三角不等式

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== 三角不等式 == ○２次以上の三角不等式は，２次以上の三角方程式と同様に因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です．

【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の三角不等式を解きなさい．
$2\cos ^2 \theta \gt 1 + \cos \theta$

（解答）
$2\cos ^2 \theta -\cos \theta-1\gt 0$
この式の左辺を因数分解する

2x2−x−1>0の左辺をたすき掛け因数分解すると
(2x+1)(x−1)>0となります．

$(2\cos \theta + 1)(\cos \theta -1)\gt 0$

２次不等式(2x+1)(x−1)>0の解は，
２次方程式(2x+1)(x−1)=0の解の「両側」です．
すなわち
$x\lt -\frac{1}{2}$ または $x\gt 1$

$\cos \theta \lt -\frac{1}{2}$
または $\cos \theta \gt 1$

0°≦θ≦180°のとき，
(1)　 $\cos \theta \lt -\frac{1}{2}$ を満たす角度は120°<θ≦180°
(2)　 $\cos \theta \gt 1$ を満たす角度はない．
以上より，
120°<θ≦180°…（答）

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$2\sin ^2 \theta + 3\sin \theta -2\lt 0$

30°<θ<150° 60°<θ<120°
0°≦θ<30°,150°<θ≦180° 0°≦θ<60°,120°<θ≦180°

解説やり直す

　因数分解して $(2\sin \theta -1)(\sin \theta + 2)\lt 0$ …(1)と変形します．

　2次方程式
$(x + 2)(2x-1)=0$
の解
$x=-2,\hspace{10}\frac{1}{2}$
の「間」は
$-2\lt x \lt \frac{1}{2}$

　(1)の解は $-2 \lt \sin \theta \lt \frac{1}{2}$
0°≦θ≦180°のとき，右図のように0≦sinθ≦1だけだから

実際には
$0 \le \sin \theta \lt \frac{1}{2}$
を解く．（sinθ=0は合格）

0°≦θ<30°,
150°<θ≦180°…（答）

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$\tan ^2 \theta - \sqrt{3}\tan \theta \gt 0$

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
60°<θ<90°,90°<θ<120° 60°<θ<90°,90°<θ<180°

解説やり直す

　因数分解して $\tan \theta(\tan \theta -\sqrt{3})\gt 0$ …(1)と変形します．

　2次方程式
$x(x-\sqrt{3})=0$
の解
$x=0,\hspace{10}\sqrt{3}$
の「両側」は
$x \lt 0,\hspace{10}\sqrt{3}\lt x$

　(1)の解は $\tan \theta \lt 0,\hspace{10} \sqrt{3}\lt \tan \theta$
0°≦θ≦180°のとき，右図の値をとる

※θ=90°のときtanθは定義されないので注意

※また，90°'lt;θ<180°のとき，tanθ<0となることに注意

(1) $\tan \theta \gt \sqrt{3}$ を満たす角度は
60°<θ<90°
(2) $\tan \theta \lt 0$ を満たす角度は
90°<θ<180°
以上より60°<θ<90°,90°<θ<180°…（答）

○sinθとcosθが混ざった式になっている場合は，一方にそろえると因数分解しやすくなります．
　文字が２種類ある因数分解よりも，文字が１種類だけある因数分解の方が解きやすいということです．

○sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

$\sin ^2 \theta + \cos \theta \lt 1$
という問題の場合
$(1-\cos ^2 \theta) + \cos \theta \lt 1$
とすれば $\cos \theta$ だけの式になります．
$\sin ^2 \theta \pm \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\lt 1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

$\sin \theta + \cos^2 \theta \gt 1$
という問題の場合
$\sin \theta + (1-\sin^2 \theta)\gt 1$
とすれば $\sin \theta$ だけの式になります．
$\pm \sqrt{1-\cos ^2 \theta}+ \cos^2 \theta \gt 1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$\cos ^2 \theta + \cos \theta - \sin^2 \theta \underline{\leq} 0$

cosθは１次の式があるから書き換えられない．sinθは２次の式だけだから書き換えられる．

（解答）
$\cos ^2 \theta + \cos \theta - (1-\cos^2 \theta) \underline{\leq} 0$
$2\cos ^2 \theta + \cos \theta -1\underline{\leq} 0$
たすき掛け因数分解を行う
$(2\cos \theta-1)(\cos \theta + 1)\underline{\leq} 0$
$-1 \underline{\leq} \cos \theta \underline{\leq} \frac{1}{2}$

右図より
$60^{\circ}\underline{\leq}\theta \underline{\leq}180^{\circ}$ …（答）

※（初歩的な注意）
角度を小さい方から並べると上半円での見かけ上の左右とは逆に並ぶ

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$2\cos ^2 \theta + 3\sin \theta \gt 3$

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
30°<θ<90°,90°<θ<150° 60°<θ<90°,90°<θ<120°

解説やり直す

sinθは１次の式があるから書き換えられない．cosθは２次の式だけだから書き換えられる．

$2(1-\sin ^2 \theta) + 3\sin \theta \gt 3$
$2\sin ^2 \theta- 3\sin \theta + 1 \lt 0$
$(2\sin \theta -1)(\sin \theta -1)\lt 0$

$\frac{1}{2}\lt \sin \theta \lt 1$

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとる

30°<θ<90°
90°<θ<150°…（答）

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$\sin ^2 \theta -\cos \theta \lt \frac{1}{4}$

0°<θ<60° 0°≦θ<60°
60°<θ<180° 60°<θ≦180°

解説やり直す

cosθは１次の式があるから書き換えられない．sinθは２次の式だけだから書き換えられる．

$4\sin ^2 \theta -4\cos \theta \lt 1$
$4(1-\cos ^2 \theta)- 4\cos \theta \lt 1$
$4\cos^2\theta + 4\cos \theta -3\gt 0$
$(2\cos \theta -1)(2\cos\theta+ 3)\gt 0$
$\cos \theta \lt -\frac{3}{2},\hspace{10}\frac{1}{2}\lt \cos \theta$

0°≦θ≦180°のとき，cosθは右図の値をとる

(1) $\cos \theta \lt -\frac{3}{2}$ となる角度はない
(2) $\cos \theta \gt \frac{1}{2}$ より 0°≦θ<60°…（答）

※問題文が等号なしの不等号だから60°には等号は付かない．
他方で，0°≦θ≦180°でcos0°=1だから0°には等号が付く

○sinθもcosθも１次式になっているときは，どちらも書き換えられないので，そのままでいろいろと工夫します．

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$\sin \theta \gt \cos \theta$

（解答）
(1)　0°≦θ<90°のとき $\cos \theta \gt 0$ だから両辺を $\cos \theta$ で割ると
$\tan \theta \gt 1$
これを満たす角度は
45°<θ<90°
(2)　θ=90°のとき $\sin \theta =1, \hspace{10}\cos\theta=0$ だから $\sin \theta \gt \cos\theta$ は成立する
(3)　90°<θ≦180°のとき $\sin\theta\underline{\ge}0, \hspace{10}\cos\theta \lt 0$ だから $\sin \theta \gt \cos\theta$ は成立する
以上より45°<θ≦180°…（答）

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
$2\sin \theta \cos \theta -4\sin \theta -\cos \theta + 2\lt 0$

30°<θ<150° 30°<θ<90°
60°<θ<120° 120°<θ≦180°

解説やり直す

sinθもcosθも１次式だから書き換えられない．このまま因数分解を考えます

cosθについて整理する
$\cos\theta(2\sin \theta -1)-4\sin\theta + 2\lt 0$
$\cos\theta(2\sin \theta -1)-2(2\sin\theta -1)\lt 0$
$(\cos\theta-2)(2\sin \theta -1)\lt 0$
ここで， $\cos\theta$ はつねに1よりも小さいから
$\cos\theta-2\lt 0$ が成り立つ

そこで
$2\sin \theta -1\gt 0$ を解く
$\sin \theta \gt \frac{1}{2}$

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとるから

30°<θ<150°…（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角不等式について／17.8.15］

例1の答えの書き方はあれで合っているのでしょうか？前のページでは違う書き方がしてあったのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，120°と180°が逆になっていましたので訂正しました（冷汗）