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【例1】
0°≦θ≦180°のとき,次の三角不等式を解きなさい.
(解答)
この式の左辺を因数分解する
2x2−x−1>0の左辺をたすき掛け因数分解すると
(2x+1)(x−1)>0となります. ![]() 2次方程式(2x+1)(x−1)=0の解の「両側」です. すなわち ![]() または 0°≦θ≦180°のとき, (1) (2) 以上より, 120°<θ≦180°…(答) |
以下の問題では,各自で計算用紙を使って計算してから,下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください.(暗算では無理でしょう)
【問題1】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
因数分解して
2次方程式
の解 の「間」は ![]() 0°≦θ≦180°のとき,右図のように0≦sinθ≦1だけだから 実際には を解く.(sinθ=0は合格) 0°≦θ<30°, 150°<θ≦180°…(答)
【問題2】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
因数分解して
2次方程式
の解 の「両側」は ![]() 0°≦θ≦180°のとき,右図の値をとる ※θ=90°のときtanθは定義されないので注意 ※また,90°'lt;θ<180°のとき,tanθ<0となることに注意 (1) 60°<θ<90° (2) 90°<θ<180° 以上より60°<θ<90°,90°<θ<180°…(答) |
○sinθとcosθが混ざった式になっている場合は,一方にそろえると因数分解しやすくなります. 文字が2種類ある因数分解よりも,文字が1種類だけある因数分解の方が解きやすいということです.
○sin2θとcosθが混ざった式では,sin2θ=1−cos2θとして,cosθにそろえます.
という問題の場合 とすれば などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります.
○cos2θとsinθが混ざった式では,cos2θ=1−sin2θとして,sinθにそろえます.
という問題の場合 とすれば などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります. ![]()
【要点】
sinθとcosθが混ざった式では,1次の方に勝たせる.(2次の方を変形する)
【例2】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
cosθは1次の式があるから書き換えられない.sinθは2次の式だけだから書き換えられる.
(解答)たすき掛け因数分解を行う ![]() 右図より ※(初歩的な注意) 角度を小さい方から並べると上半円での見かけ上の左右とは逆に並ぶ |
【問題3】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
sinθは1次の式があるから書き換えられない.cosθは2次の式だけだから書き換えられる.
![]() 0°≦θ≦180°のとき,sinθは右図の値をとる 30°<θ<90° 90°<θ<150°…(答)
【問題4】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
cosθは1次の式があるから書き換えられない.sinθは2次の式だけだから書き換えられる.
![]() 0°≦θ≦180°のとき,cosθは右図の値をとる (1) (2) ※問題文が等号なしの不等号だから60°には等号は付かない. 他方で,0°≦θ≦180°でcos0°=1だから0°には等号が付く |
○sinθもcosθも1次式になっているときは,どちらも書き換えられないので,そのままでいろいろと工夫します.
【例3】
(解答)0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい. (1) 0°≦θ<90°のとき これを満たす角度は 45°<θ<90° (2) θ=90°のとき (3) 90°<θ≦180°のとき 以上より45°<θ≦180°…(答) |
【問題5】
0°≦θ≦180°のとき,次の不等式を解きなさい.
sinθもcosθも1次式だから書き換えられない.このまま因数分解を考えます
cosθについて整理するここで, ![]() そこで 0°≦θ≦180°のとき,sinθは右図の値をとるから 30°<θ<150°…(答) |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角不等式について/17.8.15]
例1の答えの書き方はあれで合っているのでしょうか?前のページでは違う書き方がしてあったのですが。
=>[作者]:連絡ありがとう.おっと,120°と180°が逆になっていましたので訂正しました(冷汗) |