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=== 等差数列とその和 ===
【等差数列の定義1】
隣り合う2項の差が一定の定数である数列を等差数列といいます
2項の差は,後ろの項から前の項を引いたものとします
差が等しいから「等差」数列と考えるとよい
等差数列の隣り合う2項の差を公差といいます
【例1】
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です.
(解説)
隣り合う2項の差は
3−1=2
5−3=2
7−5=2
……
とすべて同じ定数2になっています.公差は2です.
【例2】
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です.
(解説)
隣り合う2項の差は
17−20=−3
14−17=−3
11−14=−3
……
とすべて同じ定数−3になっています.公差は−3です.
## ビックリ答案 ##
 隣り合う2項の差が一定の規則で成り立っているだけでは,等差数列とは言えません.
 等差数列と言えるためには,差が一定の「定数」,すなわち「項の番号に依存しない定数」として「どの2項間にも共通の定数」でなければなりません.
 めったにないことですが,
右のような数列を「公差」nの等差数列だ!などと考えてはいけません.
2項間の差が「項の番号nに依存して変化する」ような数列は等差数列とは言いません.
等差数列は,初項(第1項)に公差となる定数を次々に加えていくと得られます.そこで,多くの教科書では,等差数列を次のように定義しています.
【等差数列の定義2】
初項aに定数dを次々に加えて得られる数列を等差数列といい,その定数d公差という.
【例1’ 】(再掲)
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です.
(解説)
初項1に公差2を次々に加えて得られる数列となっています.
1+2=3
3+2=5
5+2=7
……
【例2’ 】(再掲)
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です.
(解説)
初項20に公差−3を次々に加えて得られる数列となっています.
20+(−3)=17
17+(−3)=14
14+(−3)=11
……

【等差数列の一般項の公式】
初項a,公差dの等差数列の一般項an
an=a+(n−1)d
(解説)
項がnあるとき,その間はn−1個あります.
a2=a+1d
a3=a+2d
a4=a+3d
このように,初項に公差dを項の番号nよりも1つ少ないn−1回加えると第n項anが得られます.
an=a+(n−1)d
【例1” 】(再掲)
等差数列1, 3, 5, 7,…… の一般項anをnの式で表してください.
(解説)
初項a=1,公差d=2だから
an=1+2(n−1)=2n−1…(答)
【例2” 】(再掲)
等差数列20, 17, 14, 11,…… の一般項anをnの式で表してください.
(解説)
初項a=20,公差d=−3だから
an=20+(−3)(n−1)=23−3n…(答)

【問題1】 選択肢の中から正しいものを1つクリック
(1)
初項3,公差4の等差数列の一般項anをnの式で表してください.
(2)
等差数列anの第3項が12,第7項が24であるとき,この数列の初項aと公差dを求めてください.

(3)
等差数列101, 94, 87,…… で初めて負の数になるのは第何項か.
(4)
 a, b, cをこの順に並べて等差数列をなしている場合,bacの等差中項であるという.
 315の等差中項を求めてください.
6 7 8 9

(5)
 数列の各項の逆数が等差数列をなすとき,元の数列は調和数列をなすといいます.
 例えば,数列
…(A)
の逆数から成る数列は
…(B)
となり,(B)は公差1の等差数列です.したがって,(A)は調和数列です.
 次の数列が調和数列をなすとき,xの値を求めてください.
6, x, 12
7 8 9 10
(6)
 等差数列anの第3項が18,第9項が48であるとき,この数列の一般項anを求めてください.

【等差数列の和の公式】
(A) 初項a,末項l,項数nの等差数列の初項から末項までの和Sn

(B) 初項a,公差d,項数nの等差数列の初項から第n項までの和Sn


※どちらも
アン(a, n)は必須
デル(d, l)は1つ選びます.
(解説)
≪逸話:少年ガウスの方法≫
 ガウス(ドイツの大数学者1776〜1855)が少年の頃,小学校の先生が
1+2+3+4+5+…100
を計算しなさいと言って,しばらく誰もできないだろうと考えていたら,少年ガウスは直ちに正解を出した.
 彼は,右図のように逆順に足したものと組み合わせると,縦の和がいずれも101になることから
S=(101×100)÷2=5050
と直ちに答えたと言われている.
(A)の公式は,少年ガウスの方法そのものです.
求めたい和Sと,逆順に加えた和Sの2つ用意します.
----------- 項数はn項 ----------
S=a+(a+d)+(a+2d)+……+(l−d)+l
+ ) S=l+(l−d)+……+(a+2d)+(a+d)+a
2S=(a+l)× n
2で割ると

(B)の公式は,末項lが書かれていなくて,初項a,公差d,項数nが分かっているときに使います.
初項a,公差dの等差数列の第n項(ここでは末項l)は
an=l=a+(n−1)d
だから,このlを上記の(A)に代入すると



【例3】
次の等差数列の和を求めてください.
 100, 101, 102,……, 199, 200
(解説)
初項a=100,末項l=200
項数nは,幅(ロープ)が200−100=100のときの植木の本数だから,101項になることに注意しましょう.
項数n=101だから
…(答)
【例4】
初項50,公差−3,項数10の等差数列の和を求めてください.
(解説)
a=50d=−3n=10

に代入します.

…(答)
【例5】
初項17,公差−3の等差数列において,初項から第何項までの和が最大になるか.
(解説)
第n項までの和をで表すと


これは上に凸(山形)の2次関数になるから,頂点に最も近い整数値nで最大となるはずである.
平方完成の変形をして,頂点を求めると



y座標の詳しい分数計算をしなくても,37/6=6.16...の前後にある整数nで最大値をとることが分かる.
n=6のとき,
n=7のとき,
ゆえに,第6項までの和が最大になる…(答)
初項は17であるが,公差が−3なので,項の値はだんだん減ってくる.
総和は,正の数を足す限り増えるが,負の数を足せば減るから,
項が正となる範囲だけ足せばよい.


を解くと

nは整数だからn≦6
ゆえに,第6項までの和が最大になる…(答)

【例6】
1以上100以下の正の整数のうちで
(1) 2で割り切れる数の和を求めてください.
(2) 3で割り切れる数の和を求めてください.
(3) 2でも3でも割り切れない数の和を求めてください.
(解説)
(1) 2で割り切れる数は,2,4,6,8,...,100で,公差2の等差数列をなす.
an=2+2(n−1)=2nとおくと
1≦2n≦100により
1≦n≦50
項数50であるから,その和は
…(答)
(2) 3で割り切れる数は,3,6,9,...,99で,公差3の等差数列をなす.
bn=3+3(n−1)=3nとおくと
1≦3n≦100により
1≦n≦33
項数33であるから,その和は
…(答)
(3) 2でも3でも割り切れない数は,1,5,7,9,11,...となっているから等差数列ではない.
しかし,右図において,2でも3でも割り切れる数(6で割り切れる数)は,6,12,18,24,...,96となり,公差6の等差数列をなす.
そこで,A:2で割り切れる数,B:3で割り切れる数,C=A∩B:6で割り切れる数としたときに,求めるものは,
全体の和S(U)からS(A∪B)=S(A)+S(B)−S(A∩B)を引けば求められる.
6で割り切れる数は,6,12,18,...,96で,公差6の等差数列をなす.
cn=6+6(n−1)=6nとおくと
1≦6n≦100により
1≦n≦16
項数16であるから,その和は

したがって,2または3で割り切れる数の和は

1以上100以下の正の整数の和は
求めるものは
…(答)

【問題2】 選択肢の中から正しいものを1つクリック
(1)
次の等差数列の和を求めてください.
 7,15,23,……, 79, 87
(2)
初項10,公差12,項数14の等差数列の和を求めてください.
(3)
初項−50,公差7の等差数列において,初項から第何項までの和が最小になるか.
(4)
1以上100以下の正の整数のうちで,5でも7でも割り切れない数の和を求めてください.
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