必要条件，十分条件

　ｐはｑであるための必要条件，
ｑはｒであるための十分条件
であるとき，
ｐであることはｒであるための（　　）条件

　ｐはｑであるための必要条件，
ｑはｒであるための必要十分条件，
ｓはｒであるための十分条件
であるとき，
ｓはｐであるための（　　）条件

　ｐはｑであるための必要条件，
ｑはｒであるための必要条件，
ｒはｓであるための必要条件，
ｓはｐであるための必要条件
であるとき，
ｒはｐであるための（　　）条件

　ｐはｑであるための十分条件，
ｑはｒであるための十分条件，
ｒはｓであるための十分条件，
ｓはｑであるための十分条件
であるとき，
ｓはｐであるための（　　）条件

　Ｃ⊂ＡまたはＣ⊂Ｂ　であることは，
Ｃ⊂Ａ∪Ｂ　であるための（　　）条件

　Ａ∩Ｂ⊃Ａ∪Ｂ　であることは，
Ａ＝Ｂ　であるための（　　）条件

　Ａ∪Ｃ⊃Ｂ∪Ｃ　となるＣが存在することは，
Ａ⊃Ｂ　であるための（　　）条件

Ａ∩Ｂ≠，Ｂ∩Ｃ≠，Ｃ∩Ａ≠は
　Ａ∩Ｂ∩Ｃ≠　であるための（　　）条件

$A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であっても $A\cap B\cap C\ne\empty$ だとは言えないことをいうには，反例： $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であって，かつ $A\cap B\cap C=\empty$ となる例を1つ示せばよい．
$A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=\{3,1\}$ のとき， $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であって，かつ $A\cap B\cap C=\empty$ だから，十分条件ではない．

$A\cap B\cap C\ne\empty\rightarrow A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ は次のように証明できる．
$A\cap B\cap C\sub A\cap B$ ， $A\cap B\cap C\sub B\cap C$ ， $A\cap B\cap C\sub C\cap A$ だから， $x\in A\cap B\cap C$ ならば， $x\in A\cap B$ ， $x\in B\cap C$ ， $x\in C\cap A$ となるから， $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$

　すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ　となることは，
Ａ⊃Ｂ　であるための（　　）条件

すべてのＣについて（どんなＣについても）成り立つならば，当然ある特定のＣについても成り立たなければなりません．だから，例えばＣ=Ｕ（全体集合）である場合，Ｃ=φ（空集合），Ｃ=Ａ，Ｃ=Ｂである場合にも成り立たなければなりません．
つまり，「すべてのＣについて○○」に対して「あるＣについて○○」は必要条件になります．
　そこで，いくつかのＣについてこのような必要条件を試してみて，捜査の範囲を絞ります．特にＣ=Ｕ（全体集合）とき，Ａ⊃Ｂとなり，これが必要条件です．（この問題では，他の場合に得られる結論は当然成り立つものばかりです）
　次に，Ａ⊃Ｂのとき，「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」となるかどうか調べます．（十分条件が成り立っているかどうかを調べます）
Ａ⊃Ｂのときは次の図において×印の箇所がないので「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃとなる」ことがいえます．（十分条件も成立します）
　問題文では「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」となることを主語としているので，上記の論理と主客を反対に答えて，前半では十分条件，後半では必要条件が成立していることになります．

　Ａ⊃Ｂ，Ｂ⊃Ｃ，Ｃ⊃Ａ　は，
Ａ＝Ｂ＝Ｃ　であるための（　　）条件

　命題「ＰならばＱ」がなりたつとする．このとき，命題「ＰならばＲ」が成り立つことは，命題「ＱならばＲ」がなりたつための．また，命題「ＲならばＰ」が成り立つことは，命題「ＲならばＱ」がなりたつための．
　(1)　必要十分条件である
　(2)　必要条件であるが，十分条件とは限らない
　(3)　十分条件であるが，必要条件とは限らない
　(4)　必要条件とも，十分条件とも限らない

････「東京理科大学　S57年度入試問題」の引用

１　ｐはｑであるための必要条件，ｑはｒであるための十分条件であるとき，ｐであることはｒであるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
２　ｐはｑであるための必要条件，ｑはｒであるための必要十分条件，ｓはｒであるための十分条件であるとき，ｓはｐであるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
３　ｐはｑであるための必要条件，ｑはｒであるための必要条件，ｒはｓであるための必要条件，ｓはｐであるための必要条件であるとき，ｒはｐであるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
４　ｐはｑであるための十分条件，ｑはｒであるための十分条件，ｒはｓであるための十分条件，ｓはｑであるための十分条件であるとき，ｓはｐであるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
５　Ｃ⊂ＡまたはＣ⊂Ｂ　であることは，Ｃ⊂Ａ∪Ｂ　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
６　Ａ∩Ｂ⊃Ａ∪Ｂ　であることは，Ａ＝Ｂ　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
７　Ａ∪Ｃ⊃Ｂ∪Ｃ　となるＣが存在することは，Ａ⊃Ｂ　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
８Ａ∩Ｂ≠，Ｂ∩Ｃ≠，Ｃ∩Ａ≠は　Ａ∩Ｂ∩Ｃ≠　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓ $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であっても $A\cap B\cap C\ne\empty$ だとは言えないことをいうには，反例： $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であって，かつ $A\cap B\cap C=\empty$ となる例を1つ示せばよい． $A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=\{3,1\}$ のとき， $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ であって，かつ $A\cap B\cap C=\empty$ だから，十分条件ではない． $A\cap B\cap C\ne\empty\rightarrow A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$ は次のように証明できる． $A\cap B\cap C\sub A\cap B$ ， $A\cap B\cap C\sub B\cap C$ ， $A\cap B\cap C\sub C\cap A$ だから， $x\in A\cap B\cap C$ ならば， $x\in A\cap B$ ， $x\in B\cap C$ ， $x\in C\cap A$ となるから， $A\cap B\ne\empty,\hspace{2}B\cap C\ne\empty,\hspace{2}C\cap A\ne\empty$
９　　すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ　となることは，Ａ⊃Ｂ　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓ すべてのＣについて（どんなＣについても）成り立つならば，当然ある特定のＣについても成り立たなければなりません．だから，例えばＣ=Ｕ（全体集合）である場合，Ｃ=φ（空集合），Ｃ=Ａ，Ｃ=Ｂである場合にも成り立たなければなりません．つまり，「すべてのＣについて○○」に対して「あるＣについて○○」は必要条件になります．　そこで，いくつかのＣについてこのような必要条件を試してみて，捜査の範囲を絞ります．特にＣ=Ｕ（全体集合）とき，Ａ⊃Ｂとなり，これが必要条件です．（この問題では，他の場合に得られる結論は当然成り立つものばかりです）　次に，Ａ⊃Ｂのとき，「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」となるかどうか調べます．（十分条件が成り立っているかどうかを調べます）Ａ⊃Ｂのときは次の図において×印の箇所がないので「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃとなる」ことがいえます．（十分条件も成立します）　問題文では「すべてのＣについてＡ∩Ｃ⊃Ｂ∩Ｃ」となることを主語としているので，上記の論理と主客を反対に答えて，前半では十分条件，後半では必要条件が成立していることになります．
10　　Ａ⊃Ｂ，Ｂ⊃Ｃ，Ｃ⊃Ａ　は，Ａ＝Ｂ＝Ｃ　であるための（　　）条件	｛必要，十分，必要十分，必要でも十分でもない｝ヒント↓
11 　次のにあてはまるものを下の中から番号で答えよ．　命題「ＰならばＱ」がなりたつとする．このとき，命題「ＰならばＲ」が成り立つことは，命題「ＱならばＲ」がなりたつための．また，命題「ＲならばＰ」が成り立つことは，命題「ＲならばＱ」がなりたつための．　(1)　必要十分条件である　(2)　必要条件であるが，十分条件とは限らない　(3)　十分条件であるが，必要条件とは限らない　(4)　必要条件とも，十分条件とも限らない････「東京理科大学　S57年度入試問題」の引用	(1) (2) (3) (4) ヒント↓ (1) (2) (3) (4) ヒント↓