極大値，極小値（極値）

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■　極大値，極小値(極値) ◇解説◇
【たとえ話でスタート】

○極大，極小と最大，最小の違い
　定義域の中で一番高いのが最大
　　　･･･　たとえば富士山
　近所で一番高いのが極大
　　　･･･　たとえば比叡山　(富士山は極大かつ最大)
○山の頂上が極大(その値が極大値)
○最大値はあっても１つだが極大値は複数あり得る．
(極小についても同様．)

【極値】

f(x) が連続関数のとき，増加から減少に変わるところを極大という．減少から増加に変わるところを極小という．
また，そのときのf(x)の値を各々極大値，極小値という．

【極値の調べ方】
(1) f’(x) = 0となるところと絶対値記号などが原因で折れているところを候補に上げる．

(2) 各々の候補について，増加，減少が「変化」していれば極値と判断する．

※　理論上は

であるにもかかわらず，極値を求める実際の計算においては， f’(x) = 0 となる点を真っ先に調べることが重要です．(ほとんどの候補は f’(x) = 0 にあるので，例外は後で調べる)

※ f’(x) = 0 となる点は極値の有力な候補ですが，f’(x) = 0 だからといって極値だとは限りません．

次の図でy = x² は x = 0 において減少から増加に変化するので，極小ですが，y = x³ は x = 0において増加から増加になるので，極値ではありません．

次の図で y = |x| は x = 0 において微分係数が定義されず f’(x) = 0ではありませんが，減少から増加に変化しているので，極小です．

※　要するに，増加，減少が「変化」しているかどうかで判断します．「崖に道路があるとき」や「折れているところ」は要注意ということです．

■問題　次の関数の増減・極値を調べてグラフの概形を描いてください．

(1) $y=x\log x$

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$y\apos=1\cdot\log x+ x\cdot\frac{1}{x}=\log x+ 1$
$y\apos=0$ を解くと
$\log x+ 1=0\rightarrow\log x=-1\rightarrow x=\frac{1}{e}$
$\log x$ の定義域は $x\gt 0$ だから，この範囲で増減表を作る
　増減表は，右から書くのがコツ

x	0	･･･	$\frac{1}{e}$	･･･
y’	$\times$	−	0	+
y	$\times$	$\searrow$	$-\frac{1}{e}$	$\nearrow$

表から，極大値：なし， $x=\frac{1}{e}$ のとき極小値 $y=-\frac{1}{e}$ をとる

x→+0のときの極限値は「やや難しい」が，次のように変換すれば求められる．
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=\lim_{t\rightarrow\infty}e^{-t}(-t)=\lim_{t\rightarrow\infty}-\frac{t}{e^t}=0$
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(2) $y=\mid x^2-1\mid$

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※この問題は数学Ⅱで出題されることがあります．
ア)　x＜−1, x ≧1のとき，y=x2−1，y’=2x

x		−1	1
y’	−			+
y		0	0

イ)　−1 ≦ x ＜ 1 のとき，y =−x2+ 1，y’=−2x

x	−1		0
y’		+	0	−
y	0		1

ア)イ)をつなぐと　　･･･　(ノリとハサミのイメージ)

x		−1		0		1
y’	−	$\times$	+	0	−	$\times$	+
y		0		1		0

x=−1, 1のとき極小値0，x=0のとき極大値1･･･(答)

※x=−1, 1のときのように，折り目（角）があるときは微分係数は定義されないので，y’=0ではなくて，y’は存在しない．しかし，この場合のように，関数が「連続」であって，かつ，その点で「増減が変化」していれば「極値」となる．
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(3) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+ 1}\hspace{5}(x\gt 0)$

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$y\apos=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}(x+ 1)-\sqrt{x}}{(x+ 1)^2}=\frac{x+ 1-2x}{2\sqrt{x}(x+ 1)^2}$
$=-\frac{x-1}{2\sqrt{x}(x+ 1)^2}$

x	0	･･･	1	･･･
y’	$\times$	+	0	−
y	$\times$	$\nearrow$	$\frac{1}{2}$	$\searrow$

x=1のとき極大値 $\frac{1}{2}$ ，極小値：なし･･･(答)

※この問題では，問題文でx>0とされているから(0, 0)は定義域外になるが，問題文がx≧0もしくは特に指定なし（可能な限り広い範囲を定義域とする）の場合は，点(0, 0)を通り右側連続な曲線になる．その場合，区間の端の点は通常，極値とは言わない． →解答を隠す←

(4) $y=xe^x$

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$y\apos=e^x+ xe^x=e^x(x+ 1)$
$e^x\gt 0$ だから $y\apos=0\leftrightarrow x=-1$

x	･･･	−1	･･･
y’	−	0	+
y	$\searrow$	$-\frac{1}{e}$	$\nearrow$

x=−1のとき極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる．極大値：なし･･･(答)

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(5) $y=e^x\sin x\hspace{5}(-\pi\underline{\le}x\underline{\le}\pi)$

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$y\apos=e^x\sin x+ e^x\cos x$
$=e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}e^x\sin(x+\frac{\pi}{4})$

$x:-\pi\rightarrow \pi$ のとき， $x+\frac{\pi}{4}$ は次のように変化する．

$x$	$-\pi$	$\rightarrow$	$-\frac{\pi}{4}$	$\rightarrow$	$\frac{3\pi}{4}$	$\rightarrow$	$\pi$
$x+\frac{\pi}{4}$	$-\frac{3\pi}{4}$	$\rightarrow$	$0$	$\rightarrow$	$\pi$	$\rightarrow$	$\frac{5\pi}{4}$

$e^x\gt 0$ だから， $y\apos=0\leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=0,\hspace{2}\pi$

$x$	$-\pi$	$\cdots$	$-\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{3\pi}{4}$	$\cdots$	$\pi$
$y\apos$		−	$0$	$+$	$0$	$\cdots$
$y$	$0$	$\searrow$	$-\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$	$\nearrow$	$\frac{e^{\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$	$\searrow$	$0$

$x=-\frac{\pi}{4}$ のとき極小値 $-\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$ をとる．
$x=\frac{3\pi}{4}$ のとき極大値 $\frac{e^{\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$ をとる．･･･(答)

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(6) $y=x-\sin x(0\underline{\le}x\underline{\le}2\pi)$

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$y\apos=1-\cos x\underline{\ge}0$ だから，この区間で単調増加

x	･･･	2π
y’	+	0
y	$\nearrow$	2π

　極値はない･･･(答)

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(7) $y=\frac{x-1}{x^2-5x+ 6}(-1\underline{\le}x\underline{\le}4)$

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$y\apos=\frac{(x^2-5x+ 6)-(x-1)(2x-5)}{(x^2-5x+ 6)^2}$
$=\frac{x^2-5x+ 6-2x^2+ 7x-5}{(x^2-5x+ 6)^2}$
$=\frac{-(x^2-2x-1)}{(x^2-5x+ 6)^2}$
$y\apos=0\leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}$

−1

･･･

$1-\sqrt{2}$

･･･

$1+\sqrt{2}$

･･･

y’

−

$\times$

−

$\times$

−

$-\frac{1}{6}$

$\searrow$

$2\sqrt{2}-3$

$\nearrow$

$\times$

$\nearrow$

$-2\sqrt{2}-3$

$\searrow$

$\times$

$\searrow$

$x=1-\sqrt{2}$ のとき極小値 $2\sqrt{2}-3$ をとる．
$x=1+\sqrt{2}$ のとき極大値 $-2\sqrt{2}-3\simeq-5.83$ をとる．･･･(答)

$x=1-\sqrt{2}$ のとき凹んでいるように見えないが落語「五劫の擦り切れ」が思い浮かぶ･･･天女がたまに折りてきて座る岩がある．そのとき，天女の羽衣でこすれて岩が少し減る．１劫=40億年として五劫の間にすり減る分量が五劫の擦り切れと呼ばれる･･･ことわざとしては，とても長い時間を表しているが，ここでは，すり減った分量を考える
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(8) $y=x^2e^{-x}$

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$y\apos=2xe^{-x}+ x^2(-e^{-x})=-e^{-x}(x^2-2x)$
$e^{-x}\gt 0$ だから $y\apos=0\leftrightarrow x=0,\hspace{2}2$

x	･･･	･･･	2	･･･
y’	−	+	0	−
y	$\searrow$	$\nearrow$	$\frac{4}{e^2}$	$\searrow$

$x=0$ のとき極小値 $0$ をとる．
$x=2$ のとき極大値 $\frac{4}{e^2}$ をとる．･･･(答)

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(9) $y=\cos x(\sin x+ 1)\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}2\pi)$

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$y\apos=-\sin x(\sin x+ 1)+\cos x\cdot\cos x$
$=-\sin x-\sin^2 x+\cos^2x$
$=-\sin x-2\sin^2 x+ 1$
$=-(2\sin^2 x+ \sin x-1)$
$=-(2\sin-1)(\sin x+ 1)$
$y\apos=0\leftrightarrow\sin x=\frac{1}{2},\hspace{2}-1\leftrightarrow x=\frac{\pi}{6},\hspace{2}\frac{5\pi}{6},\hspace{2}\frac{3\pi}{2}$

x	0	･･･	$\frac{\pi}{6}$	･･･	$\frac{5\pi}{6}$	･･･	$\frac{3\pi}{2}$	･･･	$2\pi$
y’		+	0	−	0	+	0	+
y	1	$\nearrow$	$\frac{3\sqrt{3}}{4}$	$\searrow$	$-\frac{3\sqrt{3}}{4}$	$\nearrow$	0	$\nearrow$	1

$x=\frac{\pi}{6}$ のとき極小値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ をとる．
$x=\frac{5\pi}{6}$ のとき極大値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ をとる．･･･(答)

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