空間ベクトル

== 空間ベクトル ==

【空間の座標】

－図1－

（3次元）空間において，原点Ｏで互いに垂直に交わる３つの数直線を描き，それぞれx軸，y軸，z軸という．これらをまとめて座標軸という．
　x軸とy軸を含む平面をxy平面，y軸とz軸を含む平面をyz平面，z軸とx軸を含む平面をzx平面という．これらをまとめて座標平面という．

（疲労回復は雑談で1）
　原点を表す記号はアルファベット大文字のＯオーです．数字の0（零れい）によく似ていますが，英語のOriginの頭文字だと思えばよい．x=0, y=0, z=0の3つを重ねると「太って」見える？実際，筆者が授業をしていた頃は，1と−1の間に0を大きめに書いていた．手書きでは区別はつかない．
（疲労回復は雑談で2）

座標軸	値
x₁	150
x₂	80
x₃	120
x₄	90

　実生活で，空間と言えば3次元までに限られると考えていると，それは違う．ベクトルの成分表示が使えるようになると，4次元でも，5次元でも，一般にｎ次元空間の点やベクトルは簡単に表せる．
（疲労回復は雑談で3）

－図2－

　x軸，y軸，z軸は，右手の①親指，②人差し指，③中指の順に対応するように描きます．（右手系と呼ばれる）
　右手系では，x軸の正の向きからy軸の正の向きに向かって右ネジを回したときに，ネジが進む方向がz軸の正の向きになります．
　高校の数学では，右手系だけを使う．

－図3－

　図3のようにPを１つの頂点とする直方体を描いて，x軸，y軸，z軸上の点A, B, Cのx座標，y座標，z座標を各々a, b, cとするとき，点Pの座標をP(a, b, c)で表す．
　このとき，x軸上の点Aの座標はA(a, 0, 0)，y軸上の点Bの座標はB(0, b, 0)，z軸上の点Cの座標はC(0, 0, c)となって，残り2つの座標が0になる．
　また，xy平面上の点Dの座標はD(a, b, 0)，yz平面上の点Eの座標はD(0, b, c)，zx平面上の点Fの座標はF(a, 0, c)となって，残り1つの座標が0になる．

－図3－

【例1】
　点P(a, b, c)について，次の各点の座標を求めてください．
(1) xy平面に関して
点Pと対称な点Q1の座標
(2) yz平面に関して
点Pと対称な点Q2の座標
(3) zx平面に関して点Pと対称な点Q3の座標
(4) x軸に関して点Pと対称な点R1の座標
(5) y軸に関して点Pと対称な点R2の座標
(6) z軸に関して点Pと対称な点R3の座標
(7) 原点Oに関して点Pと対称な点Sの座標

（解答）
(1) Pからxy平面に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，赤丸で示した点になり，z座標の符号だけが変わるからQ1(a, b, −c)
(2) Pからyz平面に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，青丸で示した点になり，x座標の符号だけが変わるからQ2(−a, b, c)
(3) Pからzx平面に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，緑色の丸で示した点になり，y座標の符号だけが変わるからQ3(a, −b, c)
(4) Pからx軸に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，茶色の丸で示した点になり，y, z座標の符号が変わるからR1(a, −b, −c)
(5) Pからy軸に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，オレンジ色の丸で示した点になり，z, x座標の符号が変わるからR2(−a, b, −c)
(6) Pからz軸に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，紫色の丸で示した点になり，x, y座標の符号が変わるからR3(−a, −b, c)
(7) Pから原点に線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，灰色の丸で示した点になり，x, y, z座標の符号が変わるからS(−a, −b, −c)

【問題１】　次の各点の座標を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
　点 $A(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ に対して，xy平面に関して対称な点の座標

解説やり直す

$(2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ $(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ $(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ $(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}-4)$

　Aからxy平面に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，z座標の符号だけが変わるから(−2, 3, −4)…（答）

→閉じる←

(2)
　点 $B(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$ に対して，z軸に関して対称な点の座標

解説やり直す

$(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ $(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ $(-2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$ $(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$

　Bからz軸に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすとx, y座標の符号が変わるから(−2, 3, 4)…（答）

→閉じる←

(3)
　点 $C(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ に対して，原点に関して対称な点の座標

解説やり直す

$(2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ $(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ $(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ $(-2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$

　Cから原点に線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，x, y, z座標の符号が変わるから(−2, −3, 4)…（答）

→閉じる←

(4)
　点 $D(2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ をx軸に関して対称移動してから，さらにxy平面に関して対称移動したときの点の座標

解説やり直す

$(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ $(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$ $(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$ $(-2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$

　(2, 3, 4)→(2, −3, −4)→(2, −3, 4)…（答）

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【2点間の距離の公式】

　2点 $A(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1),\hspace{2}B(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ 間の距離は
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
　特に，原点 $O(0,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ と点 $P(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ の間の距離は
$OP=\sqrt{x^2+ y^2+ z^2}$

（解説）

　右図のようにA,Bを対角線とする直方体を描くと，ピンク色の三角形は∠ACD=90°の直角三角形になる．
　ここで，
$AC=x_2-x_1$ ， $CD=y_2-y_1$ だから(*注)，三平方の定理により
$AD^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
　さらに，水色の三角形は∠ADB=90°の直角三角形になるから，三平方の定理により
$AB^2=AD^2+ DB^2$
$=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2$
　ABは距離だから，平方根のうちの正の方を選ぶと
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ …（証明終わり）
　次に， $A(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ の代わりに $O(0,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ を， $B(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ の代わりに $P(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ を使うと
$OP=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}$
$=\sqrt{x^2+ y^2+ z^2}$ …（証明終わり）

（疲労回復は雑談で4）
　この数十年間，(*注)のように書いてある高校の数学の教科書は1冊も見たことがない．教科書には必ず， $AC=\mid\hspace{2}x_2-x_1\hspace{2}\mid$ ， $CD=\mid\hspace{2}y_2-y_1\hspace{2}\mid$ と書いてある．それが正しいに決まっている．
　しかし，それをそのまま授業で教えようとすると，絶対値記号があるだけで半分以上の生徒の「目が点になって，目が泳ぎだして，頭が真っ白になって，頭の線がブチっと切れる音がして，この授業は聞くのをやめよう，公式だけ暗記することにしよう」という強い敵意を感じるようになる．
　そもそも教科書は「間違ったことを書いてはいけない」「無駄なく正確に書かなければならない」という使命を帯びているので，絶対値記号を付けざるを得ないのは当然である．しかし，これによって半分以上の生徒が理解できなくなったら，失うものが大き過ぎる．数学嫌いを生み出すために授業をやっているのではないのだ！

　上記のように書くとまずいのは， $x_2\lt x_1$ ， $y_2\lt y_1$ のときマイナスになるからであるが， $\mid\hspace{20}\mid$ は理解できず $\mid\hspace{20}\mid^2$ はさらに理解できないが，結局は２乗するので $\mid\hspace{20}\mid$ という記号は何も残らない．だから，授業の中では「この式は負になることがあるが，2乗するので気にしない」と一言添えて，脱落者を減らすのが得策かなと…思う．
（疲労回復は雑談で5）
　誤解を恐れずにはっきり言えば，そもそも小中高で教えているのは，本物の数学そのものではなくて，児童生徒の心身の発達に応じて教育用に加工された教材で，消化不良を起こさないように離乳食を提供しているのと同様である．このページとの関係で言えば，100年以上も前から，ユークリッドの距離 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ は空間についての唯一の真理ではなく，距離空間の公理を満たす１つの定義の仕方に過ぎないとされている．
　もちろん，高校ではユークリッドの意味での距離が唯一の距離なのであるが，数学ではそうではない．もともと高校数学といっても，消化しやすく加工された作り物に過ぎないのであるから，未練たらしく親学問の影を残して無理するのでなく，

子供の夢を壊していいのか？

必要に応じて「やらせ」はやらせとして割り切って，おいしい所を食べやすくした方がよいと思う．実際，高校数学の基本問題では，測量で使う小数点付きの問題はまず出さない．

【例2】
　次の2点間の距離を求めてください．
(1) A(1, 2, 3), B(3, 5, 9)
(2) C(−1, 2, 7), D(1, −2, 3)
(3) O(0, 0, 0), P(3, −4, 5)

（解答）
(1) $AB=\sqrt{(3-1)^2+(5-2)^2+(9-3)^2}$
$=\sqrt{4+ 9+ 36}=\sqrt{49}=7$ …（答）
(2) $CD=\sqrt{(1+ 1)^2+(-2-2)^2+(3-7)^2}$
$=\sqrt{4+ 16+ 16}=\sqrt{36}=6$ …（答）
(2) $OP=\sqrt{3^2+(-4)^2+ 5^2}$
$=\sqrt{9+ 16+ 25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ …（答）

【問題２】　次の２点間の距離を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
　点 $A(-1,\hspace{2}3,\hspace{2}2),\hspace{2}B(3,\hspace{2}-1,\hspace{2}0)$

解説やり直す

$4$ $5$ $6$ $7$

$AB=\sqrt{(3+ 1)^2+(-1-3)^2+(0-2)^2}=\sqrt{36}=6$ …（答）

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(2)
　点 $O(0,\hspace{2}0,\hspace{2}0),\hspace{2}P(3,\hspace{2}4,\hspace{2}5)$

解説やり直す

$5$ $5\sqrt{2}$ $5\sqrt{3}$ $10$

$OP=\sqrt{3^2+ 4^2+ 5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ …（答）

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【三角形の形状問題】
　2点間の距離の公式に関連して，三角形の形状問題が出されることがある．これは，三角形ABCの頂点の座標が与えられたときに，その三角形がどのような形の三角形であるかを答えるもので，三辺AB, BC, CAの長さをあらかじめ計算しておき，次のどの型に当てはまるかを答える．

(1) AB=BCなどとなったとき
→ 「AB=BCの二等辺三角形」などと答える

単に「二等辺三角形」と答えた場合には，どの２組の辺が等しいかが書かれていないので，減点にするのが普通です

(2) AB=BC=CA=3などとなったとき
→ 「一辺の長さが3の正三角形」などと答える

単に「正三角形」と答えても様々な大きさがあるので，1辺の長さが分かる場合には，それを書くべきだと採点官は考えます

(3) AB²+BC²=CA²などとなったとき
→ 「∠B=90°の直角三角形」などと答える

　辺の長さだけを手掛かりに三角形の形状を求めるときに，直角という角度の性質を述べることができるのは，三平方の定理の逆から直角三角形が言える場合です．
　これに当てはまるかどうかは，２乗の和を試しに求めてみないと分かりません．
　単に「直角三角形」と答えるのではなく，どの角が直角かも述べなければなりません．（最長の辺=斜辺に登場しない頂点が直角です．もしくは，2乗の和に2回登場する頂点が直角です）

(4) AB²+BC²=CA²，AB=BCなどとなったとき
→ 「∠B=90°の直角二等辺三角形」などと答える

　直角三角形と二等辺三角形の両方が言える場合です．
　答え方としては，直角の角か二等辺の辺の組かいずれかも示すようにします

(※)三辺の長さのみを手掛かりにして三角形の形状を求める問題では，「∠A=120°の三角形」のような形の答えは出ないのが普通です．
　辺の長さだけを手掛かりにした場合に，初歩的に角度の性質が答えられるのは，三平方の定理の逆を使う直角三角形（90°）と三辺の長さが等しい場合の正三角形（60°）ぐらいのもので，それ以外は超応用問題になります．

【問題３】　次の３点を頂点とする三角形はどのような形の三角形か述べてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
　点 $A(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{2}B(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1),\hspace{2}C(3,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$

解説やり直す

1辺の長さが $\sqrt{3}$ の正三角形

1辺の長さが $\sqrt{6}$ の正三角形

AB=BCの二等辺三角形

∠B=90°の直角三角形

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{6}$
$BC=\sqrt{(3-2)^2+(1-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{6}$
$CA=\sqrt{(1-3)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{6}$
以上により，「1辺の長さが $\sqrt{6}$ の正三角形」 …（答）

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(2)
　点 $A(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}3),\hspace{2}B(2,\hspace{2}0,\hspace{2}1),\hspace{2}C(4,\hspace{2}1,\hspace{2}3)$

解説やり直す

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(0+ 2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{9}=3$
$BC=\sqrt{(4-2)^2+(1-0)^2+(3-1)^2}=\sqrt{9}=3$
$CA=\sqrt{(1-4)^2+(-2-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
以上により，AB²+BC²=CA²，AB=BCが成り立つから，「∠B=90°の直角二等辺三角形」 …（答）

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(3)
　点 $A(1,\hspace{2}-3,\hspace{2}1),\hspace{2}B(-1,\hspace{2}1,\hspace{2}-2),\hspace{2}C(3,\hspace{2}6,\hspace{2}2)$

解説やり直す

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(-1-1)^2+(1+ 3)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{4+ 16+ 9}=\sqrt{29}$
$BC=\sqrt{(3+ 1)^2+(6-1)^2+(2+ 2)^2}=\sqrt{16+ 25+ 16}=\sqrt{57}$
$CA=\sqrt{(1-3)^2+(-3-6)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+ 81+ 1}=\sqrt{86}$

♪～なんで分かるの？
試しに足してみようと思うことが大切
29+57=86 は小学生でもわかる

以上により，AB²+BC²=CA²が成り立つから
「∠B=90°の直角三角形」 …（答）

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(4)
　点 $A(-2,\hspace{2}-3,\hspace{2}-1),\hspace{2}B(2,\hspace{2}4,\hspace{2}1),\hspace{2}C(-1,\hspace{2}-5,\hspace{2}4)$

解説やり直す

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{16+ 49+ 4}=\sqrt{69}$
$BC=\sqrt{9+ 81+ 9}=\sqrt{99}$
$CA=\sqrt{1+ 4+ 25}=\sqrt{30}$

♪～なんで分かるの？
試しに足してみようと思うことが大切
69+30=99 は小学生でもわかる
ただし， $\sqrt{69},\hspace{2}3\sqrt{11},\hspace{2}\sqrt{30}$ にしないところがコツ

以上により，AB²+CA²=BC²が成り立つから
「∠A=90°の直角三角形」 …（答）

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【座標平面に平行な平面の方程式1】

$x$ 軸と点 $(a,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ で交わり， $yz$ 平面に平行な平面の方程式は
$x=a$ …(1)
$y$ 軸と点 $(0,\hspace{2}b,\hspace{2}0)$ で交わり， $zx$ 平面に平行な平面の方程式は
$y=b$ …(2)
$z$ 軸と点 $(0,\hspace{2}0,\hspace{2}c)$ で交わり， $xy$ 平面に平行な平面の方程式は
$z=c$ …(3)

（解説）

　中学校で習ったように，平面上でy軸に垂直（x軸に平行）な直線の方程式は，y=bの形で書かれます．
　例えば，y軸上の点(0, 4)を通り，y軸に垂直（x軸に平行）な直線の方程式は，y=4になります．
　同様にして，平面上でx軸に垂直（y軸に平行）な直線の方程式は，x=aの形で書かれます．
　例えば，x軸上の点(3, 0)を通り，x軸に垂直（y軸に平行）な直線の方程式は，x=3になります．

　これらの方程式は，普通に見慣れているy=2x+1のような直線の方程式とは少し違うように感じますが，y=4の方は，傾きが0なのでy=0x+4とも書けます．
　そもそも，y=4の直線上の点の座標は
(0, 4), (1, 4), (2, 4), ...のように，

xの値は何でもよい（xの値には制限がない）
y=4
を満たしています．直線の方程式というのは，その直線上にあるために変数x, yが満たすべき関係式，すなわち「制限」のことですが，数学では「制限のないものは書かなくもよい．書かない．」ことになっているので，この直線の方程式はy=4になります．
　同様にして，x軸上の点(3, 0)を通り，x軸に垂直（y軸に平行）な直線上の点の座標は
(3, 0), (3, 1), (3, 2), ...のように，

x=3
yの値は何でもよい（yの値には制限がない）
を満たしています．「制限のないものは書かなくもよい．書かない．」ので，この直線の方程式はx=3になります．

元の3次元空間に戻ると，例えばx軸上の点(3, 0, 0)を通り，x軸に垂直（yz平面に平行）な平面上の点の座標は
(3, 0, 0), (3, 1, 0), (3, 2, 0), ...
(3, 0, 1), (3, 1, 1), (3, 2, 1), ...

x=3
y, zの値は何でもよい（y, zの値には制限がない）
を満たしています．「制限のないものは書かなくもよい．書かない．」ので，この平面の方程式はx=3になります．

同様にして，例えばy軸上の点(0, 4, 0)を通り，y軸に垂直（yz平面に平行）な平面上の方程式はy=4になります．
また，z軸上の点(0, 0, 5)を通り，z軸に垂直（xy平面に平行）な平面上の方程式はz=5になります．

　※座標軸に，「串かつが刺してある」ときの軸の座標を書けばよいね！

【座標平面に平行な平面の方程式2】

点 $P(a,\hspace{2}b,\hspace{2}c)$ を通り，
$yz$ 平面に平行な平面の方程式は
$x=a$ …(1)
$zx$ 平面に平行な平面の方程式は
$y=b$ …(2)
$xy$ 平面に平行な平面の方程式は
$z=c$ …(3)

（解説）
　点 $P(a,\hspace{2}b,\hspace{2}c)$ を通り， $yz$ 平面， $zx$ 平面， $xy$ 平面に平行な平面は，座標軸と各々点 $(a,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ ， $(0,\hspace{2}b,\hspace{2}0)$ ， $(0,\hspace{2}0,\hspace{2}c)$ で交わるから，【座標平面に平行な平面の方程式1】で述べた公式が使える．

【問題４】　次の平面の方程式を求めてください（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
　点 $A(3,\hspace{2}4,\hspace{2}5)$ を通り，y軸に垂直な平面の方程式

解説やり直す

$x=3$ $y=4$ $z=5$

　y軸上の点 $(0,\hspace{2}4,\hspace{2}0)$ を通り，y軸に垂直な平面になるから，y=4 …（答）

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(2)
　点 $B(-5,\hspace{2}6,\hspace{2}-4)$ を通り，xy平面に平行な平面の方程式

解説やり直す

$x=-5$ $y=6$ $z=-4$

　z軸上の点 $(0,\hspace{2}0,\hspace{2}-4)$ を通り，xy平面に平行な平面になるから，z=−4 …（答）

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【空間のベクトル】

平面の場合と同様に，３次元空間においても「図形的に矢印を用いて」ベクトルを導入することができる．またベクトルを「成分を使って」表すこともできる．

矢印を使って図形的に考えるベクトル

• 平面の場合と同様に，空間においても始点Aから終点Bに向かうベクトルを $\vec{AB}$ で表す．
• ベクトルを１つの名前で $\vec{a}$ のように書くこともできる．
• ベクトルの長さ（大きさ）は，絶対値記号を使って $\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid,\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid$ のように表す．

右図の例では，
$\mid\hspace{2}\vec{OA}\hspace{2}\mid=3$
$\mid\hspace{2}\vec{OB}\hspace{2}\mid=4$
$\mid\hspace{2}\vec{OC}\hspace{2}\mid=5$
• ２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が同じ向きで大きさが等しいとき， $\vec{a}=\vec{b}$ と書く．また，ベクトル $\vec{a}$ と大きさが等しくて向きが逆のベクトルを，ベクトル $\vec{a}$ の逆ベクトルといい， $-\vec{a}$ で表す．
右図の例では，
$\vec{BD}=\vec{OA}$
$\vec{EB}=-\vec{OC}$

• ベクトルの和は，平面のときと同様に(1)「平行四辺形の対角線」または(2)「三角形の２辺の和」の考え方で求めることができる．

(1) ２つのベクトルの「始点をそろえて描く」と，平行四辺形の対角線がそれらの和を表す．

(2) $\vec{a}$ の終点に $\vec{b}$ の始点を「接ぎ木」のようにつなぐと，三角形の第3の辺がそれらの和を表す．

※一般に，(2)の考え方の方が3個以上のベクトルの和を一度に描ける点が，有利だと考えられる．
　また，(2)の考え方は，２点を結ぶベクトルの和について，

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AD}$

という公式を作る上でも考えやすい．

【例3】
　 $\vec{BA}=-\vec{AB}$ などの変形を利用して次の式を簡単にしてください．
(1) $\vec{CD}+\vec{BA}-\vec{CA}$
(2) $\vec{QR}-\vec{SR}-\vec{QP}+\vec{SP}$

（解答）
(1) $\vec{CD}+\vec{BA}-\vec{CA}=\vec{CD}+\vec{BA}+\vec{AC}$
しりとりになるように並べ替える
$=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}=\vec{BD}$
(2) $\vec{QR}-\vec{SR}-\vec{QP}+\vec{SP}=\vec{QR}+\vec{RS}+\vec{PQ}+\vec{SP}$
しりとりになるように並べ替える
$=\vec{QR}+\vec{RS}+\vec{SP}+\vec{PQ}=\vec{QQ}=\vec{0}$

【ベクトルの1次独立とベクトルの分解】

【ベクトルの１次独立の定義】
　零ベクトルでない3つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ が，
$s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}=\vec{0}\hspace{5}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\hspace{5}s=t=u=0$ …(1)
を満たすとき，これらのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ は1次独立であるという．
　1次独立でないとき，ベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ は1次従属であるという．

（解説）

　1次従属であるとき， $\vec{c}=p\vec{a}+ q\vec{b}$ のように，あるベクトルが他の2つのベクトルの1次結合（定数倍の和）で表すことができる．この場合，３つのベクトルは同一平面内にある．
　これに対して，１次独立は，x軸上に $\vec{a}$ ，y軸上に $\vec{b}$ ，z軸上に $\vec{c}$ がある場合のように，３つのベクトルが同一平面上にない．

　1次独立の定義のうちで，←すなわち，
$s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}=\vec{0}\hspace{5}\leftarrow\hspace{5}s=t=u=0$
は自明である（ $\vec{0}+ \vec{0}+ \vec{0}=\vec{0}$ だから）
　重要なのは，→すなわち，
$s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}=\vec{0}\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}s=t=u=0$
の部分で，1次結合が $\vec{0}$ になるのは， $s=t=u=0$ の場合に限るということ
　例えば， $s\ne 0$ ならば
$\vec{a}=-\frac{t}{s}\vec{b}-\frac{u}{s}\vec{c}$
と書けるから，1次従属になる．したがって，1次独立であるためには， $s=0$ でなければならない．同様にして， $t=u=0$ も示される．

【１次独立なベクトルによるベクトルの分解】
　ベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ が1次独立であるとき，3次元空間の任意のベクトル $\vec{p}$ は
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}$ …(2)
の形にただ1通りに表すことができる．
（このとき，この式を $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ による $\vec{p}$ の分解という）

（解説）

$\vec{OP}=\vec{p}$ の点Pから $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ に平行な直線を引き，図のような平行6面体を描くと，
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}$
とすることができる．
（このとき，定数 $s,\hspace{2}t,\hspace{2}u$ がただ1通りに定まることは，次のように示せる）
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}$
$=s\apos\vec{a}+ t\apos\vec{b}+ u\apos\vec{c}$
が成り立つとすれば
$(s-s\apos)\vec{a}+ (t-t\apos)\vec{b}+ (u-u\apos)\vec{c}=\vec{0}$
ここで(1)の1次独立の定義により， $(s-s\apos)=(t-t\apos)=(u-u\apos)=0$ が言えるから
$s=s\apos,\hspace{3}t=t\apos,\hspace{3}u=u\apos$
が成り立つ．したがって，ただ1通りになる．

【例4】
　右図のような平行6面体ABCD-EFGHがあるとき，1次独立な3つのベクトル
$\vec{CA}=\vec{a},\hspace{2}\vec{CF}=\vec{b},\hspace{2}\vec{CH}=\vec{c}$
を用いて，
$\vec{CB}=\vec{p},\hspace{2}\vec{CG}=\vec{q},\hspace{2}\vec{CD}=\vec{r}$
をそれぞれ表してください．

（解答）
平行四辺形の対角線が表すベクトルは，2辺が表すベクトルの和になるから
$\vec{p}+\vec{r}=\vec{a}$ …(1)
$\vec{p}+\vec{q}=\vec{b}$ …(2)
$\vec{q}+\vec{r}=\vec{c}$ …(3)
(1)+(2)−(3)より
$2\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$
$\vec{p}=\frac{\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}}{2}$

同様にして
$\vec{q}=\frac{\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}}{2}$
$\vec{r}=\frac{\vec{c}+\vec{a}-\vec{b}}{2}$

※図形的に描かれたベクトルを用いて，ベクトルの分解を求める問題は，教科書や問題集でほとんど見かけない．ベクトルの分解の問題は，むしろ，ベクトルの成分表示に関連して出題されることが多い．
　例えば，ベクトル $\vec{p}=(6,\hspace{2}-3,\hspace{2}5)$ を1次独立な3つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-1)$ ， $\vec{b}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ ， $\vec{c}=(-1,\hspace{2}3,\hspace{2}0)$ で表すとき，
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}+ u\vec{c}$
となる係数 $s,\hspace{2}t,\hspace{2}u$ を求める問題がこれに当たる．この問題は，連立方程式の解き方の問題となるが，ベクトルの成分表示の項で扱う．

【ベクトルの成分表示】

【基本ベクトル表示】

ｘ軸，ｙ軸，ｚ軸の正の向きを向いた単位ベクトル（大きさ1のベクトル） $\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_3}$ を基本ベクトルという．
点Aの座標が $(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$ であるとき
$\vec{a}=\vec{OA}=a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3}$
を $\vec{a}$ の「基本ベクトル表示」といい
　基本ベクトル $\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_3}$ の係数 $a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3$ を $\vec{a}$ の成分といい，
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$
をベクトル $\vec{a}$ の「成分表示」という．

【基本ベクトル表示】
$\vec{a}=\vec{OA}=a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3}$
【成分表示】
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$

（注1）普通の授業では，基本ベクトル表示はこの一瞬だけ現れて，二度と登場しない．成分表示を定義するために必要であるが，以後の計算などはすべて成分表示で行う．

（注2）

偽物の記号を作ってはダメだ！

$a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3}$ は基本ベクトル表示
$(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$ は成分表示
$(a_1\vec{e_1},\hspace{2}a_2\vec{e_2},\hspace{2}a_3\vec{e_3})$ ←こんなものはない！
　そもそも， $a_1\vec{e_1}$ も $a_2\vec{e_2}$ も $a_3\vec{e_3}$ も１つずつが3次元ベクトルなので，それらの和や差も3次元ベクトルを表す．
　これに対して， $a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3$ は単なる１つの数字で，３つ集めて $(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$ の形で3次元ベクトルを表す．
　こんな物を書いたら→ $(a_1\vec{e_1},\hspace{2}a_2\vec{e_2},\hspace{2}a_3\vec{e_3})$ 9次元になってしまう！

（注3）

　単位ベクトル（大きさが１のベクトル）は無数にあるが，基本ベクトルは３個だけ．
　右の図では，平面ベクトルの場合を描いているが，３次元空間ではこれが立体になる．
「単位ベクトル」は，造り酒屋の杉玉のように向きが異なる長さが１の矢印で，無限個あるが，「基本ベクトル」は座標軸の正の向きを向いたもので3個しかない．
【ベクトルの成分表示の例】

基本ベクトルを成分表示にすると，各々
$\vec{e_1}=(1,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$
$\vec{e_2}=(0,\hspace{2}1,\hspace{2}0)$
$\vec{e_3}=(0,\hspace{2}0,\hspace{2}1)$
右図のベクトルは
$\vec{OA}=(2,\hspace{2}0,\hspace{2}3)$
$\vec{OB}=(2,\hspace{2}4,\hspace{2}0)$
$\vec{OC}=(0,\hspace{2}4,\hspace{2}3)$
$\vec{OP}=(2,\hspace{2}4,\hspace{2}3)$

【空間ベクトルの成分計算】
　空間ベクトルの相等，ベクトルの和，差，実数倍についての計算は，ｚ成分が追加されるだけで，内容的には平面ベクトルの場合と同じになる．
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のとき
■ベクトルの相等
$\vec{a}=\vec{b}\hspace{5}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\hspace{5}$

$a_1=b_1$
$a_2=b_2$
$a_3=b_3$
■ベクトルの和
$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+ b_1,\hspace{5}a_2+ b_2,\hspace{5}a_3+ b_3)$
■ベクトルの差
$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\hspace{5}a_2-b_2,\hspace{5}a_3-b_3)$
■ベクトルの実数倍
$t\vec{a}=(ta_1,\hspace{2}ta_2,\hspace{2}ta_3)$
■ベクトルの1次結合
$s\vec{a}+ t\vec{b}=(sa_1+ tb_1,\hspace{5}sa_2+ tb_2,\hspace{5}sa_3+ tb_3)$

【例3】
$\vec{a}=(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}0),\hspace{2}\vec{b}=(-3,\hspace{2}0,\hspace{2}4)$ のとき，次のベクトルの成分を求めてください．
(1) $\vec{a}+\vec{b}$
(2) $\vec{a}-\vec{b}$
(3) $2\vec{a}-3\vec{b}$

（解答）
(1) $\vec{a}+\vec{b}=(-2,\hspace{2}-2,\hspace{2}4)$
(2) $\vec{a}-\vec{b}=(4,\hspace{2}-2,\hspace{2}-4)$
(3) $2\vec{a}-3\vec{b}=(2,\hspace{2}-4,\hspace{2}0)-(-9,\hspace{2}0,\hspace{2}12)$
$=(11,\hspace{2}-4,\hspace{2}-12)$

【2点を結ぶベクトル】

$A(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}B(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のとき，
$\vec{AB}=(b_1-a_1,\hspace{2}b_2-a_2,\hspace{2}b_3-a_3)$
$\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$

※ $\vec{AB}$ の矢印の向きに引きずられて， $A$ の座標から $B$ の座標を引く間違いが多いので要注意です．
$\vec{AB}=(a_1-b_1,\hspace{2}a_2-b_2,\hspace{2}a_3-b_3)$ ←これは違う！
※2点を結ぶベクトルの大きさ $\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$ と2点間の距離 $AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$ とは同じものです．
　すなわち， $\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid=AB$

【例4】
$A(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1),\hspace{2}B(4,\hspace{2}0,\hspace{2}-2)$ のとき， $\vec{AB},\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid$ を求めてください．

（解答）
$\vec{AB}=(4-3,\hspace{2}0-(-2),\hspace{2}-2-1)=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-3)$
$\mid\hspace{2}\vec{AB}\hspace{2}\mid=\sqrt{1+ 4+ 9}=\sqrt{14}$

【空間ベクトルの内積】

　２つのベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ のなす角を $\theta\hspace{5}(0^{\circ}\underline{\le}\theta\underline{\le}180^{\circ})$ とするとき，ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ …(1)
で定義する．
　 $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{3}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のとき
(2) $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3$
(3) $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid}$ $=\frac{a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}\sqrt{b_1^2+ b_2^2+ b_3^2}}$
が成り立つ．

　高校の教科書での取り扱いと同様に，ここでは(1)を内積の定義として，(2)を性質とする．［(2)を定義として(1)が成り立つことを証明することもできる．(1)はベクトルを矢印を用いて図形的に考えるときに適しており，(2)は成分表示に対応している］

品目	$\vec{a}$ 単価	$\vec{b}$ 個数
りんご	$a_1$ 150	$b_1$ 2
かき	$a_2$ 200	$b_2$ 3
みかん	$a_3$ 80	$b_3$ 5
なし	$a_4$ 120	$b_4$ 4

　(1)を定義として導入する方法では，なぜそのように定義するのか，なぜ $\cos\theta$ を使うのかについて納得のいく説明がないまま「頭ごなし」に「覚えなさい」と言う他ない…高校2年生では，まだ力積とか仕事を習っていないことが多い．また，文系の生徒の場合は，そもそも物理を選択しないから，(1)の定義が必要な場面を考えにくい．
　(2)を定義とする方法なら，小学生が買い物をする場面でも使う平易な計算になる．すなわち，単価×個数を足したものが内積で，合計金額を表す．

(1)をベクトル内積の定義とする立場に立てば，その証明はできない．使い方の説明をするだけになる．

【例5】
(1) 基本ベクトル $\vec{e_1},\hspace{3}\vec{e_2},\hspace{3}\vec{e_3}$ について，次の内積を求めてください．

1) $\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}$
2) $\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}$
3) $\vec{e_3}\cdot\vec{e_3}$
4) $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}$
5) $\vec{e_2}\cdot\vec{e_3}$

(2) 右図のベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めてください．

（解答）
(1) 1) $\mid\hspace{2}\vec{e_1}\hspace{2}\mid=1,\hspace{5}\theta=0^{\circ}$ だから
$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}=1\times 1\times\cos 0^{\circ}=1$
2)3) 同様にして
$\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}=1\times 1\times\cos 0^{\circ}=1$
$\vec{e_3}\cdot\vec{e_3}=1\times 1\times\cos 0^{\circ}=1$
4) $\mid\hspace{2}\vec{e_1}\hspace{2}\mid=1,\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{e_2}\hspace{2}\mid=1,\hspace{5}\theta=90^{\circ}$ だから
$\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=1\times 1\times\cos 90^{\circ}=0$
5) 同様にして
$\vec{e_2}\cdot\vec{e_3}=1\times 1\times\cos 90^{\circ}=0$

基本ベクトル $\vec{e_m},\hspace{3}\vec{e_n}\hspace{5}(1\underline{\le}m,\hspace{2}n\underline{\le}3)$ は，
同一物との内積が1 → $\vec{e_n}\cdot\vec{e_n}=1$
異なる物との内積が0 → $\vec{e_m}\cdot\vec{e_n}=0\hspace{5}(m\ne n)$
になる

*** 表1 ***
内積	$\vec{e_1}$	$\vec{e_2}$	$\vec{e_3}$
$\vec{e_1}$	1	0	0
$\vec{e_2}$	0	1	0
$\vec{e_3}$	0	0	1

※この表１は，後に使う．

(2) $\vec{a},\hspace{3}\vec{b},\hspace{3}\vec{c}$ はいずれも1辺の長さが1の正方形の対角線にあるから，長さ（大きさ）は $\sqrt{2}$
　正三角形だから $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ のなす角は60°
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\cos 60^{\circ}=1$

（注意１）
　ベクトルの内積は１つの数です．１つの空間ベクトルは3次元ですが，その3次元ベクトル2個の積が１つの数になります．ベクトルになるのではありません．

（注意２）
　同じベクトル２つの内積は $\vec{a}\cdot\vec{a},\hspace{5}\vec{b}\cdot\vec{b},\hspace{5}\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}$ のように書かなければなりません．

$\vec{a}^2,\hspace{5}\vec{b}^2,\hspace{5}\vec{e_1}^2$
などと書いてはいけません．

　高校数学ではベクトルの内積までしか登場しませんが，大学ではベクトルの外積というのがあって， $\vec{a}\times\vec{a},\hspace{5}\vec{b}\times\vec{b},\hspace{5}\vec{e_1}\times\vec{e_1}$ という記号で表す．内積とは異なり外積はベクトルになります．
　 $\vec{a}^2,\hspace{5}\vec{a}^3$ のような記号を勝手に作ると，そもそも何を表しているのか意味不明になります．
　これに対して， $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid,\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid,\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{e_1}\hspace{2}\mid$ のようなものは１つの数なので，２乗でも３乗でもできます．

これはあり！→ $\vec{a}\cdot\vec{a},\hspace{5}\vec{b}\cdot\vec{b},\hspace{5}\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}$
これはあり！→ $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2,\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid^2,\hspace{5}\mid\hspace{2}\vec{e_1}\hspace{2}\mid^2$
これはない！→ $\vec{a}^2,\hspace{5}\vec{a}^3,\hspace{5}\vec{b}^2,\hspace{5}\vec{b}^3$

　空間ベクトルの内積の定義 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ において， $\theta$ が分かる→ $\cos\theta$ が分かる→ $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ が求まるという場合が多いが， $\theta$ や $\cos\theta$ が分からなくても $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ が求まる場合もある．

　例えば，右図において $\theta$ は必ずしも明らかではないが，
$\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid=3$ ， $\mid\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta=3$ だから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid$ $\mid\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ $=3\times$ $3$ $=9$
になる．

【例6】
　右図の直方体ABCD-EFGHにおいて，次の内積を求めてください．

(1) $\vec{DA}\cdot\vec{DC}$
(2) $\vec{HA}\cdot\vec{HE}$
(3) $\vec{AB}\cdot\vec{EG}$
(4) $\vec{AC}\cdot\vec{AF}$

（解答）
(1) $\vec{DA}$ と $\vec{DC}$ のなす角は90°だから
$\vec{DA}\cdot\vec{DC}=3\times 4\times\cos 90^{\circ}=0$ …（答）

HEに沿ってｘ軸を，HGに沿ってy軸を，HDに沿ってｚ軸を導入し，成分で計算する場合（以下同様）
$\vec{DA}=(3,\hspace{2}0,\hspace{2}0),\hspace{2}\vec{DC}=(0,\hspace{2}4,\hspace{2}0)$ だから
$\vec{DA}\cdot\vec{DC}=3\times 0+ 0\times 4+ 0\times 0=0$ …（答）

(2) $\mid\hspace{2}\vec{HE}\hspace{2}\mid=3$ ， $\mid\hspace{2}\vec{HA}\hspace{2}\mid\cos\theta=3$ だから
$\vec{HA}\cdot\vec{HE}=3\times 3=9$ …（答）

成分で計算する場合
$\vec{HA}=(3,\hspace{2}0,\hspace{2}5),\hspace{2}\vec{HE}=(3,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ だから
$\vec{HA}\cdot\vec{HE}=3\times 3+ 0\times 0+ 5\times 0=9$ …（答）

(3) $\vec{AB}=\vec{EF}$ ， $\mid\hspace{2}\vec{EF}\hspace{2}\mid=4$ ， $\mid\hspace{2}\vec{EG}\hspace{2}\mid\cos\theta=4$ だから
$\vec{AB}\cdot\vec{EG}=4\times 4=16$ …（答）

成分で計算する場合
$\vec{AB}=(0,\hspace{2}4,\hspace{2}0),\hspace{2}\vec{EG}=(-3,\hspace{2}4,\hspace{2}0)$ だから
$\vec{AB}\cdot\vec{EG}=0\times(-3)+ 4\times 4+ 0\times 0=16$ …（答）

(4) 図形で計算する方法は，結構大変！（以下の通り）
三平方の定理を使って，３辺AC,AF,FCの長さを求めると $AC=5,\hspace{2}AF=\sqrt{41},\hspace{2}FC=\sqrt{34}$
余弦定理により
$\cos$ ∠ $CAF=\frac{AC^2+ AF^2-CF^2}{2AC\times AF}$
$AC\times AF\times\cos$ ∠ $CAF=\frac{AC^2+ AF^2-CF^2}{2}$
$=\frac{25+ 41-34}{2}=16$ …（答）

成分で計算する場合
$\vec{AC}=(-3,\hspace{2}4,\hspace{2}0),\hspace{2}\vec{AF}=(0,\hspace{2}4,\hspace{2}-5)$ だから
$\vec{AC}\cdot\vec{AF}=-3\times 0+ 4\times 4+ 0\times (-5)=16$ …（答）

$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{3}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のとき
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$ …(1)
を定義として
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3$ …(2)
を証明する方法

（教科書などに書かれている証明）

　教科書では，右図の三角形OABについて「余弦定理」を用いて，３辺の長さについて成り立つ関係から証明することが多い．
　余弦定理とは，△ABCについて
$a^2=b^2+ c^2-2ab\cos A$
などが成り立つことをいう．
　右図の△OABでは，
$\mid\hspace{2}\vec{b}-\vec{a}\hspace{2}\mid^2$
$=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2+ \mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid^2-2\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos A$
$=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2+ \mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$ ←(1)より
これを成分で表す
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{3}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ だから
$\vec{b}-\vec{a}=(b_1-a_1,\hspace{2}b_2-a_2,\hspace{2}b_3-a_3)$
$\mid\hspace{2}\vec{b}-\vec{a}\hspace{2}\mid^2=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2$
$\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}$
$\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid=\sqrt{b_1^2+ b_2^2+ b_3^2}$
これらを代入すると
$(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2$
$=a_1^2+ a_2^2+ a_3^2+ b_1^2+ b_2^2+ b_3^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$
$-2(a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3)=-2\vec{a}\cdot\vec{b}$
ゆえに
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3$ 　（証明終わり）

※ほとんどの生徒は，この証明を嫌がる．全然分からないから！そこで，筆者は次の証明の方を好む．

（基本ベクトル表示を使う証明）
$\vec{a}=a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3}$
$\vec{b}=b_1\vec{e_1}+ b_2\vec{e_2}+ b_3\vec{e_3}$
だから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3})\cdot(b_1\vec{e_1}+ b_2\vec{e_2}+ b_3\vec{e_3})$
$=a_1b_1\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}+ a_1b_2\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}+ a_1b_3\vec{e_1}\cdot\vec{e_3}$
$+ a_2b_1\vec{e_2}\cdot\vec{e_1}+ a_2b_2\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}+ a_2b_3\vec{e_2}\cdot\vec{e_3}$
$+ a_3b_1\vec{e_3}\cdot\vec{e_1}+ a_3b_2\vec{e_3}\cdot\vec{e_2}+ a_3b_3\vec{e_3}\cdot\vec{e_3}$
ここで表１を思い出すと，

内積	$\vec{e_1}$	$\vec{e_2}$	$\vec{e_3}$
$\vec{e_1}$	1	0	0
$\vec{e_2}$	0	1	0
$\vec{e_3}$	0	0	1

各々の基本ベクトルの内積は右の値になるから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3$
（証明終わり）
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{3}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のとき
(3) $\cos\theta=\frac{a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}\sqrt{b_1^2+ b_2^2+ b_3^2}}$
を証明する方法
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$
だから
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid}$ $=\frac{a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}\sqrt{b_1^2+ b_2^2+ b_3^2}}$
（証明終わり）

　この公式は， $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}\ne \vec{0}$ である２つのベクトルの成分が与えられたとき， $\cos\theta$ の値までは数字として求められるということを示している（三角関数表があればθも求められる）．
　例えば， $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{3}\vec{b}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$ のとき
$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{1}{7}=0.1428..$
三角関数表を見ればθは約82°

【例7】
　次の２つのベクトルの内積となす角θを求めてください．
(1) $\vec{a}=(3,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{3}\vec{b}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-4)$
(2) $\vec{c}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}-1),\hspace{3}\vec{d}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}-3)$
(3) $\vec{e}=(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}0),\hspace{3}\vec{f}=(0,\hspace{2}1,\hspace{2}-1)$

（解答）
(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}=6+ 6-12=0$
$\cos\theta=0$ だから $\theta=90^{\circ}$
(2) $\vec{c}\cdot\vec{d}=6-2+ 3=7$
$\cos\theta=\frac{7}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{1}{2}$
$\theta=60^{\circ}$
(3) $\vec{e}\cdot\vec{f}=0-1+ 0=-1$
$\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$
$\theta=120^{\circ}$

【ベクトルの平行条件，垂直条件】

　空間において $\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ が
(Ⅰ) 平行となる条件は，次の(1)(2)(3)のいずれかが成り立つこと

$\vec{b}=t\vec{a}$ となる実数 $t$ が存在すること…(1)

$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$ …(2)
（ただし，分母が0のときは分子も0とする）
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid$ …(3)
(Ⅱ) 垂直となる条件は，次の(4)(5)のいずれかが成り立つこと

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ …(4)

$a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3=0$ …(5)

※(1)と(4)は重要．他のものは覚えなくてもよい．

（解説）

(1) $\vec{b}$ が $\vec{a}$ と同じ向きに平行である場合， $\vec{a}$ を正の倍率で拡大（または縮小）すれば $\vec{b}$ と一致するはずであり，逆向きに平行である場合， $\vec{a}$ を負の倍率で拡大（または縮小）すれば $\vec{b}$ と一致するはずだから，
$\vec{b}=t\vec{a}$
となる実数 $t$ が存在すれば，２つのベクトルは平行だと言える．また，平行ならばこのような実数 $t$ が定まる．

【例8】
　次の２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が平行となるように定数 $x,\hspace{2}y$ の値を定めてください．
$\vec{a}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1),\hspace{2}\vec{b}=(x,\hspace{2}y,\hspace{2}2)$

（解答）
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}2)=t(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$
$\overset{\rightarrow}{\leftarrow}$

$x=3t$
$y=-2t$
$2=t$
この連立方程式を解くと， $x=6,\hspace{2}y=-4$ …（答）

(2)の解説
(1)の結果を使うと，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が平行となるには
$(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)=t(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$
この式は
$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}=t$
と書ける．ただし，分母が0のときは分子も0を表すものとする．

(2)式は(1)式から直ちに作ることができるから，覚えるほどのものではない．
また，分母や分子が0になるとき，当惑することがあるので，有利な公式とは言い難い．

(3)の解説
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta$
であるから，２つのベクトルが同じ向きに平行ならば
$\theta=0^{\circ}\rightarrow\cos\theta=1\rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid$
逆向きに平行ならば
$\theta=180^{\circ}\rightarrow\cos\theta=-1\rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=-\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid$

(3)式は $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid$ などが根号計算になり $\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}$ 煩わしい．
(3)を使わなければ解けないような問題は，めったにない

(4)の解説
空間において $\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ について
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\cos\theta=0$
が成り立つとき，
仮定により $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid\ne 0,\hspace{2}\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\ne 0$ だから
$\cos\theta=0$
したがって
$\theta=90^{\circ}$
逆も成り立つことは明らか．

　高校では，零ベクトル $\vec{0}$ の「向き」は考えないことにしているので，零ベクトル $\vec{0}$ はどんなベクトルとも垂直にならないと考える．
　大学では，零ベクトル $\vec{0}$ の場合も含めて， $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ が成り立つときに２つのベクトルは垂直と定義するので，零ベクトル $\vec{0}$ はすべてのベクトルと垂直になる．
　数年で手のひらを返されるが， $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ が成り立つことを重宝するということらしい

(5)は(4)を成分で書いたもの

【例9】
(1) $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid=\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid\ne 0$ で $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が平行でないとき， $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ は垂直になることを示してください．
(2) ２つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-3),\hspace{2}\vec{b}=(x,\hspace{2}-1,\hspace{2}1)$ が垂直になるように定数 $x$ の値を定めてください．
(3) ２つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}1,\hspace{2}0),\hspace{2}\vec{b}=(0,\hspace{2}1,\hspace{2}1)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めてください．

（解答）
(1) $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}$
$=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2-\mid\hspace{2}\vec{b\hspace{2}\mid^2$
ここで，仮定により $\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid=\mid\hspace{2}\vec{b}\hspace{2}\mid$ だから
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$
また， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ は零ベクトルでなく，平行でもないから， $\vec{a}+\vec{b}\ne \vec{0}$ かつ $\vec{a}-\vec{b}\ne \vec{0}$

高校の答案で，垂直であることを言うためには，内積が0になることだけでなく，各々が零ベクトルでないことを書く必要がある

以上から， $(\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-\vec{b})$

(2) $\vec{a}\cdot\vec{b}=x-2-3=0$
$x=5$ …（答）
(3) 求めるベクトルを $\vec{c}=(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ とおくと
$\vec{c}\perp\vec{a}$ より
$x+ y=0$
$\vec{c}\perp\vec{b}$ より
$y+ z=0$
$\mid\hspace{2}\vec{c}\hspace{2}\mid^2=1$ より
$x^2+ y^2+ z^2=1$
この連立方程式を解く
$\vec{c}=\pm(\frac{\sqrt{3}}{3},\hspace{2}-\frac{\sqrt{3}}{3},\hspace{2}\frac{\sqrt{3}}{3})$ …（答）

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