PC用は別頁
== 単項式と多項式 ==
 この教材のレベルは,高等数学Tの教科書のレベルです.応用的な内容を期待される方は,他のページを見てください.
 数学Tを初めて学ぶ人や長年の空白期間の後に復習したい人など,初歩から学び直す読者を想定しています.
1. 単項式
 5x, −3x2のように,数や文字をいくつか掛け合わせて得られる式を単項式といい,数の部分を係数,掛け合わせてある文字の個数をその単項式の次数という.
【参考1.1】
 係数は見たままの「物」に付けられた名前であるのに対して,次数は掛けられている文字の「個数」に付けられた名前となっていて,〇〇数と言っても同列の名前でないことに注意
【例】 単項式「3a」の係数は3, 次数は1

【例】 単項式「4x3」の係数は4, 次数は3

 なお,次数はいくらかと尋ねられたとき,「次数は3」のように1つの数で答えるのが普通であるが,文章の中では「次数は3次」「3次式」という言い方もする.

【問1.1.1】
3x2の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る
【問1.2.1】
−4x3の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る
【参考1.2】
 "文字に掛けてある数字が係数"と覚えている生徒もいるようですが,その考え方からは「数字だけからなる式」「定数項」には係数はないと考えることになってしまい,高校以上の数学とつじつまが合わなくなります.
#そこは頑張る場所ではない#
高校以上では定数項もそれ自体を係数と扱うのが普通です.

 数だけの単項式の次数は0とします.
 高校数学Uでx0=1ということを習います.これにより,3=3x0, 5=5x0と考えれば納得できるでしょう.

 ただし,0x3, 0x2, 0x, 0などは,いずれも単に0と書くので,数の0だけは次数を定めません.
レレレの零?簡単過ぎて難しい!!深堀すると更に難しくなるので,「聞いたことがある」程度にしておこう
#そこは頑張る場所ではない#

【問1.2.1】
 単項式5の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る
【問1.2.2】
 単項式0の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る

 どの文字の式と考えるかをはっきりさせて,xについての単項式などという場合もある.この場合は,掛け合わせてあるxの個数が次数になり,それ以外の数字の部分が係数になる.
 2種類以上の文字を含む単項式では,
(1) 特に指定がなければ,掛けられているすべての文字の個数を次数といい,残りの数を係数という.
(2) 特定の文字に着目して次数を考えるときは,着目した文字の個数を次数といい,残りの文字と数字を係数として扱う.
【例】
 xについての単項式−4x5の係数は−4, 次数は5である.
【例】
 2種類の文字を含む単項式5ax2について
(1) 特に文字の指定がないとき,係数は5,次数は3
(2) xに着目する場合(xについては),係数は5a,次数は2である
(3) aに着目する場合(aについては),係数は5x2,次数は1である
【問1.3.1】
 単項式5ab2x3の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る
【問1.3.2】
 xに着目する場合,単項式5ab2x3の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る
【問1.3.3】
 a, bについて,単項式5ab2x3の係数と次数はそれぞれいくらですか.
解答を見る

2. 多項式
 2x2−4x+3のように,単項式の和として表される式を多項式といい,その1つ1つの単項式を多項式のという.
 単項式と多項式を合わせて,整式という.
 整式では,次数が最も高い項の次数をその整式の次数といい,次数がnの整式をn次式という.
 文字を含まない項を定数項という.2種類以上の文字を含む多項式で,着目している文字を含まない項も定数項である.
【参考2.1】
 単項式の「和」として表されるものを多項式と定義するが,2x2−4x+3=2x2+(−4)x+3のように,単項式の「差」で書かれるものも,符号を逆にした項の「和」と考えることができるから,単項式の差が含まれる式も,そのままの形で多項式という.
【参考2.2】
 x3−4x2+3x−5のような多項式において,次数は最高次の項x3だけで判断し,他の項にあるxの個数は全く考慮されない.
2位以下のxの個数も・・・と迷って,
3+2+1=6(次)
などと答える間違いが多い
【問2.1】
 多項式x2+2xy+y2−3x+4y+6は何次式か,また定数項はいくらか.
解答を見る
【問2.2】
 xに着目した場合,x2y+2xy3−3xy+4y2+5x−3は何次式か,また定数項はいくらか.
解答を見る
【問2.3】
 x3+x2+x+1は何次式か.
解答を見る

3. 整式の整理
 整式の中で文字の部分が同じ項を同類項という.
 同類項は,係数の和を計算して,1つの項に簡約する(まとめる)ことができる.同類項をまとめることを,整式を整理するという.
【問3.1】
 次の整式の同類項をまとめてください.
 3x2+2x−1+2x2−3x+4
解答を見る
【問3.2】
 次の整式をxについて整理してください.
 x2+2xy+y2−3x+2y+4
解答を見る
【問3.3】
 次の整式をaについて整理してください.
 x2+(a+b)x+ab
解答を見る

 整式を整理するときに,ある1つの文字について次数の高い項から並べる方法を降べきの順に整理するという.
 次数の低い項から並べる方法は昇べきの順と呼ばれる.
【参考3.1】
 「べき」とは何か・・・方べきの定理では,べきという用語が「掛け算」という意味に使われているが,もっと一般的にxの累乗x2, x3, x4, …xべき乗とも呼ばれ,1+x+x2+x3+…などはべき級数と呼ばれる.このように「べき」は,累乗を表す数学用語として確立しているが,冪という漢字が当用漢字にないので,今日ではひらがなで「べき」と書いている.
【参考3.2】
 「昇べきの順」はどんなときに使うか?
 関数の性質や方程式の解き方など,重要な事柄は最高次の次数で決まることが多いので,高校数学ではほとんどの場合「降べきの順」に整理します.
 これに対して,無限級数a+bx+cx2+dx3+…などでは昇べきの順に書きます.(次数の高い方から書くのは無理でしょう・・・どこまで行っても始まらない)
【問3.4】
 次の整式をxについて降べきの順に整理してください.
 2x2+3x−7+4x2−5x+1
解答を見る
【問3.5】
 次の整式をxについて降べきの順に整理してください.
 3x2+2xy+4y2−5x+3y+7
解答を見る

■この問題で頑張るとよい■
4. 次数最低の文字について整理
 整式を整理するとき,どの文字に着目するかによって次数が変わるのが普通である.例えば,次の式はaについては2次,bについては3次,cについては1次になる.
a2b+b2c+b3−a2c
 この例では,次数が最も低くなるcについて整理すると,その後の因数分解などの変形が有利になる.
【問4.1】
 次の式を次数の最も低い文字について,降べきの順に整理してください.
 a2b+b2c+b3−a2c
解答を見る
【問4.2】
 次の式を次数の最も低い文字について,降べきの順に整理してください.
 2x2+3xy+4y2+5x+6y+7
解答を見る
【問4.3】
 次の式を次数の最も低い文字について,降べきの順に整理してください.
 a2x2−x2y−a4y+2a2y2−y3
解答を見る
...(PC版)メニューに戻る