【微分係数の定義】…数学�U，数学�Vで登場する
\( \displaystyle f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)…(1)
\( \displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h} \)…(2)

数学�Uでできる微分係数の応用問題

【例１】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)などを使って表してください．
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(x)-af(a)}{x-a} \)

≪考え方のポイント≫
\( \displaystyle f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)…(1)
の形が使えるように，足したり引いたりします．
　そのとき，分子の２つの式\( \displaystyle x,\hspace{5px}f(x) \)が同時に変化すると，微分係数の定義式に当てはめられないので，右図の緑の〇，青の〇に対応する式を「つなぎ」にします

（←緑色の経路）

（←青色の経路）

【問題1.1】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)などを使って表してください．
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{af(x)-xf(a)}{x-a} \)

（解答）
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{af(x)-xf(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{af(x)-af(a)+ af(a)-xf(a)}{x-a} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\left(a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{x-a}{x-a}f(a)\right)=af'(a)-f(a) \)
…（答）

【問題1.2】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)などを使って表してください．
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a} \)

（解答）
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2f(a)-a^2f(a)+ a^2f(a)-a^2f(x)}{x-a} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\Big\{\frac{x^2-a^2}{x-a}\times f(a)-a^2\times \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Big\} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\Big\{\frac{\cancel{(x-a)}(x+ a)}{\cancel{x-a}}f(a)-a^2\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Big\} \)
\( \displaystyle =2af(a)-a^2f'(a) \)…（答）

【問題1.3】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)などを使って表してください．（ただし，a≠0とします．）
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x^2-a^2} \)

（解答）
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x^2-a^2} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\Big\{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\frac{1}{x+ a}\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2a}f'(a) \)…（答）

【問題1.4】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)などを使って表してください．
\( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 2h)-f(a)}{h} \)

（解答）
\( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 2h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 2h)-f(a)}{2h}\times\frac{2h}{h} \)
ここで，2h=tとおくと，h→0のときt→0だから
\( \displaystyle \lim_{\underset{h\rightarrow 0}{t\rightarrow 0}}\frac{f(a+ t)-f(a)}{t}\times 2=2f'(a) \)…（答）

【問題1.5】
　関数f(x)のx=aにおける微分係数f’(a)が存在するとき，
\( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a-4h)}{h} \)
をf’(a)を用いて表せ．

（解答）
\( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a-4h)}{h} \)
\( \displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a)+ f(a)-f(a-4h)}{h} \)
\( \displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\Big\{\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{h}-\frac{f(a-4h)-f(a)}{h}\Big\} \)
\( \displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\Big\{\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{3h}\times 3-\frac{f(a-4h)-f(a)}{-4h}\times (-4)\Big\} \)
\( \displaystyle =\lim_{\overset{s\rightarrow 0}{t\rightarrow 0}}\Big\{\frac{f(a+ s)-f(a)}{s}\times 3-\frac{f(a+ t)-f(a)}{t}\times (-4)\Big\} \)
\( \displaystyle =3f'(a)-(-4)f'(a)=7f'(a) \)…（答）

【連続の定義1】
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \)…(1)
が成り立つとき，関数f(x)はx=aにおいて連続であるという．

【連続の定義2】
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) \)が有限確定値であること…(1.1)
\( \displaystyle f(a) \)が有限確定値であること…(1.2)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \)それらが等しいこと…(1.3)
の３つとも成り立つとき，関数f(x)はx=aにおいて連続であるという．これらのうち１つでも成り立たなければx=aにおいて不連続であるという．

【連続の定義3】
(1.11) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x) \)左側極限値が有限確定値であること
(1.12) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x) \)右側極限値が有限確定値であること
(1.1) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x) \)
左側極限値と右側極限値が等しいとき，その値を極限値という．（左右の極限値が等しくなければ極限値が存在しないという）
(1.2) \( \displaystyle f(a) \)関数値が有限確定値であること
(1.3) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \)極限値と関数値が等しいこと
の５つとも成り立つとき，関数f(x)はx=aにおいて連続であるという．これらのうち１つでも成り立たなければx=aにおいて不連続という．

(E)のようにx=aにおいて，関数f(x)が定義されていないような場合，連続も何もそもそも議論ができないという立場もありますが，高校では(E)のように１点を除いて周囲のすべての点で定義されていて，その点x=aでだけ定義されていない場合も，不連続とすることが多い．

(F)は\( \displaystyle f(x)=\sqrt{x}\hspace{5px}(x\geqq 0) \)のグラフで，x<0の区間では定義されていません．このような関数では，そもそも左側極限値\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}f(x) \)は初めから考えないので，右側極限値\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}f(x) \)と関数値f(0)=0が一致すれば右側連続という．

(2.1)
\( \displaystyle f(x)=x^3+1 \)について，x=1において連続かどうかを調べてください．

(2.2)
\( \displaystyle f(x)=\left|x-1\right| \)について，x=1において連続かどうかを調べてください．

（参考）
　図(B)のように「折れ線ができる図形」「角点のある図形」では，その「折り目」「角点」では接線が描けない（微分係数は定義されない）が，線はつながっている（連続関数になる）．
　絶対値付きの関数では，「折れ線ができる図形」「角点のある図形」になることが多い．

(2.3)

について，x=2において連続かどうかを調べてください．

(2.4)

について，x=0において連続かどうかを調べてください．

(2.5)
\( \displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-1} \)について，x=1において連続かどうかを調べてください．

右側極限値
x>1のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}f(x) \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow 1+ 0}\frac{x-2}{x-1} \)
は分母→+0，分子→−1だから，−∞
左側極限値
x<1のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}f(x) \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow 1- 0}\frac{x-2}{x-1} \)
は分母→−0，分子→−1だから，+∞
これらが一致しないから，極限値が存在しない．
以上のように，「極限値が存在しないから」不連続と言ってもよい

(2.6)

について，x=0において連続かどうかを調べてください．

(2.7)
　f(x)=[x]（[x]はxをこえない最大の整数）について，x=1において連続かどうかを調べてください．

(2.8)
\( \displaystyle f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\hspace{2px}\cdots \)
について，x=0において連続かどうかを調べてください．

※黒目が白目から出ていれば不連続です

【問題2.1】

について，x=0において連続かどうかを調べてください．

（解答）
関数値
　f(0)=0…(*1)
右側極限値
　x>0のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}f(x) \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}x=0 \)
左側極限値
　x<0のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}f(x) \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow -0}0=0 \)
したがって
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0 \)…(*2)
(*1)(*2)より連続…（答）

【問題2.2】

について，x=1において連続かどうかを調べてください．

（解答）
関数値
　f(1)=1…(*1)
極限値
　x≠1のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=2 \)…(*2)
(*1)(*2)より\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)\ne f(1) \)だから不連続…（答）

【連続の定義】
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \)　…(1)
または
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\mid f(x)-f(a)\mid=0 \)　…(1’)
が成り立つとき，関数f(x)は，x=aにおいて連続であるという．
【微分可能の定義】
\( \displaystyle f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)　…(2)
または
\( \displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)　…(2’)
(2)または(2’)で定義される微分係数\( \displaystyle f'(a) \)が存在するとき，関数\( \displaystyle f(x) \)はx=aにおいて微分可能であるという．

【連続と微分可能の関係】
(A)微分可能ならば連続である

一般に，折り目のあるグラフ（角かどのあるグラフ）は，その折り目で「連続である」が，左右の微分係数が一致しないから「微分係数は存在しない=微分可能ではない」

f(x)=

\( \displaystyle x^2+1\hspace{10px}(x\ne 0) \)
\( \displaystyle \hspace{10px}0\hspace{20px}(x=0) \)

【例3.1】
　関数f(x)=| x(x−1) |について，x=0における連続性と微分可能性を調べてください．

一般に，折り目（角かど）のあるグラフでは，折り目の点で「連続」であるが「微分不可能」になる

【例3.2】
　関数\( \displaystyle f(x)=x\left|x\right| \)について，x=0における連続性と微分可能性を調べてください．

一般に，「なめらかな」「つるつるの」グラフは，「連続」かつ「微分可能」になる

【例3.3】

について，x=0における連続性と微分可能性を調べてください．

一般に，「跳びがある」「ギャップがある」関数は不連続で，不連続な関数は微分不可能です．
また，「穴が開いている」「定義されない点がある」関数も高校では不連続とするので，微分も不可能になります．

【問題3.1】
がx=1において微分可能となるように，定数a, bの値を定めてください．

（解答）
微分可能であるためには，連続でなければならないから
関数値
　f(1)=1
左側極限値
　x<1のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}(ax+b)=a+b \)
これらが一致すべきことから
　a+b=1…(*1)
微分係数が左右で一致すべきことから
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}(x+1)=2 \)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{ax+ b-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+ 0}\frac{ax+ (1-a)-1}{x-1} \)
\( \displaystyle =\lim_{x\rightarrow 1+ 0}\frac{a(x-1)}{x-1}=a \)
\( \displaystyle a=2 \)…(*2)
(*1)(*1)より\( \displaystyle a=2,\hspace{3px}b=-1 \)…（答）
※この問題は，x=1において右側から接する接線の方程式y=ax+bを求めよ（左側に延長せよ）というのと同じです．
\( \displaystyle f(x)=x^2\hspace{5px}(x\geqq 1)\rightarrow f'(x)=2x \)
だから，接線の方程式は
\( \displaystyle y-1=2(x-1) \)
\( \displaystyle y=2x-1 \)になります

【問題3.2】

について，x=0における連続性と微分可能性を調べてください．

※この関数は【例2.6】と同じものです．
（解答）
［連続性を調べる］
x=0のとき
　f(0)=0
x≠0のとき
\( \displaystyle 0\leqq \Big | x\sin\frac{1}{x}\Big | \leqq \Big | x\Big | \rightarrow 0 \)
\( \displaystyle (x\rightarrow 0) \)
だから
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0) \)
したがって連続
［微分可能性を調べる］
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{x} \)
　\( \displaystyle y=\sin\frac{1}{x} \)のグラフは，x=0の付近で激しく振動し，１つの値に収束しません．
　これは，\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow + 0}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\sin x \)が，1,−1の間を限りなく振動することから分かります．左側も同様です：\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\sin x \)も収束しません．
以上により，微分不可能

【問題3.3】

について，x=0における連続性と微分可能性を調べてください．

※【問題3.2, 3.3】は昔から多くの教科書，参考書で取り上げられている十八番おはことなっています．
（解答）
［連続性を調べる］
x=0のとき
　f(0)=0
x≠0のとき
\( \displaystyle 0\leqq\left| x^2\sin\frac{1}{x}\right| \leqq \left|x^2 \right|\rightarrow 0 \)
\( \displaystyle (x\rightarrow 0) \)
だから
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0) \)
したがって連続
［微分可能性を調べる］
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x} \)
ここで【問題3.1】でやったように
\( \displaystyle 0\leqq\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leqq \left|x\right|\rightarrow 0 \)
\( \displaystyle (x\rightarrow 0) \)
であるから
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0 \)
したがって，微分可能
x→0のとき，前述のように\( \displaystyle \sin\frac{1}{x} \)は激しく振動しますが，\( \displaystyle x^2\sin\frac{1}{x} \)の上端と下端\( \displaystyle \pm x^2 \)が上のグラフの赤線のように，上下から抑えつけるので，原点付近では「ペッタンコにつぶれる」という感じです．
これに対して【問題3.2】では，下端と上端\( \displaystyle \pm x \)の間に「遊び」があって上下から抑えきれていないので，微分不可能になります．

【問題3.4】
　\( \displaystyle m \)は自然数とする．関数\( \displaystyle g(x)=x^m\left| x \right| \)がx=0において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

（解答）
　g(0)=0
ア） x>0のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow + 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x^{m+ 1}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}x^m=0 \)
イ） x<0のとき
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{-x^{m+1}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}(-x^m)=0 \)
ア）イ）より
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=0 \)だから微分可能