2次不等式

== ２次不等式 ==
・・・２次関数のグラフがｘ軸と１点で接する場合 《要約》

$y=ax^2+ bx+ c$ と $x$ 軸が $x=\alpha$ で接するとき，グラフを見れば各々の２次不等式の解は次のようになることが分かります．
＜問題の形＞　　　　　　　　　＜答の形＞
ア）　 $ax^2+ bx+ c\lt 0\hspace{5}(a\gt 0)$ 　→　解なし

０以上のものしかないときに、負のものを探してもない ♪～　「ないものねだり」の子守唄

イ）　 $ax^2+ bx+ c\gt 0\hspace{5}(a\gt 0)$ 　→　 $x\lt\alpha,\hspace{5}\alpha\lt x$ （省略的に「ｘ≠α」と書くこともある） ウ）　 $ax^2+ bx+ c\underline{\le}0\hspace{5}(a\gt 0)$ 　→　 $x=\alpha$

$ax^2+ bx+ c\underline{\le}0$ とは，「負でもよい」「０でもよい」ということ
グラフを見ると， 「負のところ」→ない，「０のところ」→１つだけある： ｘ＝αだけが解）

エ）　 $ax^2+ bx+ c\underline{\ge}0\hspace{5}(a\gt 0)$ 　→　 $x$ はすべての数

０以上のものばかりのときに、０以上のものを探せば ♪～　「全員合格」

（参考）
$ax^2+ bx+ c$ は２次式

２次式には「解」などというものはない．２次式は，展開や因数分解などの式の変形ができるだけである．

$ax^2+ bx+ c=0$ は２次方程式

２次方程式の解は，因数分解や解の公式を使って求めることができる．２次方程式の解は $x$ の「値」になる．
※見た目で言えば，２次式に $=0$ を付けたら２次方程式になる．

$ax^2+ bx+ c\underline{\ge}0$ ， $ax^2+ bx+ c\lt 0$ などは２次不等式

２次不等式の解は，一般には $x$ の「値の範囲」になる．
※見た目で言えば，２次式に
$\lt 0,\hspace{5}\underline{\le}0,\hspace{5}\gt 0,\hspace{5}\underline{\ge}0$ を付けたら２次不等式になる．

$y=ax^2+ bx+ c$ は２次関数

２次関数には「グラフ」が対応する．
※見た目で言えば，２次式に $y=$ を付けたら２次関数になる．

右上に続く↑

■２次不等式の解き方の流れ
(1)　初めに「２次不等式」の問題が与えられたとき

【例】 $x^2-4x+ 3\lt 0$

(2)　２次不等式を解くためには「２次関数」のグラフを描かなければならない．

【例】 $y=x^2-4x+ 3$

(3)　２次関数のグラフと $x$ 軸との交点を求めるには，２次方程式」を解かなければならない．

【例】 $x^2-4x+ 3=0$

実際に問題を解くときは，上記の考察を「逆順」にたどればよい．

初めに問題を見たら
(3)２次方程式を作る
$x^2-4x+ 3=0$

２次方程式の解を求める
$x=1,\hspace{5}3$

(2) ２次関数
$y=x^2-4x+ 3$
のグラフを描く（右図）

(1) ２次不等式の解を求める
$1\lt x\lt 3$ …（答）

※２次不等式を見せられたら，誰も聞いていないのに

「２次方程式は～♪」
「２次方程式の解は～♪」
「２次関数のグラフは～♪」

と一人演説をしなければならない．
この一人演説の長さに耐えられなければ，問題は解けない．

※次の違いにも注意してください
⇒ ２次方程式の解は２次不等式の解とは違う．
（ここでは２次不等式が目的で，２次方程式は手段）

【例題１】
　２次不等式 $x^2-4x+ 3\lt 0$ の解を求めてください．

（解答）

２次方程式
$x^2-4x+ 3=0$
の解は
$x=1,\hspace{5}3$
２次関数
$y=x^2-4x+ 3$
のグラフは右図のようになる．
グラフから $y\lt 0$ になる $x$ の値の範囲は
$1\lt x\lt 3$ …（答）

※要約のところで，ア）イ）ウ）エ）に付いていた $a\gt 0$ は何の役にたっているのか．

たとえば， $a\lt 0$ の場合とは $-x^2+ 4x-3\gt 0$ のように $x^2$ の係数が負の数になっているとき，そのまま
$y=-x^2+ 4x-3$
のグラフを使って解くと，グラフの凹凸が逆になって混乱する場合があるので，基本を固める段階では
$-x^2+ 4x-3\gt 0$
のような形の問題は，両辺に－１を掛けるとか，左辺の式を右辺に移項するなどして
$x^2-4x+ 3\lt 0$
に直してから解くということです．

【例題２】
　２次不等式 $x^2-6x+ 9\gt 0$ の解を求めてください．

（解答）

２次方程式
$x^2-6x+ 9=0$
$(x-3)^2=0$
の解は
$x=3$ （重解）
だから，２次関数
$y=x^2-6x+ 9$
のグラフは右図のようになる．
グラフから $y\gt 0$ になる $x$ の値の範囲は
$x\lt 3,\hspace{5}3\lt x$ …（答）
$x\ne 3$ と書いてもよい

【問題】
グラフを参考にして，２次不等式の解を選びなさい．
（右から正しい選択肢をクリック）

(1)	2次不等式　ｘ²－６ｘ＋９＞０の解は

(2)	2次不等式　ｘ²＋４ｘ＋４＜０の解は

(3)	2次不等式　ｘ²－２ｘ＋１≦０の解は

(4)	2次不等式　２ｘ²＋４ｘ＋２≧０の解は

(5)	2次不等式　４ｘ²－４ｘ＋１＜０の解は

(6)	2次不等式　９ｘ²＋１２ｘ＋４＞０の解は

(7)	2次不等式　２ｘ²＋１２ｘ＋１８≧０の解は

(8)	2次不等式　５ｘ²＋１０ｘ＋５≦０の解は

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