■センター試験問題 場合の数・確率→ 携帯版は別頁
【センター試験 2006年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 袋A, B, C, Dがあり,それぞれに4枚のカードが入っている.各袋のカードには,1から4までの番号がつけられてる.袋A, B, C, Dからカードを1枚ずつ取り出し,出た数をそれぞれa, b, c, dとする.

(1) a, b, c, dの最大の数が3以下である場合はアイ通りあり,最大の数が4である場合はウエオ通りある.

(2) a, b, c, dについて,a<b<cとなる場合はカキ通りある.

(3) 出た数a, b, c, dによって,次のように得点を定める.
a≦b≦c≦dのときは,(d−a+1)
それ以外のときは,0
(i) 得点が1点となる確率はであり,得点が4点となる
確率はである.
(ii) 得点の期待値は点である.
≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2007年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 1辺の長さ1の正六角形があり,その頂点の1つをAとする.一つのさいころを3回投げ,点Pを次の(a),(b),(c)にしたがって,この正六角形の辺上を反時計回りに進める.

(a) 頂点Aから出発して,1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める.
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して,2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める.
(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して,3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める.

(1) 3回進めたとき,点Pが正六角形の辺上を1周して,ちょうど頂点Aに到達する目の出方はアイ通りである.
 3回進める間に,点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方はウエオ通りである.

(2) 3回進める間に,点Pが3回とも頂点Aにとまる確率は
であり,ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率
である.
 3回進める間に,点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる
確率はである.

(3) 3回進める間に,点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は
回である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2008年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 さいころを3回投げ,次の規則にしたがって文字の列を作る.ただし,何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする.

1回目は次のようにする.

  • 出た目の数が12のときは,文字Aを書く
  • 出た目の数が34のときは,文字Bを書く
  • 出た目の数が56のときは,何も書かない
2回目,3回目は次のようにする.

  • 出た目の数が12のときは,文字の列の右側に文字Aを1つ付け加える
  • 出た目の数が34のときは,文字の列の右側に文字Bを1つ付け加える
  • 出た目の数が56のときは,いちばん右側の文字を削除するただし,何も書かれていないときはそのままにする
 以下の問いでは,さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える.

(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである.
  文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである.

(2) 文字の列がAとなる確率はであり,何も書かれて
いない文字の列となる確率はである.
(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり,字数が2
となる確率はである.また,文字の列の字数の期待値
である.ただし,何も書かれていないときの字数は
0とする.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2009年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 さいころを繰り返し投げ,出た目の数を加えていく.その合計が4以上になったところで投げることを終了する.

(1) 1の目が出たところで終了する目の出方は通りである.
2の目が出たところで終了する目の出方は通りである.
3の目が出たところで終了する目の出方は通りである.
4の目が出たところで終了する目の出方は通りである.
(2) 投げる回数が1回で終了する確率はであり,2回で
終了する確率はである.終了するまでに投げる回数が
最も多いのは回であり,投げる回数が回で終了する確率
である.終了するまでに投げる回数の期待値
である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2010年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 袋の中に赤玉5個,白玉5個,黒玉1個の合計11個の玉が入っている.赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており,黒玉には何も書かれていない.なお,同じ色の玉には同じ数字は書かれていない.この袋から同時に5個の玉を取り出す.

 5個の玉の取り出し方はアイウ通りある.

 取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点,1組だけあれば得点は1点,1組もなければ得点は0点とする.

(1) 得点が0点となる取り出し方のうち,黒玉が含まれているのはエオ通りであり,黒玉が含まれていないのはカキ通りである.

  得点が1点となる取り出し方のうち,黒玉が含まれているのはクケコ通りであり,黒玉が含まれていないのはサシス通りである.

(2) 得点が1点である確率はであり,2点である確率
である.

 また,得点の期待値はである.


≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2011年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 1個のさいころを投げるとき,4以下の目が出る確率p
であり,5以上の目が出る確率qである.
 以下では,1個のさいころを8回繰り返して投げる.

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は
オカp3q5である.
  第1回目に4以下の目が出て,さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はキクp3q5である.
  第1回目に5以上の目が出て,さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はケコp3q5である.

(2) 次の07のうちオカに等しいものはである.ただし,は解答の順序を問わない.

07C2×7C3 18C1×8C2 27C2+7C3 38C1+8C2
47C4×7C5 58C6×8C7 67C4+7C5 78C6+8C7

(3) 得点を次のように定める.
 8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,
n=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする.
 また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする.

 このとき,得点が6点となる確率はpqであり,得点が3点となる確率はソタpqである.また,得点の期待値
である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

※問題文では「は解答の順序を問わない」となっていますが,コンピュータで採点する都合上,ここでは<となるように答えてください.

± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2012年度:数学I・A(本試験) 第4問】
 1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す.このようなカードの取り出し方は
アイウ通りある.

(1) 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方はエオ通りであり,5と書かれたカードがない取り出し方はカキ通りである.

(2) 次のように得点を定める.
  • 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は,得点を0点とする.
  • 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合,
    この5枚を書かれている数の小さい順に並べ,5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき,得点をk点とする.
 得点が0点となる確率はである.得点が1点となる確
率はで,得点が2点となる確率は,得点
3点となる確率はである.
 また,得点の期待値はである.


≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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