三角方程式

【三角方程式とは】

• $\sin\theta=\frac{1}{2}$ や $\cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ のように角度が未知数になっている方程式を三角方程式という．
• 三角方程式は，次の例題のように単位円を利用して解くと分かりやすい．

【例題1】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\sin\theta=\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

サインはｙ

$\sin\theta=\frac{y}{r}$ だから，単位円（半径rが1の円）を描くと， $\sin\theta=y$ になる
⇒「サインはｙ」と覚えておく

(解答）
　右図の単位円で，ｙ座標が $\frac{1}{2}$ となる角度は， $\theta=\frac{\pi}{6}$ と $\theta=\frac{5}{6}\pi$ …(答)

＃超初心者のビックリ答案＃
　何十年も高校で教えていると，ビックリ答案に出会うことがある．馬鹿にしているのでなく，危険な落とし穴として注意しておこう！

$\sin\theta=\frac{1}{2}$ から $\theta=\frac{1}{2\sin}$ と答えた生徒がいた．
$\sin\theta$ は $\sin$ と $\theta$ のかけ算ではないのだ！ $\sin$ などというものはないのだ．

＃この問題はなぜ解けるのか＃
　本当のことを言えば，この問題が解けるのは，

$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ と $\sin\frac{5}{6}\pi=\frac{1}{2}$ という答えを覚えているから解けるのです．もっとはっきり言えば，「筆算で解ける」のは，次の表に出てくる $\theta,\hspace{3}y$ の組み合わせだけです．

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}\pi$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$\pi$
$y$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$

　この表にない値，例えば $\sin\theta=\frac{1}{5},\hspace{3}\frac{1}{4},\hspace{3}\frac{1}{3},\hspace{3}\frac{2}{3},\hspace{3}\frac{3}{4},\hspace{3}\cdots$ のどれも「筆算では」解けません．解けるのは，この表にある $\sin\theta=0,\hspace{3}\frac{1}{2},\hspace{3}\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{3}\frac{\sqrt{3}}{2},\hspace{3}1$ の場合だけです．
　中学校で習う1次方程式の解き方 $3x=2\rightarrow x=\frac{2}{3}$ など違って， $\sin\theta=a\hspace{5}(0\underline{\le}a\underline{\le}1)$ を「数式変形で」解く方法はありません． $\sin\theta=\frac{1}{3}$ のような問題は「教科書の巻末に付いている三角関数表を見て」解くのです．

$\theta$	…	19°	20°	21°	…
正弦	…	0.3256	0.3420	0.3584	…

θ=約19°
　これに対して，定期試験や入学試験などで三角関数表が付いていない場合には，上に述べた表に出てくる問題しか出ないことになります（符号が逆のものは出ます）．

【例題2】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

コサインはｘ

$\cos\theta=\frac{x}{r}$ だから，単位円（半径rが1の円）を描くと， $\cos\theta=x$ になる
⇒「コサインはｘ」と覚えておく

(解答）
　右図の単位円で，ｘ座標が $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる角度は， $\theta=\frac{3}{4}\pi$ …(答)

【例題3】

　 $0\underline{\le}\theta\lt 2\pi$ のとき， $\tan\theta=1$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

タンジェントはｙ/ｘ

$\tan\theta=\frac{y}{x}$ だから，単位円（半径rが1の円）を描くと， $\tan\theta$ =(縦)÷(横)の比率になる
⇒「タンジェントはｙ/ｘの比率」

(解答）
　右図の単位円で，(縦)÷(横)の比率が正で1となる角度は， $\theta=\frac{\pi}{4},\hspace{3}\frac{5}{4}\pi$ …(答)

≪水色の表だけは確実に言えるようにしよう！≫
残りは矢印の方向に同じ値にして，符号を付ける

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}\pi$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$\pi$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$

$\theta$	$\frac{7}{6}\pi$	$\frac{5}{4}\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{3}{2}\pi$	$\frac{5}{3}\pi$	$\frac{7}{4}\pi$	$\frac{11}{6}\pi$
$\sin\theta$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{2}$

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}\pi$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$\pi$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

$\theta$	$\frac{7}{6}\pi$	$\frac{5}{4}\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{3}{2}\pi$	$\frac{5}{3}\pi$	$\frac{7}{4}\pi$	$\frac{11}{6}\pi$
$\cos\theta$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}\pi$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$\pi$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\times$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

$\theta$	$\frac{7}{6}\pi$	$\frac{5}{4}\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{3}{2}\pi$	$\frac{5}{3}\pi$	$\frac{7}{4}\pi$	$\frac{11}{6}\pi$
$\tan\theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\times$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$

【解説】
○　次のような問題では，2θの問題に直して解く。

○　次の問題では，に直して解く。

■　問題
0≦θ＜πのとき，次の方程式を解きなさい。(初めに問題を１つ選択し，続いて解答を１つクリックしなさい。正しければ消えます。)

問題	解答
ヒントヒントヒントヒントヒント

【三角方程式の一般解】

(A)　 $\sin\theta=a$ の１つの解を $\alpha$ とするとき，

$\theta=\alpha+ 2n\pi$ …(1)
$\theta=(\pi-\alpha)+ 2n\pi$ …(2)
　［ $n$ は整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　この形で一般解として覚えてもよいが，次のようにまとめる方法も使われる．
(1)は $n$ が偶数のときは $n\pi$ に $\alpha$ を加えることを表しており，
(2)は $\theta=(2n+ 1)\pi-\alpha$ と書けるから， $n$ が奇数のときは $n\pi$ から $\alpha$ を引くものと解釈することができる．
　そこで，これら２つの式を
$\theta=(-1)^n\times\alpha+ n\pi$ ［ $n$ は整数］
とまとめることができる．

　上記の茶色で書いたまとめ方は，式が複雑で迷う可能性がある．自分が答案を書くときは，(1)(2)で安全・確実に書けばよい．
　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　 $\sin\theta=\sin\alpha$ のとき，

$\theta=\alpha+ 2n\pi$ …(1)
$\theta=(\pi-\alpha)+ 2n\pi$ …(2)
　［ $n$ は整数］
が成り立つ．

【例題4】

　 $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

　 $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ だから， $\alpha=\frac{\pi}{3}$ は１つの解となる．

$\theta=\frac{\pi}{3}+ 2n\pi$ …(1)［ $n$ は整数］
$\theta=\frac{2}{3}\pi+ 2n\pi$ …(2)…（答）

【例題5】…たぶん，高校生の正答率は1割以下．難しい

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=\sin 2\theta$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

$n$ は整数として
(1) $\theta-\frac{\pi}{4}=2\theta+ 2n\pi$ より

気長に，ｎの値の範囲を求めているだけだが，生徒には難しいらしい

$0\underline{\le}\theta=-\frac{\pi}{4}-2n\pi\underline{\le}\pi$
$\frac{\pi}{4}\underline{\le}-2n\pi\underline{\le}\frac{5}{4}\pi$
$\frac{1}{4}\underline{\le}-2n\underline{\le}\frac{5}{4}$
$-\frac{1}{8}\underline{\ge}n\underline{\ge}-\frac{5}{8}$
これに該当する整数値 $n$ はない
(2) $\theta-\frac{\pi}{4}=-2\theta+(2n+ 1)\pi$ より
$3\theta=\frac{\pi}{4}+(2n+ 1)\pi$
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2n+ 1}{3}\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{12}\underline{\le}\frac{2n+ 1}{3}\pi\underline{\le}\frac{11}{12}\pi$
$-\frac{1}{12}\underline{\le}\frac{2n+ 1}{3}\underline{\le}\frac{11}{12}$
$-\frac{1}{4}\underline{\le}2n+ 1\underline{\le}\frac{11}{4}$
$-\frac{5}{4}\underline{\le}2n\underline{\le}\frac{7}{4}$
$-\frac{5}{8}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{7}{8}$
これに該当する整数値は $n=0$
したがって， $\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{1}{3}\pi=\frac{5}{12}\pi$ …（答）

【例題6】…もう高校生2年生ではほとんど解けないかも

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=\cos 2\theta$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）
$\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}-2\theta)$ と変形する．

なぜ，そのような変形をするのか？それは，加法定理などの変形方法をまだ習っていない段階では， $\sin\theta=\cos\alpha$ の形からでは解き方の手がかりがなく， $\sin\theta=\sin\alpha$ の形からなら解き方が分かるから， $\sin$ にそろえたということ．
　特に， $\cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ を使わなければならない訳ではなく， $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta),\hspace{3}-\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta),\hspace{3}-\sin(3\frac{\pi}{2}+\theta)$ でもよいが，一番簡単なものを使ったということ

$n$ は整数として
(1) $\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-2\theta+ 2n\pi$ より
$3\theta=\frac{3}{4}\pi+ 2n\pi$
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}n\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{4}\underline{\le}\frac{2}{3}n\pi\underline{\le}\frac{3}{4}\pi$
$-\frac{1}{4}\underline{\le}\frac{2}{3}n\underline{\le}\frac{3}{4}$
$-\frac{3}{8}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{9}{8}$
これに該当する整数値は $n=0,\hspace{3}1$
$n=0$ のとき， $\theta=\frac{\pi}{4}$
$n=1$ のとき， $\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}\pi=\frac{11}{12}\pi$
(2) $\theta-\frac{\pi}{4}=-(\frac{\pi}{2}-2\theta)+(2n+ 1)\pi$ より
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{4}-(2n+ 1)\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{4}\underline{\le}-(2n+ 1)\pi\underline{\le}\frac{3}{4}\pi$
$-\frac{1}{4}\underline{\le}-(2n+ 1)\underline{\le}\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}\underline{\ge}2n+ 1\underline{\ge}-\frac{3}{4}$
$-\frac{3}{4}\underline{\ge}2n\underline{\ge}-\frac{7}{4}$
$-\frac{3}{8}\underline{\ge}n\underline{\ge}-\frac{7}{8}$
これに該当する整数値はない
(1)(2)から， $\theta=\frac{\pi}{4},\hspace{3}\frac{11}{12}\pi$ …（答）

【三角方程式の一般解】

(A)　 $\cos\theta=a$ の１つの解を $\alpha$ とするとき，
$\theta=\pm\alpha+ 2n\pi$ ［ $n$ は整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　 $\cos\theta=\cos\alpha$ のとき，

$\theta=\pm\alpha+ 2n\pi$ ［ $n$ は整数］
が成り立つ．

【例題7】

　 $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

　 $\cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}$ だから， $\alpha=\frac{2}{3}\pi$ は１つの解となる．
$\theta=\pm\frac{2}{3}\pi+ 2n\pi$ ［ $n$ は整数］…（答）

【例題8】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\cos(\theta+\frac{\pi}{4})=\cos 2\theta$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

$n$ は整数として
(1) $\theta+\frac{\pi}{4}=2\theta+ 2n\pi$ より
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{4}-2n\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{4}\underline{\le}-2n\pi\underline{\le}\frac{3}{4}\pi$
$-\frac{1}{4}\underline{\le}-2n\underline{\le}\frac{3}{4}$
$\frac{1}{8}\underline{\ge}n\underline{\ge}-\frac{3}{8}$
これに該当する整数値は $n=0$
$n=0$ のとき， $\theta=\frac{\pi}{4}$
(2) $\theta+\frac{\pi}{4}=-2\theta+ 2n\pi$ より
$3\theta=-\frac{\pi}{4}+ 2n\pi$
$0\underline{\le}\theta=-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}n\pi\underline{\le}\pi$
$\frac{\pi}{12}\underline{\le}\frac{2}{3}n\pi\underline{\le}\frac{13}{12}\pi$
$\frac{1}{12}\underline{\le}\frac{2}{3}n\underline{\le}\frac{13}{12}$
$\frac{1}{8}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{13}{8}$
これに該当する整数値は $n=1$
したがって， $\theta=-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}\pi=\frac{7}{12}\pi$
以上から， $\theta=\frac{\pi}{4},\hspace{3}\frac{7}{12}\pi$ …（答）

【例題9】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\cos(3\theta-\frac{\pi}{4})=\sin\theta$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）
$\cos(3\theta-\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ と変形する．

正弦にそろえてもできる

$n$ は整数として
(1) $3\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-\theta+ 2n\pi$ より
$4\theta=\frac{3}{4}\pi+ 2n\pi$
$0\underline{\le}\theta=\frac{3}{16}\pi+\frac{n}{2}\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{3}{16}\pi\underline{\le}\frac{n}{2}\pi\underline{\le}\frac{13}{16}\pi$
$-\frac{3}{8}\underline{\le}\frac{n}{2}\underline{\le}\frac{13}{16}$
$-\frac{3}{8}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{13}{8}$
これに該当する整数値は $n=0,\hspace{3}1$
$n=0$ のとき， $\theta=\frac{3}{16}\pi$
$n=1$ のとき， $\theta=\frac{3}{16}\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{11}{16}\pi$
(2) $3\theta-\frac{\pi}{4}=-(\frac{\pi}{2}-\theta)+ 2n\pi$ より
$2\theta=-\frac{\pi}{4}+ 2n\pi$
$0\underline{\le}\theta=-\frac{\pi}{8}+ n\pi\underline{\le}\pi$
$\frac{\pi}{8}\underline{\le}n\pi\underline{\le}\frac{9}{8}\pi$
$\frac{1}{8}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{9}{8}$
これに該当する整数値は $n=1$
$n=1$ のとき， $\theta=\frac{7}{8}\pi$
(1)(2)から， $\theta=\frac{3}{16}\pi,\hspace{3}\frac{11}{16}\pi,\hspace{3}\frac{7}{8}\pi$ …（答）

【三角方程式の一般解】

(A)　 $\tan\theta=a$ の１つの解を $\alpha$ とするとき，
$\theta=\alpha+ n\pi$ ［ $n$ は整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　 $\tan\theta=\tan\alpha$ のとき，

$\theta=\alpha+ n\pi$ ［ $n$ は整数］
が成り立つ．

【例題10】

　 $\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

　 $\tan\frac{5}{6}\pi=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ だから， $\alpha=\frac{5}{6}\pi$ は１つの解となる．
$\theta=\frac{5}{6}\pi+ n\pi$ ［ $n$ は整数］…（答）

【例題11】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\tan 2\theta=\tan(\theta+\frac{\pi}{6})$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）

$n$ は整数として
$2\theta=\theta+\frac{\pi}{6}+ n\pi$ より
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{6}+ n\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{6}\underline{\le}n\pi\underline{\le}\frac{5}{6}\pi$
$-\frac{1}{6}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{5}{6}$
これに該当する整数値は $n=0$
$n=0$ のとき， $\theta=\frac{\pi}{6}$ …（答）

【例題12】

　 $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ のとき， $\tan(\theta+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\tan 2\theta}$ を満たす $\theta$ の値を求めてください．

(解答）
$\tan(\theta+\frac{\pi}{6})=\tan(\frac{\pi}{2}-2\theta)$ と変形する．

$\tan$ にそろえる方法はいろいろあるが，一番簡単なものを使ったということ

$n$ は整数として
$\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}-2\theta+ n\pi$ より
$3\theta=\frac{\pi}{3}+ n\pi$
$0\underline{\le}\theta=\frac{\pi}{9}+\frac{n}{3}\pi\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{9}\underline{\le}\frac{n}{3}\pi\underline{\le}\frac{8}{9}\pi$
$-\frac{1}{9}\underline{\le}\frac{n}{3}\underline{\le}\frac{8}{9}$
$-\frac{1}{3}\underline{\le}n\underline{\le}\frac{8}{3}$
これに該当する整数値は $n=0,\hspace{2}1,\hspace{2}2$
$n=0$ のとき， $\theta=\frac{\pi}{9}$
$n=1$ のとき， $\theta=\frac{4}{9}\pi$
$n=2$ のとき， $\theta=\frac{7}{9}\pi$
$\theta=\frac{\pi}{9},\hspace{2}\frac{4}{9}\pi,\hspace{2}\frac{7}{9}\pi$ …（答）

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