【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の三角不等式を解きなさい．
2cos2θ> 1+cosθ

（解答）
2cos2θ−cosθ−1>0
この式の左辺を因数分解する
(2cosθ+1)(cosθ−1)>0
\( x\lt -\dfrac{1}{2} \)
またはcosθ>1

0°≦θ≦180°のとき，
(1)　\( \cos \theta \lt -\dfrac{1}{2} \)を満たす角度は120°<θ≦180°
(2)　cosθ>1を満たす角度はない．
以上より，
120°<θ≦180°…（答）

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2sin2θ+3sinθ−2<0

30°<θ<150° 60°<θ<120°
0°≦θ<30°,150°<θ≦180° 0°≦θ<60°,120°<θ≦180°

　因数分解して(2sinθ−1)(sinθ+2)<0…(1)と変形します．
　(1)の解は\( -2 \lt \sin \theta \lt \dfrac{1}{2} \)
0°≦θ≦180°のとき，右図のように0≦sinθ≦1だから

実際には
\( 0 \leqq \sin \theta \lt \dfrac{1}{2} \)
を解く．（sinθ=0は合格）

0°≦θ<30°,
150°<θ≦180°…（答）

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
\( \tan ^2 \theta - \sqrt{3}\tan \theta \gt 0 \)

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
60°<θ<90°,90°<θ<120° 60°<θ<90°,90°<θ<180°

　因数分解して\( \tan \theta(\tan \theta -\sqrt{3})\gt 0 \)…(1)と変形します．
　(1)の解は\( \tan \theta \lt 0,\hspace{10px} \sqrt{3}\lt \tan \theta \)
0°≦θ≦180°のとき，右図の値をとる

※θ=90°のときtanθは定義されないので注意

※また，90°<θ<180°のとき，tanθ<0となることに注意

(1) \( \tan \theta \gt \sqrt{3} \)を満たす角度は
60°<θ<90°
(2) tanθ<0を満たす角度は
90°<θ<180°
以上より60°<θ<90°,90°<θ<180°…（答）

○sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

sin2θ+cosθ<1
という問題の場合
(1−cos2θ)+cosθ<1
とすればcosθだけの式になります．
\( \sin ^2 \theta \pm \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\lt 1 \)
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

sinθ+cos2θ>1
という問題の場合
sinθ+(1−sin2θ)>1
とすればsinθだけの式になります．
\( \pm \sqrt{1-\cos ^2 \theta}+\cos^2 \theta \gt 1 \)
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
cos2θ+cosθ−sin2θ≦0

cosθは１次の式があるから書き換えられない．sinθは２次の式だけだから書き換えられる．

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2cos2θ+3sinθ>3

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
30°<θ<90°,90°<θ<150° 60°<θ<90°,90°<θ<120°

2cos2θ+3sinθ>3
2(1−sin2θ)+3sinθ>3
2sin2θ−3sinθ+1<0
(2sinθ−1)(sinθ−1)<0
\( \dfrac{1}{2}\lt \sin \theta \lt 1 \)

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとる

30°<θ<90°
90°<θ<150°…（答）

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
\( \sin ^2 \theta -\cos \theta \lt \dfrac{1}{4} \)

0°<θ<60° 0°≦θ<60°
60°<θ<180° 60°<θ≦180°

4sin2θ−4cosθ<1
4(1−cos2θ)−4cosθ<1
4cos2θ+4cosθ−3>0
(2cosθ−1)(2cosθ+3)>0
\( \cos \theta \lt -\dfrac{3}{2},\hspace{10px}\dfrac{1}{2}\lt \cos \theta \)

0°≦θ≦180°のとき，cosθは右図の値をとる

(1) \( \cos \theta \lt -\dfrac{3}{2} \)となる角度はない
(2) \( \cos \theta \gt \dfrac{1}{2} \)より 0°≦θ<60°…（答）

※問題文が等号なしの不等号だから60°には等号は付かない．
他方で，0°≦θ≦180°でcos0°=1だから0°には等号が付く

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
sinθ>cosθ

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2sinθcosθ−4sinθ−cosθ+2<0

30°<θ<150° 30°<θ<90°
60°<θ<120° 120°<θ≦180°

cosθについて整理する
cosθ(2sinθ−1)−4sinθ+2<0
cosθ(2sinθ−1)−2(2sinθ−1)<0
(cosθ−2)(2sinθ−1)<0
ここで，cosθはつねに1よりも小さいから
cosθ−2<0が成り立つ

そこで
2sinθ−1>0を解く
\( \sin \theta \gt \dfrac{1}{2} \)

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとるから

30°<θ<150°…（答）

例1の答えの書き方はあれで合っているのでしょうか？前のページでは違う書き方がしてあったのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，120°と180°が逆になっていましたので訂正しました（冷汗）