2次関数ののグラフと直線

$x^2+ kx+ 3=x+ 1$
すなわち
$x^2+ (k-1)x+ 2=0$
について
$D=b^2-4ac$
$=(k-1)^2-8$
$=k^2-2k-7=0$
を解きます

$x^2-2kx-k+ 2=0$
について
$b\apos ^2-ac$
$=k^2-(-k+ 2)$
$=k^2+ k-2\gt 0$
を解きます

$2x^2+ 3=4x+ k$
すなわち
$2x^2-4x+(-k+ 3)=0$
$D\apos=b\apos^2-ac$
$=4-2(-k+ 3)\lt 0$
を解きます

$x^2+ kx+ k(k+ 1)=0$
$D=b^2-4ac$
$=k^2-4k(k+ 1)=0$
を解きます

$x^2+ x+ k-1=0$ について
$b^2-4ac$
$=1-4(k-1)\gt 0$
を解きます

$D=b^2-4ac=0$ ←→共有点1個
$D=b^2-4ac\gt 0$ ←→共有点2個
をまとめると
$D=b^2-4ac\underline{\ge}0$ ←→共有点を持つ

つねに $x^2+ 2kx+ 3k\gt 2$
←→つねに $x^2+ 2kx+ (3k-2)\gt 0$
←→ $y=x^2+ 2kx+ (3k-2)$ $ y=x^2+ 2kx+ (3k-2) $がx軸と共有点を持たない
←→ $D\apos=b\apos^2-ac=k^2-(3k-2)\lt 0$

つねに $x^2-kx+ k-1\gt x-2$
←→つねに $x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)\gt 0$
←→ $y=x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)$ が x軸と共有点を持たない
←→ $D=b^2-4ac$
$=(k+ 1)^2-4(k+ 1)\lt 0$

つねに $(k-1)x^2-2kx+ 2k\gt 0$
←→k−1>0かつD’<0…(1)
またはk−1=0かつ−2k=0かつ−2k>0…(2)
(2)は解なし

正負になる←→x軸と交わる
←→k≠0かつD’>0…(1)
または
k=0かつ2k≠0…(2)
(2)は解なし

== 2次関数のグラフと直線（文字係数） ==※このページは，2次不等式を学んでからすること採点結果の絵の意味正解，不正解 ※解答入力は「半角数字」でなければなりません 1 　放物線 $y=x^2+ kx+ 3$ \( y=x^2+ kx+ 3 \)と直線 y=x+1のグラフが接するとき定数kの値はk= ［ア］＝，［イ］＝，［ウ］＝
	$x^2+ kx+ 3=x+ 1$ \( x^2+ kx+ 3=x+1 \) すなわち $x^2+ (k-1)x+ 2=0$ \( x^2+ (k-1)x+ 2=0 \) について $D=b^2-4ac$ \( D=b^2-4ac \) $=(k-1)^2-8$ \( =(k-1)^2-8 \) $=k^2-2k-7=0$ \( =k^2-2k-7=0 \) を解きますこの2次方程式の左辺は，因数分解できないので，解の公式を使います． $k=1\pm 2\sqrt{2}$ \( k=1\pm 2\sqrt{2} \)
2 　放物線 $y=x^2-2kx-k+ 2$ \( y=x^2-2kx-k+ 2 \)が x軸と相異なる２点で交わるような定数 kの値の範囲は， k＜［ア］，k＞［イ］［ア］＝，［イ］＝
	$x^2-2kx-k+ 2=0$ \( x^2-2kx-k+ 2=0 \) について $b\apos ^2-ac$ \( b'^2-ac \) $=k^2-(-k+ 2)$ \( =k^2-(-k+ 2) \) $=k^2+ k-2\gt 0$ \( =k^2+ k-2\gt 0 \) を解きます (k+2)(k−1)>0より k<−2, 1<k
3 　放物線 $y=2x^2+ 3$ \( y=2x^2+3 \)が直線 y=4x+k と共有点を持たないような定数kの値の範囲は，k＜［ア］［ア］＝
	$2x^2+ 3=4x+ k$ \( 2x^2+ 3=4x+ k \) すなわち $2x^2-4x+(-k+ 3)=0$ \( \large{2x^2-4x+(-k+ 3)=0} \) $D\apos=b\apos^2-ac$ \( \large{D'=b'^2-ac} \) $=4-2(-k+ 3)\lt 0$ \( \large{=4-2(-k+ 3)\lt 0} \) を解きます $4+ 2k-6\lt 0$ \( \large{4+ 2k-6\lt 0} \)より k<1
４　放物線 $y=x^2+ kx+ k(k+ 1)$ \( \large{y=x^2+ kx+ k(k+ 1)} \)とx軸が接するとき定数kの値は k= ［ア］＝，［イ］＝，［ウ］＝
	$x^2+ kx+ k(k+ 1)=0$ \( \large{x^2+ kx+ k(k+ 1)=0} \) $D=b^2-4ac$ \( \large{D=b^2-4ac} \) $=k^2-4k(k+ 1)=0$ \( \large{=k^2-4k(k+1)=0} \) を解きます $-3k^2-4k=0$ \( -3k^2-4k=0 \) $3k^2+ 4k=0$ \( 3k^2+4k=0 \) $k(3k+ 4)=0$ \( k(3k+ 4)=0 \) より $k=0,\hspace{3}-\frac{4}{3}$ \( k=0,\hspace{3px}-\dfrac{4}{3} \)
５　放物線 $y=x^2+ 2x+ k$ \( \large{y=x^2+ 2x+ k} \)が直線 y=x+1 と相異なる2点で交わるような定数kの値の範囲は［ア］＝，［イ］＝
	$x^2+ x+ k-1=0$ \( \large{x^2+ x+ k-1=0} \)について $b^2-4ac$ \( \large{b^2-4ac} \) $=1-4(k-1)\gt 0$ \( \large{=1-4(k-1)\gt 0} \) を解きます $1-4k+ 4\gt 0$ \( 1-4k+ 4\gt 0 \) 4k<5 より $k\lt \frac{5}{4}$ \( k\lt \dfrac{5}{4} \)

６　放物線 $y=2x^2+ 4(k+ 1)x+ 2k^2+ 5k-1$ \( y=2x^2+ 4(k+ 1)x+ 2k^2+ 5k-1 \)のグラフがx軸と共有点を持つような定数kの値の範囲はk≦［ア］［ア］＝
	$D=b^2-4ac=0$ \( D=b^2-4ac=0 \)←→共有点1個 $D=b^2-4ac\gt 0$ \( D=b^2-4ac\gt 0 \)←→共有点2個をまとめると $D=b^2-4ac\underline{\ge}0$ \( D=b^2-4ac\geqq 0 \)←→共有点を持つ $D\apos=2^2(k+ 1)^2-2(2k^2+ 5k-1)\underline{\ge}0$ $4k^2+ 8k+ 4-4k^2-10k+ 2\underline{\ge}0$ \( 4k^2+ 8k+ 4-4k^2-10k+ 2\geqq 0 \) 2k≦6 より k≦3
７　 $x^2+ 2kx+ 3k$ \( x^2+ 2kx+ 3k \)が実数xのどのような値に対しても，つねに2より大きくなるような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］［ア］＝，［イ］＝
	つねに $x^2+ 2kx+ 3k\gt 2$ \( x^2+2kx+ 3k\gt 2 \) ←→つねに $x^2+ 2kx+ (3k-2)\gt 0$ \( x^2+ 2kx+ (3k-2)\gt 0 \) ←→ $y=x^2+ 2kx+ (3k-2)$ \( y=x^2+ 2kx+ (3k-2) \)がx軸と共有点を持たない ←→ $D\apos=b\apos^2-ac=k^2-(3k-2)\lt 0$ \( D'=b'^2-ac=k^2-(3k-2)\lt 0 \) $D\apos=k^2-(3k-2)\lt 0$ \( D'=k^2-(3k-2)\lt 0 \) (k−1)(k−2)<0 1<k<2
８　放物線 $y=x^2-kx+ k-1$ \( y=x^2-kx+ k-1 \)がどんなxの値に対しても直線 y=x−2 の上側にあるような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］［ア］＝，［イ］＝
	つねに $x^2-kx+ k-1\gt x-2$ \( x^2-kx+ k-1\gt x-2 \) ←→つねに $x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)\gt 0$ \( x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)\gt 0 \) ←→ $y=x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)$ \( y=x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1) \)が x軸と共有点を持たない ←→ $D=b^2-4ac$ \( D=b^2-4ac \) $=(k+ 1)^2-4(k+ 1)\lt 0$ \( =(k+ 1)^2-4(k+ 1)\lt 0 \) $(k+ 1)(k-3)\lt 0$ \( (k+ 1)(k-3)\lt 0 \) −1<k<3
９　どんなxの値についても，つねに $kx^2-2kx\gt x^2-2k$ \( kx^2-2kx\gt x^2-2k \)となるような定数kの値の範囲はk＞［ア］［ア］＝
	つねに $(k-1)x^2-2kx+ 2k\gt 0$ \( (k-1)x^2-2kx+ 2k\gt 0 \) ←→k−1>0かつD’<0…(1) またはk−1=0かつ−2k=0かつ−2k>0…(2) (2)は解なし D’<0より $k^2-2k(k-1)\lt 0$ \( k^2-2k(k-1)\lt 0 \) $k^2-2k\gt 0$ \( k^2-2k\gt 0 \) k<0, k>2 k>1だからk>2
10 不等式 $kx^2+ 2kx+ 2k-6\gt 0$ \( kx^2+ 2kx+ 2k-6\gt 0 \)も $kx^2+ 2kx+ 2k-6\lt 0$ \( kx^2+ 2kx+ 2k-6\lt 0 \)も解を持つような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］［ア］＝，［イ］＝
	正負になる←→x軸と交わる ←→k≠0かつD’>0…(1) または k=0かつ2k≠0…(2) (2)は解なし (1)よりk≠0かつ $k^2-k(2k-6)\gt 0$ \( k^2-k(2k-6)\gt 0 \) $-k^2+ 6k\gt 0$ \( -k^2+6k\gt 0 \)より $k^2-6k\lt 0$ \( k^2-6k\lt 0 \) k(k−6)<0 0<k<6 これはk≠0を満たすから0<k<6