q : x<0,r : x>4, s : >4
 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちからそれぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
 qまたはrであることは,pであるための。また,srであるための
0  必要条件だが十分条件ではない
@ 十分条件であるが必要条件ではない
A 必要十分条件である
B 必要条件でも十分条件でもない
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【2019年度センター試験.数学T・数学A】第1問
[2] 二つの自然数m, nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。
p : mnはともに奇数である
q : 3mnは奇数である
r : m+5nは偶数である
また,条件pの否定をpで表す。
(1) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Aのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
 二つの自然数m, nが条件pを満たすとする。このとき,mが奇数ならばn。また,mが偶数ならばn
0  偶数である
@ 奇数である
A 偶数でも奇数でもよい
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(2) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
pqであるための
prであるための
prであるための
0  必要十分条件である
@ 必要条件であるが,十分条件ではない
A 十分条件であるが,必要条件ではない
B 必要条件でも十分条件でもない
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【2020年度センター試験.数学T・数学A】第1問
[2] 自然数nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。
p : nは4の倍数である
q : nは6の倍数である
r : nは24の倍数である
 条件p, q, rの否定をそれぞれpqrで表す。
 条件pを満たす自然数全体の集合をPとし,条件qを満たす自然数全体の集合をQとし,条件rを満たす自然数全体の集合をRとする。自然数全体の集合を全体とし,集合P, Q, Rの補集合をそれぞれPQRで表す。
(1) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Dのうちから一つ選べ。
32∈
0  P∩Q∩R
@ P∩Q∩R
A P∩Q

B P∩Q
C PQ∩R
D PQR

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(2) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Cのうちから一つ選べ。
P∩Qに属する自然数のうち最小のものはセソである。
また,セソRである。
0  =  @   A   B   C
(3) 次のに当てはまるものを,下の0 〜Bのうちから一つ選べ。
自然数セソは,命題の反例である。
0 「(pかつq)r
@「(pまたはq)r

A「r(pかつq)」
B「(pかつq)r

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