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== 絶対値付きの定積分(数学U,入試問題) ==

【例題1】
 定積分の値を求めよ.
(2011年度九州歯科大)
(解説)
■絶対値付き関数の積分を求めるには,「場合分けにより絶対値を外してから積分する」のが基本
■『気長に』『愚直に』やるべし・・・正直者が報われる
■「楽な方法」「近道,裏技」はない・・・迷いの時間が無駄

だから,のグラフは右図の通り.
ア)−1≦x<0のとき


イ)0≦x<1のとき


ウ)1≦x<2のとき


ア)イ)ウ)より
・・・(答)
(閑談)
高校数学T,Uの答案で,場合分けは「漏れなく」「重複なく」行うのが基本で,「重複がある」ような場合分けは,めったにないが,定積分については

という「重要公式」に示されるように,つなぎ目のは,左にも右にも入っている.
すなわち
ア) a≦xcのときf(x)=f1(x)
イ) c≦x≦bのときf(x)=f2(x)
のように書かれ,コウモリ軍団cは,左側の区間にも,右側の区間にも入っていることになる.(教科書や参考書では,ア)イ)のように書かれる.)
 しかし,次の公式があるので,結果的には,矛盾はない.

これにより


a≦x<c
c≦x≦b

という解釈ができる!
(ペラペラの皮を1枚はがすと()となって,コウモリ軍団は,鳥軍団の専属だと解釈できる.)

【類題1.1】 
 定積分を求めよ.
(2016年度北海学園大 工学部)
[解答を見る]
【類題1.2】 
 定積分を求めよ.
(2005年度甲南大理工学部)
[解答を見る]

【類題1.3】 
 関数について,次の問いに答えよ.
(1) 方程式の解を求めよ.
(2) 関数のグラフをかけ.
(3) 関数のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(2016年度新潟大)
[解答を見る]
【類題1.4】 
 xy平面上で,y=xのグラフとのグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
(2011年度京都大理科系)
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【例題2】
=
(2005年度早稲田大商学部)
(解説)
■複数個の絶対値記号を
外すには
⇒ 区切り目を並べて,細かく場合分けする






そこで
ア)−2≦x<−1のとき




イ)−1≦x<0のとき




ウ)0≦x<1のとき




エ)1≦x<2のとき




アイウエ)より
・・・(答)
【類題2.1】 
 関数f(x)によって定める.
(1) f(x)の絶対値記号をはずせ.
(2) y=f(x)のグラフをかけ.
(3) y=f(x)のグラフとのグラフとで囲まれる部分の面積Sを求めよ.
(2016年度中央大法学部)
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【例題3】
 1≦x≦2とする.関数を最小にするxの値を求めよ.
(2016年度愛媛大農学部・教育学部)
(解説)
ア)1≦t<xのとき,t−x<0だから
|t−x|=x−t
イ)x≦t<2のとき,t−x>0だから
|t−x|=t−x







1・・・・・・2
0+
表により,のとき最小になる・・・(答)

【類題3.1】 
 0<k<3のとき,直線y=kxと曲線y=|x(x−3)|とで囲まれた図形の面積が最小となるようなkの値を求めよ.
(2005年度東京学芸大)
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【類題3.2】 
 f(x)とする.
ただし,x≧0とする.
 関数y=f(x)のグラフとx軸,x=1, x=4で囲まれる
部分の面積は       である.
(2016年度早稲田大人間科学部)
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【類題3.3】 
(1) aを任意の実数とするとき,y=x|a−x|のグラフをかけ.
(2) としたとき,f(x)の最小値を求めよ.
(2005年度公立はこだて未来大)
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【類題3.4】 
0<t<1を満たすtに対し,
とおく.このとき,次の設問に答えよ.
(1) f(t)を求めよ.
(2) f(t)を最小にするtの値を求めよ.
(2005年度岡山理科大)
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