このページのマイナーチェンジありカバー版ページ
（グーグルブロガー版）は，こちら⇒
== 最大角，最小角 ==
《解説》
■
　次の図のように，△ＡＢＣにおいて，
ａ≧ｂ≧ｃ　ならば.Ａ≧Ｂ≧Ｃです.
（逆も成り立ちます.）

つまり，

「対辺が長い」ならば「角度が大きい」
（「角度が大きい」ならば「対辺が長い」）
といえます.・・・(1)
(証明)・・余弦定理による証明・・・論理は簡単，変形はやや複雑
(方針)ａ≦ｂ←→cosＡ≧cosB←→A≦Bを示す.
cosＡ-cosB
＝｛a(b2+c2-a2)-b(a2+c2-b2)｝
＝｛c2(a-b)+a(b2-a2)-b(a2-b2)｝
＝｛c2(a-b)-(a2-b2)(a+b)｝
＝｛c2(a-b)-(a-b)(a+b)2｝
＝(a-b)(c2-(a+b)2)
＝(a-b)(c-a-b)(c+a+b)
ここで，ａ，ｂ，ｃ＞0だからｃ＋ａ＋ｂ＞0
また，三角形の成立条件によりｃ＜ａ＋ｂだからc-a-b<0
ゆえに，ａ≦ｂ←→cosＡ≧cosB←→Ａ≦Ｂ		 (証明)・・正弦定理による証明・・論理は複雑，変形は少ない
(方針)ａ≦ｂ←→sinＡ≦sinB←→A≦Bを示す.
正弦定理により，ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢだから
ａ≦ｂ←→sinＡ≦ｓｉｎＢが言える.
０°＜Ａ,Ｂ＜180°においてsinＡ≦ｓｉｎＢとなる組合せは次の通り.
1)　A1 B1 →　Ａ≦Ｂ
2)　A1 B2 →　Ａ≦Ｂ
3)　A2 B1 →(*1)によりこのような三角形はない
4)　A2 B2 →(*2)によりこのような三角形はない
(*1)Ａ2≧β，Ｂ1≧αだからＡ2+Ｂ1≧α+β＝180°
　となり矛盾
(*2)Ａ2+Ｂ2≧90°+90°＝180°となり矛盾
1)2)よりＡ≦Ｂ

　△ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃのうち最も大ききな角度を最大角，最も小さな角を最小角と呼ぶと，上の図においては最大角はＡで最小角はＣです.
(1)の関係から，最大角，最小角とその対辺の長さについて次のように言えます.


三角形において，最大角には最大辺が対応する. 三角形において，最小角には最小辺が対応する.
例
　三角形の３辺の長さが，７，８，１３　のとき，この三角形の最大角を求めなさい.
（答案）
　辺の長さ13が最も長いから，13に対応する角を求める.
　cosθ＝(72+82-132)/(2・7・8)＝-1/2
　θ＝120°・・・(答)


《問題1》
　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最大角を求めなさい.
(1)
　１７，１５，８
°



(2)
　５，１６，１９
°



(3)
　３５，４３，１３
°



(4)
　1，，
°



《問題２》
　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最小角を求めなさい.
(1)
　３，，４
°



(2)
　３＋，２，３
°






《解説》
　筆算で角度まで求められるのは，30°または45°の整数倍の角度に限られますが，cosθの値まででよいときはそのような制限はなくなります.
例
　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形について最大角の余弦を求めなさい.
　　ａ＝９，ｂ＝８，ｃ＝７
(答案)
　ａが最大なので，Ａが最大
　cosＡ＝（８2+72-９2）/（２・８・７）＝2/7・・・（答）

《問題３》
1

　△ＡＢＣにおいて，sinＡ：sinＢ：sinC＝５：６：７とする.最大角をθとするとき，cosθ＝［　　］である.
 

（日本工大入試問題からの引用）
 左の空欄をの形で埋めると，
ア＝，イ＝




2

　三角形の３つの高さを各々４，９，６とするとき，最小角の余弦は.
ア＝，イ＝




3

　△ABCの３辺がBC＝ｘ2-ｘ+1，CA＝x2-2x，AB=2ｘ-1で表されている.
(1)　３つの辺の大小関係を調べよ.
(2)　△ABCの最大の内角はいくらか.

（静岡大入試問題からの一部引用）
 (1)
　三角形の成立条件より
(ｘ2-ｘ+1)＋(x2-2x)＞(2ｘ-1)…<1>
(x2-2x)＋(2ｘ-1)＞(ｘ2-ｘ+1)…<2>
(2ｘ-1)＋(ｘ2-ｘ+1)＞(x2-2x)…<3>
<1><2><3>よりｘ＞2
このとき，
(ｘ2-ｘ+1)-(x2-2x)＝ｘ＋1＞0
(x2-2x)-(2ｘ-1)＝x2-4x+1の符号から
　２＜ｘ＜２＋√3のとき
(x2-2x)＜(2ｘ-1)
　２＋√3＜ｘのとき
(2ｘ-1)＜(x2-2x)
(ｘ2-ｘ+1)-(2ｘ-1)＝ｘ2-3ｘ+2＝(ｘ-1)(ｘ-2)＞0
以上より
2＜ｘ＜2+√3のとき
(x2-2x)＜(2ｘ-1)＜(ｘ2-ｘ+1)
ｘ＝2+√3のとき
(x2-2x)＝(2ｘ-1)＜(ｘ2-ｘ+1)
2＋√3＜ｘのとき
(2ｘ-1)＜(x2-2x)＜(ｘ2-ｘ+1)

(2)
　°



(備考)
三角形の成立条件
　ａ＞0…・(1)
　ｂ＞0…(2)
　ｃ＞0…(3)
　ａ＋ｂ＞ｃ…(4)
　ｂ＋ｃ＞ａ…(5)
　ｃ＋ａ＞ｂ…(6)
のうち，(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので，（例えば(4)(5)の辺々を加えるとｃ＞0となり(3)を得るなど）
三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です.

4
　３辺の長さがx2+2x+4，x2-4，4x+4である三角形の最大角を求めよ.

　（桃山学院大学入試問題からの引用）
°