微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題1）

==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題1）== 《平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題》

【平均変化率】
(1)　
xの値がaからbまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
(2)　
xの値がaからa+hまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は
$\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$

【例題1】
　関数f(x)=3x2+2x−4について，xの値が1から3まで変化するときの平均変化率を求めてください．

（解答）
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{29-1}{2}=14$ ･･･（答）

【問題1-1】
　関数f(x)=2x2+3x+4について，xの値が0から3まで変化するときの平均変化率を求めてください．

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（解答）
$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{31-4}{3}=9$ ･･･（答）
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【問題1-2】
　関数f(x)=−2x+3の区間(−1≦x≦2)における平均変化率を求めてください．

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（解答）
$\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{-1-5}{3}=-2$ ･･･（答）
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【問題1-3】
　関数f(x)=x2−2x+3xの値がaからbまで変化するときの平均変化率を求めてください．（ただし，a<bとする）
a+b−

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（解答）
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{(b^2-2b+ 3)-(a^2-2a+ 3)}{b-a}$
$=\frac{(b^2-a^2)-2(b-a)}{b-a}=\frac{b+ a-2}{b-a}=a+ b-2$ ･･･(答)
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【関数の極限値】
　xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき，関数yの値が限りなく定数bに近づくとき，xがaに近づくときの，yの極限値はbであるといい
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$
で表す．
x→aのときf(x)→b
と書くこともある．

（備考）
(1) 高校数学では（数学Ⅱ，数学Ⅲのいずれも），「限りなく近づく」ということの厳密な定義を行わずに，直感的に理解できる範囲の内容を扱う．

　「限りなく近づく」ということの厳密な定義は，19世紀になってからコーシーやワイエルシュトラスによりε-δ論法として確立された．
　ε-δ論法は大学で習う･･･高校では扱わない．

　高校では，「限りなく近づく」とか「関数の極限」について厳密な定義を習わないので，例えば，次のような問題は出さない，証明できない．

×x→0のときx+1→1になることを証明せよ．
×x→1のときx2+1→2になることを証明せよ．

　しかし，次のような結果は証明なしに答えてよい．答えなければならない．

〇x→0のときx+1→1
〇 $\lim_{x\rightarrow 1}(x^2+ 1)=2$

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値1】
• x=aのとき関数f(x)の分母が0になるなどの「あやしいこと」がないとき
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

数学Ⅱに登場する多項式で，分母が0になるなどの心配がないものについては，「極限値」 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ の代わりに，値を代入しただけの「関数値」f(a)を使ってよい．（これらが等しいことが分かっているから）

【例題2-1】
(1)　 $\lim_{x\rightarrow 0}(x^2+ 2x+ 3)$
(2)　 $\lim_{x\rightarrow 1}(x^2-3)$
(3)　 $\lim_{x\rightarrow 2}x(x+ 1)(x+ 2)$

（解答）
(1)　x=0を代入すると02+2×0+3=3(←関数値)だから
$\lim_{x\rightarrow 0}(x^2+ 2x+ 3)=3$ 　（←極限値）･･･（答）
(2)　x=1を代入すると12−3=−2(←関数値)だから
$\lim_{x\rightarrow 1}(x^2-3)=-2$ 　(←極限値)･･･（答）
(3)　x=2を代入すると2×3×4=24(←関数値)だから
$\lim_{x\rightarrow 2}x(x+ 1)(x+ 2)=24$ 　(←極限値)･･･（答）

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値2】
• そのまま代入すると分母が0になるときは，
「約分によって分母が0になる原因を取り除いてから」値を代入するとよい

【例題2-2】
(1)　 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+ 2x}{x}$
(2)　 $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}$
(3)　 $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+ 2}{x-2}$

（解答）
(1)　そのままx=0を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をxで約分すると
$\frac{x^2+ 2x}{x}=\frac{x(x+ 2)}{x}=x+ 2$
となって，x=0を代入できるようになる．
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+ 2x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x+ 2)}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}(x+ 2)=2$ ･･･（答）

x→0のときに，xで約分するということは，0で割ることにならないか？
--------

　最初の定義をよく見ると，「xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき」と書いてあるので，x→0のときは，xは0以外の値をとりながら，0に近づくので，xで約分しても，0で割ったことにならないのです．

(2)　そのままx=1を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をx−1で約分すると
$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+ 1)}{x-1}=x+ 1$
となって，x=1を代入できるようになる．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+ 1)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$ ･･･（答）
(3)　そのままx=2を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をx−2で約分すると
$\frac{x^2-3x 2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$
となって，x=2を代入できるようになる．
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+ 2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}$
$=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1$ ･･･（答）

【問題2-1】
　次の極限値を求めてください．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ x-2}{x-1}$ =

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（解答）
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x+ 2)}{\cancel{x-1}}$
$=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 2)=3$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-2】
　次の極限値を求めてください．
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+ 6}$ =

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（解答）
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+ 6}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\cancel{(x-2)}(x+ 2)}{\cancel{(x-2)}(x-3)}$
$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+ 2}{x-3}=-4$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-3】
　次の極限値を求めてください．
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}$ =

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（解答）
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\cancel{(x-2)}(x^2+ 2x+ 4)}{\cancel{(x-2)}(x+ 2)}$
$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+ 2x+ 4}{x+ 2}=3$ ･･･（答） →解説を隠す←

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値3】
　高校数学のやり方としては，少しずつ近づけて，どこへ向かうかが言えればよい．（直感的な考え方）

(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$

右図の赤矢印
x=10, 100, 1000, 10000, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･となるから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$

(2) $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$

右図の黄色矢印
x=−10, −100, −1000, −10000, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･となるから
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$

(3) $\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{x}=\infty$

（x→+0とは，0よりも大きな値をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の青矢印
x=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =10, 100, 1000, 10000, ･･･となるから
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{x}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{x}=+\infty$ と書いてもよい

(4) $\lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}{x}=-\infty$

（x→−0とは，0よりも小さな値（負の値）をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の緑色矢印
x=−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =−10, −100, −1000, −10000, ･･･となるから
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}{x}=-\infty$

（参考）
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$
の場合は，ア）正の値をとりながら0に近づく場合，イ）負の値をとりながら0に近づく場合，ウ）正負の値を振動しながら0に近づく場合の，いずれかによって、極限値が変わり，どの場合なのかが指定されていないから，極限値は決まらない．極限値なしとする．
　もともと，∞に近づく場合も，∞は特定の値でないので「極限なし」と書くこともあるが，「極限なし」の中でも「限りなく大きくなって，極限がない場合→+∞」「限りなく小さくなって，極限がない場合→−∞」「絶対値が限りなく大きくなるが，振動して符号が定まらない場合→±∞」のように分けることができ，無限という記号を使って表すことも多い．

【問題3-1】
　次の極限値を求めてください．

• 限りなく大きくなるときは ∞
• 限りなく小さくなるときは −∞
• 極限値がないときはなしと答えてください．（以下の問題も同様）

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x-1}$ =

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（解答）
x→∞のときt=2x−1→∞だから $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x-1}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}=0$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題3-2】
　次の極限値を求めてください．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1}$ =

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（解答）

x=1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =10, 100, 1000, 10000, ･･･
x=0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ･･･のとき
$\frac{1}{x}$ =−10, −100, −1000, −10000, ･･･
１よりも大きな値をとりながら１に近づく場合と，１よりも小さな値をとりながら１に近づく場合とで，極限値が一致しないから，極限値はなし･･･（答） →解説を隠す←

【問題3-3】
　次の極限値を求めてください．
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2}{3x+ 1}$ =

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（解答）
x=10, 100, 1000, 10000, ･･･のとき
$\frac{2}{3x+ 1}=\frac{2}{31},\hspace{2}\frac{2}{301},\hspace{2}\frac{2}{3001},\hspace{2}\frac{2}{30001},\hspace{2}\cdots$
は，限りなく0に近づく
0･･･（答） →解説を隠す←

※多項式以外の関数について極限値を求める問題は，数学Ⅲで扱うことが多いが，数学Ⅱの段階でも類似の問題に出遭うことが多いので，一応整理しておく．

【極限値が存在するための条件】
　例えば， $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ ax+ b}{x-1}=3$ となるように定数a, bの値を定める問題では，
(1) 分母の極限値が0になるとき，分子の極限値が0以外の場合は，式の極限値が有限の値に定まらないから，「分子の極限が0になる」ということが第１の条件になる．
　　1+a+b=0
(2) 上記の条件を満たすときは，（因数定理により分子がx−1という因数をもつこといなるから），分母と分子はx−1で約分できる．そこで，「式の極限値が3になる」ということが第２の条件になる．
　　2+a=3
これら２つの条件から，連立方程式を解くと，定数a, bの値が定まる．
　　a=1, b=−2

【要点】
(1) 極限値が定まること，(2) その極限値が与えられた値になること，の２つの条件から連立方程式が解ける．

上記(1)の補足説明
　分母→1のときに
ア）分子が0以外の有限の値に近づく場合
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1},\hspace{3}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2}{x-1},\hspace{3}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{x-1},\hspace{3}\cdots$
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{x-1},\hspace{3}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2}{x-1},\hspace{3}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-3}{x-1},\hspace{3}\cdots$
などは，いずれも式の値が限りなく大きく（符号は正負ともあり）なるので，有限の極限値をもたない．
イ）分子が無限大になる場合も，与えられた式が有限の極限値をもつことはない．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x-1}}{x-1}=\infty$ など
• 以上のように，分母が0に近づくときに，分子が0以外の値に近づくと，式全体は有限な極限値をもたないので，式全体が有限な極限値をもつためには，「分子→0が必要条件」になる．
• この条件を入れると，分数の約分ができるようになるが，極限値が実際に与えられた値になるかどうかの「十分条件」も調べなければならないということです．

【例題4】
　 $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+ ax+ b}{x-2}=-1$
となるように定数a, bの値を定めてください．

（解答）
x→2のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　4+2a+b=0
そこで，b=−4−2aを代入して，極限値を求めると
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+ ax-4-2a}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x^2-4)+ a(x-2)}{x-2}$
$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\cancel{(x-2)}(x+ 2+ a)}{\cancel{x-2}}=4+ a=-1$
ゆえに，a=−5, b=6･･･（答）

【問題4-1】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．
$\lim_{x\rightarrow-1}\frac{ax^2+ bx+ 1}{x+ 1}=3$
a=, b=

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（解答）
x→−1のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　a−b+1=0
そこで，b=a+1を代入して，極限値を求めると
$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{ax^2+ (a+ 1)x+ 1}{x+ 1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{a(x^2+ x)+ x+ 1}{x+ 1}$
$=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\cancel{(x+ 1)}(ax+ 1)}{\cancel{x+ 1}}=-a+ 1=3$
ゆえに，a=−2, b=−1･･･（答） →解説を隠す←

【問題4-2】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．
$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2+ 3x-18}{x^2+ ax+ b}=\frac{1}{2}$
a=, b=

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（解答）
x→3のとき，分子→0となるから，与えらえた式の極限値が0以外の値になるためには，分母→0が必要条件となる
　9+3a+b=0
そこで，b=−3a−9を代入して，極限値を求めると
$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2+ 3x-18}{x^2+ ax-3a-9}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x-3)(x+ 6)}{(x-3)(x+ 3)+ a(x-3)}$
$=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\cancel{(x-3)}(x+ 6)}{\cancel{(x-3)}(x+ 3+ a)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+ 6}{x+ 3+ a}$
$=\frac{9}{6+ a}=\frac{1}{2}$
ゆえに，a=12, b=−45･･･（答） →解説を隠す←

【問題4-3】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ ax-2}{x^2-(b+ 1)x+ b}=1$
a=, b=

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（解答）
x→1のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　1+a−2=0
そこで，a=1を代入して，極限値を求めると
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+ 2)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x-b)}=\frac{3}{1-b}=1$
b=−2
ゆえに，a=1, b=−2･･･（答） →解説を隠す←

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