三角形の形状・証明問題

正弦定理・余弦定理の応用

三角形の形状・証明問題

《解説》
□
　三角形の形状問題（正三角形，二等辺三角形，直角三角形など三角形の種類を言い当てる問題）や証明問題においては，正弦定理や余弦定理を変形して，角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが原則です．

＜原則＞・・・角を辺に直す

・
・
・tanＡは上記２つを用いてとします．

Ｂ，Ｃについても同様です．

　角度の関係式を辺の関係式に直すのは，一般に角度の関係式が変形しにくく，見通しを立てにくいからです：

例　sin(A+B)やsinAcosB-sinBcosAは変形しにくいが
　(a+b)²=a²+2ab+b²においては，文字式の通常の展開公式が使えます．

　例

　次の等式が成り立つとき，この△ＡＢＣはどんな形の三角形か．
　asinA=bsinB+csinC

　(答案)

　などを代入すると，

これより，ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２　
∠Ａ＝９０゜の直角三角形・・・(答)

□　最後の詰めは，どうするのか
　辺だけの関係式から，三角形の形状を言い当てるには，次のような性質を用います．

a=b　→　∠Ａ＝∠Ｂの二等辺三角形

（b=c，ｃ＝ａについても同様）

ａ＝ｂ＝ｃ　→　正三角形

　辺についての関係式から「直角」など角度についての関係を引き出すには，「ピタゴラスの定理の逆」を前もって覚えておかなければできません．
ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２　→　∠Ａ＝９０゜の直角三角形

（b=c，ｃ＝ａについても同様）

ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２　かつ　ｂ＝ｃ　→　∠Ａ＝９０゜の直角二等辺三角形

　答案としては，単に「二等辺三角形」とするのではなく「∠Ａ＝∠Ｂの二等辺三角形」，単に「直角三角形」とするのではなく「∠Ａ＝９０゜の直角三角形」と書くことが要求されるのが普通です．　

《問題》
　次の等式が成り立つとき，この△ＡＢＣはどんな形の三角形か　

1 sin²A=sin²B+sin²C などを代入すると，となり，分母を払うとａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２となります．	ａ＝ｂの二等辺三角形ｂ＝ｃの二等辺三角形ｃ＝ａの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
２　*ｃ＝２ａcosＢ* を代入となりｃ^２＝ｃ^２＋ａ^２－ｂ^２ａ^２＝ｂ^２ａ，ｂ＞０だからａ＝ｂ	ａ＝ｂの二等辺三角形ｂ＝ｃの二等辺三角形ｃ＝ａの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
３　*ａsinＡ＝(b+c)(sinB-sinC)* などを代入すると，となり，分母を払うとａ^２＝ｂ^２－ｃ^２となります．ここで-c²を移項します．	ａ＝ｂの二等辺三角形ｂ＝ｃの二等辺三角形ｃ＝ａの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
４　sinAcosB=sinBcosA ，などを代入すると移項すると，２（ａ^２－ｂ^２）＝０ａ，ｂ＞０だからａ＝ｂ	ａ＝ｂの二等辺三角形ｂ＝ｃの二等辺三角形ｃ＝ａの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
５　*２cosBsinC=sinA* ，などを代入するとこれよりｃ^２＋ａ^２－ｂ^２＝ａ^２つまりｃ^２－ｂ^２＝０ｃ，ｂ＞０だからｃ＝ｂ	ａ＝ｂの二等辺三角形ｂ＝ｃの二等辺三角形ｃ＝ａの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)

《解説》
□　変形していくと，３次式，４次式，．．．となることがあります．このような場合，因数分解によって判断します．
　例
　　(ａ^２－ｂ^２)(ａ^２＋ｂ^２－ｃ^２)＝０となれば「ａ＝ｂの二等辺三角形」又は「∠Ｃ＝90゜の直角三角形」とします．
□　ｃｏｓ^２Ａなどに上記の変形をそのまま代入すると，となって複雑になりすぎます．この場合，ｃｏｓ^２Ａ＝１－sin^２Aとして，を用いることができます．

《問題つづき》

６ sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC ，などを代入すると分母を払って移項するとａ^４－２ａ^２ｂ^２＋ｂ^４－ｃ^４＝０ (ａ^２－ｂ^２)^２－ｃ^４＝０ (ａ^２－ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２－ｂ^２－ｃ^２)＝０	ａ＝ｂ又はｂ＝ｃの二等辺三角形ｂ＝ｃ又はｃ＝ａの二等辺三角形ｃ＝ａ又はａ＝ｂの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
◇７　*(ｂ－ｃ)cos^２A＝ｂcos^２B－ｃcos^２C* などを代入して簡単にすると (ｂ－ｃ)ａ^２＝ｃ^３－ｂ^３ (ｂ－ｃ)(ａ^２－ｂ^２－ｂｃ－ｃ^２)＝０ゆえに，ｂ＝ｃ又はａ^２－ｂ^２－ｂｃ－ｃ^２＝０ *ａ^２＝ｂ^２＋ｂｃ＋ｃ^２はcosＡ＝-1/2を表わす*	ａ＝ｂ又はｂ＝ｃの二等辺三角形ｂ＝ｃ又はｃ＝ａの二等辺三角形ｃ＝ａ又はａ＝ｂの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)
◇８　ｔａｎＡ：tanB=ａ^２：ｂ^２ *ｂ^２tanＡ＝ａ^２ｔａｎＢ* *ｂ^２sinＡ/cosA＝ａ^２sinＢ/cosB* b²(c²+a²-b²)=a²(b²+c²-a²) b²c²+b²a²-b⁴-a²b²-a²c²+a⁴=0 b²c²-b⁴-a²c²+a⁴=0 (b²-a²)(c²-a²-b²)=0	ａ＝ｂ又はｂ＝ｃの二等辺三角形ｂ＝ｃ又はｃ＝ａの二等辺三角形ｃ＝ａ又はａ＝ｂの二等辺三角形正三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角三角形 ∠Ａ＝90゜又は∠Ｂ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｂ＝90゜又は∠Ｃ＝90゜の直角二等辺三角形 ∠Ｃ＝90゜又は∠Ａ＝90゜の直角二等辺三角形上記のいずれでもない (ヒントがほしい)

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