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最大角,最小角
《解説》

 次の図のように,△ABCにおいて,
a≧b≧c ならば.A≧B≧Cです.
(逆も成り立ちます.)

つまり,

「対辺が長い」ならば「角度が大きい」
(「角度が大きい」ならば「対辺が長い」)
といえます.・・・(1)

(証明)・・余弦定理による証明・・・論理は簡単,変形はやや複雑
(方針)a≦b←→cosA≧cosB←→A≦Bを示す.
cosA-cosB
{a(b2+c2-a2)-b(a2+c2-b2)}
{c2(a-b)+a(b2-a2)-b(a2-b2)}
{c2(a-b)-(a2-b2)(a+b)}
{c2(a-b)-(a-b)(a+b)2
(a-b)(c2-(a+b)2)
(a-b)(c-a-b)(c+a+b)
ここで,a,b,c>0だからc+a+b>0
また,三角形の成立条件によりc<a+bだからc-a-b<0
ゆえに,a≦b←→cosA≧cosB←→A≦B
(証明)・・正弦定理による証明・・論理は複雑,変形は少ない
(方針)a≦b←→sinA≦sinB←→A≦Bを示す.
正弦定理により,a=2RsinA,b=2RsinBだから
a≦b←→sinA≦sinBが言える.
0°<A,B<180°においてsinA≦sinBとなる組合せは次の通り.
1) A1 B1 → A≦B
2) A1 B2 → A≦B
3) A2 B1 →(*1)によりこのような三角形はない
4) A2 B2 →(*2)によりこのような三角形はない
(*1)A2≧β,B1≧αだからA2+B1≧α+β=180°
 となり矛盾
(*2)A2+B1≧90°+90°=180°となり矛盾
1)2)よりA≦B

 △ABCにおいてA,B,Cのうち最も大ききな角度を最大角,最も小さな角を最小角と呼ぶと,上の図においては最大角はAで最小角はCです.
(1)の関係から,最大角,最小角とその対辺の長さについて次のように言えます.


三角形において,最大角には最大辺が対応する. 三角形において,最小角には最小辺が対応する.

 三角形の3辺の長さが,7,8,13 のとき,この三角形の最大角を求めなさい.
(答案)
 辺の長さ13が最も長いから,13に対応する角を求める.
 cosθ=(72+82-132)/(2・7・8)=-1/2
 θ=120°・・・(答)


《問題1》
  三角形の3辺の長さが,次のように与えられているとき,この三角形の最大角を求めなさい.
(1)
 17,15,8
°



(2)
 5,16,19
°



(3)
 35,43,13
°



(4)
 1,
°



《問題2》
  三角形の3辺の長さが,次のように与えられているとき,この三角形の最小角を求めなさい.
(1)
 3,4
°



(2)
 3+,2,3
°






《解説》
 筆算で角度まで求められるのは,30°または45°の整数倍の角度に限られますが,cosθの値まででよいときはそのような制限はなくなります.

  三角形の3辺の長さが,次のように与えられているとき,この三角形について最大角の余弦を求めなさい.
  a=9,b=8,c=7
(答案)
 aが最大なので,Aが最大
 cosA=(82+72-92)/(2・8・7)=2/7・・・(答)

《問題3》
1

 △ABCにおいて,sinA:sinB:sinC=5:6:7とする.最大角をθとするとき,cosθ=[  ]である.
 

(日本工大入試問題からの引用)
左の空欄をの形で埋めると,
ア=,イ=




2

 三角形の3つの高さを各々4,9,6とするとき,最小角の余弦は.

ア=,イ=




3

 △ABCの3辺がBC=x2-x+1,CA=x2-2x,AB=2x-1で表されている.
(1) 3つの辺の大小関係を調べよ.
(2) △ABCの最大の内角はいくらか.

(静岡大入試問題からの一部引用)
(1)
 三角形の成立条件より
2-x+1)+(x2-2x)>(2x-1)・・<1>
x2-2x)+(2x-1)>(2-x+1)・・<2>
2x-1)+(2-x+1)>(x2-2x)・・<3>
<1><2><3>よりx>2
このとき,
(2-x+1)-(x2-2x)=x+1>0
x2-2x)-(2x-1)=x2-4x+1の符号から
 2<x<2+√3のとき(x2-2x)<(2x-1
 2+√3<xのとき(2x-1)<(x2-2x
2-x+1)-(2x-1)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0
以上より
2<x<2+√3のとき
x2-2x)<(2x-1)<(2-x+1
x=2+√3のとき
x2-2x)<(2x-1)=(2-x+1
2+√3<xのとき
2x-1)<(x2-2x)<(2-x+1


(2)
 °



(備考)
三角形の成立条件
 a>0・・・(1)
 b>0・・・(2)
 c>0・・・(3)
 a+b>c・・・(4)
 b+c>a・・・(5)
 c+a>b・・・(6)
のうち,(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので,(例えば(4)(5)の辺々を加えるとc>0となり(3)を得るなど)
三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です.


4
 3辺の長さがx2+2x+4,x2-4,4x+4である三角形の最大角を求めよ.

 (桃山学院大学入試問題からの引用)

°