メネラウスの定理,チェバの定理

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※このページの内容は，高校数学Ａの平面幾何（選択）の教科書に載っています．中学生には少し難しいですが，読めば分かります．中学生が定理の結果を覚える必要はないでしょう．ただし，中学校で習う相似図形の性質で解けるものなので，類似の問題は出題されるかもしれません．

【メネラウスの定理】(メネラウスはギリシャの数学者1世紀

　直線lが△ABCの３辺AB, BC, CAまたはその延長と，それぞれ，P, Q, Rで交わるとき，次の式が成り立つ．
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　右の図では，交点Qだけ変な位置にあるように見えるが，１つの直線と３辺AB, BC, CAの交点を考えるとき，少なくとも１つの交点は辺の延長上に来る．
　③：BC→④：CQと見るのではなく，上の定理のように③：BQ→④：QCと正しく読むには，機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよい．

（証明の進め方）
　図形についての，比例式や分数の関係を証明するには「相似図形」を利用するとよい．

（証明）
　どの辺の延長上に交点が来るかによって，図は変わるが，右の図の場合は
　Cからlに平行な直線をひき，ABとの交点をDとし，AP=x, PD=y, DB=zとおくと
$\frac{AP}{PB}=\frac{x}{y+ z}$
CD//lだから
$\frac{BQ}{QC}=\frac{y+ z}{y},\hspace{10}\frac{CR}{RA}=\frac{y}{x}$
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=\frac{x}{y+ z}\cdot\frac{y+ z}{y}\cdot\frac{y}{x}=1$
※他の形になる場合も，直線lに平行な直線をひけば同様にして示せる．

【例題1】
　直線lが△ABCの３辺またはその延長と右図のように，P, Q, Rで交わるとき，BC:CQを最も簡単な整数の比で表してください．

（解答）（メネラウスの定理を覚えている場合）
メネラウスの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{2}{3}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{4}{5}=1$
$\frac{BQ}{QC}=\frac{15}{8}$
BQ:QC=15:8だから
BC:CQ=7:8…（答）

（別解）（中学生ならメネラウスの定理を覚えている必要はない．定理を証明しながら問題を解けばよい）
右図のように，点Cから直線lに平行な線をひき，辺ABとの交点をDとすると
△APR∽△ADCだから
AP:PD=5:4=10:8
AP:PB=10:15
PD:PB=8:15
△BCD∽△BQPだから
BC:CQ=BD:DP=7:8…（答）

【問題１】
（選択肢の中から正しいものを１つクリック．解答すれば採点結果と解説が表示されます．）

(1)
直線lが△ABCの３辺またはその延長と右図のように，P, Q, Rで交わり，AP:PB=3:2, CR:RA=1:4であるとき，BC:CQを最も簡単な整数の比で表してください．

解説やり直す

5:2 5:3 8:3 8:5

（メネラウスの定理を覚えている場合）
メネラウスの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{3}{2}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{1}{4}=1$
$\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{3}$
BQ:QC=8:3だから
BC:CQ=5:3…（答）

（メネラウスの定理を覚えない場合）
右図のように，点Cから直線lに平行な線をひき，辺ABとの交点をDとすると
△APR∽△ADCだから
AP:PD=4:1=12:3
AP:PB=12:8
PD:PB=3:8
△BCD∽△BQPだから
BC:CQ=BD:DP=5:3…（答）

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(2)
直線lが△ABCの３辺またはその延長と右図のように，P, Q, Rで交わり，AP:PB=5:2, AC:CR=8:7であるとき，BQ:QCを最も簡単な整数の比で表してください．

解説やり直す

3:4 4:5 5:6 6:7

（メネラウスの定理を覚えている場合）
メネラウスの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{5}{2}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{7}{15}=1$
$\frac{BQ}{QC}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$
BQ:QC=6:7…（答）

（メネラウスの定理を覚えない場合）
点Cから直線lに平行な線をひき，辺ABとの交点をDとすると
△APR∽△ADCだから
AD:DP=8:7
AP:PB=5:2=15:6
DP:PB=7:6
△BCD∽△BQPだから
BQ:QC=BP:PD=6:7…（答）

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(3)
直線lが△ABCの３辺の延長と右図のように，P, Q, Rで交わり，QB:BC=3:2, CA:AR=5:1であるとき，PA:ABを最も簡単な整数の比で表してください．

解説やり直す

5:8 5:12 5:13 5:18

（メネラウスの定理を覚えている場合）
メネラウスの定理により（メネラウスの定理は交点が３つとも辺の延長上にある場合でも成り立ちます）
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{1}=1$
$\frac{AP}{PB}=\frac{5}{18}$
AP:PB=5:18
PA:AB=5:13…（答）

（メネラウスの定理を覚えない場合）
点Aから直線lに平行な線をひき，辺BCの延長との交点をDとすると
l//ADだから
QD:DC==RA:AC=1:5=5:25
QB:BC=3:2=18:12
QD:DB:BC=5:13:12
PA:AB=QD:DB=5:13…（答）

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【チェバの定理】(チェバはイタリアの数学者17世紀)

　△ABCの辺上にない１点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとするとき，次の式が成り立つ．
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

※チェバの定理の式自体は，メネラウスの定理と全く同じ形になりますが，P, Q, Rの場所が違います．
メネラウスの定理では３点P, Q, Rは１直線上に並びますが，チェバの定理では，それぞれ辺AB, BC, CAにあります．

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよいのもメネラウスの定理と同じ．

（証明の進め方）
　「相似図形」を利用して前提なしに証明する方法やメネラウスの定理を使って証明する方法が考えられる．

（相似図形を利用する証明）
　点Oが△ABCの内部にある場合
　AからBCに平行な直線をひき，CP, BRの延長との交点をS, Tとし，AP=x, PB=y, BQ=z, QC=w, CR=u, RA=v, SA=a, AT=bとおくと

△PAS∽△PBCだから
$\frac{AP}{PB}=\frac{x}{y}=\frac{a}{z+ w}$

△RTA∽△RBCだから
$\frac{CR}{RA}=\frac{u}{v}=\frac{z+ w}{b}$
したがって
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=\frac{a}{z+ w}\cdot\frac{z}{w}\cdot\frac{z+ w}{b}$
$=\frac{a}{w}\cdot\frac{z}{b}$

△OAS∽△OQCだから
$\frac{a}{w}=\frac{AO}{QO}$

△OAT∽△OQBだから
$\frac{z}{b}=\frac{QO}{AO}$
$\frac{a}{w}\cdot\frac{z}{b}=\frac{AO}{QO}\cdot\frac{QO}{AO}=1$
ゆえに
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

（メネラウスの定理を利用する証明）
右図１の△ABQと直線POCにメネラウスの定理を適用すると
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QO}{OA}=1$ …(1)
右図２の△AQCと直線BORにメネラウスの定理を適用すると
$\frac{AO}{OQ}\cdot\frac{QB}{BC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$ …(2)
これら２つの式(1)(2)を辺々掛けると，約分によってAO, OQ, BCが消えて
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

※チェバの定理は，点Oが△ABCの外部にある場合にも証明できます．

【例題２】
　△ABCの内部に点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAと交わる点をP, Q, Rとする．AP:PB=2:3, AR:RC=4:5であるとき，BQ:QCを最も簡単な整数の比で表してください．

（解答）（チェバの定理を覚えている場合）
チェバの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{2}{3}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{5}{4}=1$
$\frac{BQ}{QC}=\frac{12}{10}$
BQ:QC=6:5…（答）

（別解）（中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない．相似比を使って解けばよい）
AからBCに平行な直線をひき，CP, BRの延長との交点をS, Tとし，BQ=m, QC=n, SA=a, AT=bとおく
a:(m+n)=2:3=10:15
b:(m+n)=4:5=12:15
a:b=10:12=5:6
m:n=b:a=6:5…（答）

【問題２】
（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
　△ABCの内部に点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAと交わる点をP, Q, Rとする．AP:PB=1:2, AR:RC=1:1であるとき，BQ:QCを最も簡単な整数の比で表してください．

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1:1 2:1 3:2 4:3

（解答）（チェバの定理を覚えている場合）
チェバの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{1}{2}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{1}{1}=1$
$\frac{BQ}{QC}=2$
BQ:QC=2:1…（答）

（別解）（中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない．相似比を使って解けばよい）
AからBCに平行な直線をひき，CP, BRの延長との交点をS, Tとし，BQ=m, QC=n, SA=a, AT=bとおく

a:(m+n)=1:2
b:(m+n)=1:1=2:2
a:b=1:2
m:n=b:a=2:1…（答）

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(2)
　△ABCの内部に点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAと交わる点をP, Q, Rとする．AP:PB=3:4, BQ:QC=5:6であるとき，CR:RAを最も簡単な整数の比で表してください．

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8:5 7:6 6:7 5:8

（解答）（チェバの定理を覚えている場合）
チェバの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
$\frac{CR}{RA}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$
CR:RA=8:5…（答）

（別解）（中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない．相似比を使って解けばよい）
AからBCに平行な直線をひき，CP, BRの延長との交点をS, Tとし，BQ=m, QC=n, SA=a, AT=bとおく
a:11=3:4=3m:4m
b:11=n:m=4n:4m
a:b=6:5=3m:4n
24n=15m
$\frac{m}{n}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$
m:n=8:5…（答）

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**チェバの定理は右図のように点Oが△ABCの外部にある場合にも成り立ちます**

　△ABCの辺上にない１点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとするとき，次の式が成り立つ．
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
※証明略

(3)
　右図のように△ABCの外部に点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとする．PA:AB=2:3, BC:CQ=2:1であるとき，CR:RAを最も簡単な整数の比で表してください．

解説やり直す

6:5 5:4 4:5 5:6

（解答）（チェバの定理を覚えている場合）
チェバの定理により
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
$\frac{CR}{RA}=\frac{5}{6}$
CR:RA=5:6…（答）

（別解）（中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない．相似比を使って解けばよい）

ただし，筆者がやっても苦労するぐらいなので，中学生が解くにはかなり難しいかもしれない．
できなくても，涼しい顔ということで･･･

AからBCに平行な直線をひき，CPとの交点をS，BRの延長との交点をTとし，CR=m, RA=n, SA=a, ST=bとおく

b:2=2:5
$b=\frac{4}{5}$
b:a=1:2
$a=2b=\frac{8}{5}$
$m:n=2:(a+ b)=2:\frac{12}{5}=10:12=5:6$ …（答）

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