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== 正弦定理・余弦定理の応用… 三角形の形状・証明問題 ==

《解説》
○三角形の形状問題(正三角形,二等辺三角形,直角三角形など三角形の種類を言い当てる問題)や証明問題においては,正弦定理や余弦定理を変形して,角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが原則です.

<原則>・・・角を辺に直す


tanは上記2つを用いて

とします.
B,Cについても同様です.

(「辺→角」でなく「角→辺」に変形する理由)
 角度の関係式を辺の関係式に直すと,一般に角度の関係式が変形しにくく,見通しを立てにくいからです:
【例】
とか
のような角度を含む式は変形しにくいが

のような辺だけを含む式は,文字式の通常の展開公式が使える.

 例  次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か.

 (答案)
などを代入すると,

これより,a=b+c
∠A=90゜の直角三角形・・・(答)

□ 最後の詰めは,どうするのか
 辺だけの関係式から,三角形の形状を言い当てるには,次のような性質を用います.
a=b → ∠A=∠Bの二等辺三角形
(b=c,c=aについても同様)
a=b=c → 正三角形
 辺についての関係式から「直角」など角度についての関係を引き出すには,「ピタゴラスの定理の逆」を前もって覚えておかなければできません.
=b+c → ∠A=90゜の直角三角形
(b=c,c=aについても同様)
=b+c かつ b=c
 → ∠A=90゜の直角二等辺三角形

 答案としては,
単に「二等辺三角形」とするのではなく「∠A=∠Bの二等辺三角形」,
単に「直角三角形」とするのではなく「∠A=90゜の直角三角形」
などと書くことが要求されます. 


《問題》
 次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か 
1
【選択肢】

【選択肢】

【選択肢】

【選択肢】

【選択肢】


《解説》
○変形していくと,3次式,4次式,...となることがあります.このような場合,因数分解によって判断します.
【例】
(a−b)(a+b−c)=0
となれば
a=bの二等辺三角形
または
∠C=90゜の直角三角形
とします.


○角を辺に直す場合に注意すべきこととして,などの式があります.このような式に上記の変形をそのまま代入すると,

となって複雑になりすぎます.このような場合,

として,

に直すことができます.


《問題つづき》
【選択肢】

◇7
【選択肢】
◇8
【選択肢】

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