■ 極大値,極小値(極値)
◇解説◇
【たとえ話でスタート】

○極大,極小と最大,最小の違い
 定義域の中で一番高いのが最大
   ・・・ たとえば富士山
 近所で一番高いのが
極大
   ・・・ たとえば比叡山 (富士山は極大かつ最大)
○山の頂上が極大(その値が極大値)
○最大値はあっても1つだが極大値は複数あり得る.
(極小についても同様.)

【極値】

f(x) が連続関数のとき,増加から減少に変わるところ極大という.減少から増加に変わるところ極小という.
また,そのときのf(x)の値を各々極大値,極小値という.

【極値の調べ方】
(1) f’(x) = 0となるところと絶対値記号などが原因で折れているところを候補に上げる.

(2) 各々の候補について,
増加,減少が「変化」していれば極値と判断する.



※ 理論上は
であるにもかかわらず,極値を求める実際の計算においては, f’(x) = 0 となる点を真っ先に調べることが重要です.(ほとんどの候補は f’(x) = 0 にあるので,例外は後で調べる)
f’(x) = 0 となる点は極値の有力な候補ですが,f’(x) = 0 だからといって極値だとは限りません.

次の図でy = x2x = 0 において減少から増加に変化するので,極小ですが,y = x3x = 0において増加から増加になるので,極値ではありません.

次の図で y = |x|x = 0 において微分係数が定義されず f’(x) = 0ではありませんが,減少から増加に変化しているので,極小です.
        

※ 要するに,
増加,減少が「変化」しているかどうかで判断します.「崖に道路があるとき」や「折れているところ」は要注意ということです.

■例題 次の関数の極値を調べなさい.
(1) 
y = x log x
y’= 1log x+x = log x+1
y’= 0 ←→ log x =−1 ←→ x =
x 0    
y’ × - 0 +
y ×

(増減表は右から埋めるのがコツ)

x = のとき,極小値 
極大値なし ・・・ (答)
(2) ・・・ただし,数IIの復習・・・
y = |x2−1|
ア) x <−1, x ≧ 1 のとき,y = x2−1,y’= 2x
x   -1        1  
y’           +
y 0       0
イ) −1 ≦ x < 1 のとき,y =−x2+ 1,y’=−2x
x    -1   0       
y’     + 0     
y   0 1     
ア)イ)をつなぐと  ・・・ (ノリとハサミのイメージ)
x   −1   0   1  
y’ × + 0 × +
y 0 1 0
以上より,
x =−1, 1 のとき極小値 0,x = 0 のとき極大値 1 ・・・ (答)
参考

■ 問題 次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)
y =  ( x > 0)
1 2



 x = のとき,極大値

 極小値なし



   
(2)
y = x ex
1 2


x =  のとき,極小値

極大値なし


(3) y = ex cos x

  (−< x < )
1 2




x = のとき極大値 e

極小値なし
(4)
y = |x−1|  ( x > 0)
1 2


x = のとき,極大値

x = のとき,極小値
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