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== 対数微分法 ==
 幾つかの関数の積.商になっている関数や累乗の形をした関数では,直接微分するよりも両辺の対数をとってから微分すると簡単になることが多い.(ただし,真数の符号が負になる可能性があるときは,両辺の絶対値の対数をとる.)
 このような微分法を対数微分法という.
 対数をとると,積は和になり,商は差になり,累乗は積になるので,微分計算が簡単になることを利用したものです.
【函数の積.商になっているものの例】


【累乗の形になっているものの例】


【例1】

この程度の微分なら暗算でもできますが,結果の分かる簡単な問題を使って,対数微分法には「どんな長所があるのか」「何に気を付けるべきか」を一度は確かめておく必要があります.
y x 0 -1 2
 両辺の対数をとると

となるが,右のグラフから分かるように,の区間で,真数の符号が負になるから,高校ではこの対数は定義できない.***注意点は,負になる式には対数がとれないということです***
 そこで,はじめの
において「両辺の絶対値の対数をとる」と


…(1)
となって,真数が負になる問題を回避できる.
***長所は,(1)が足し算に変わるということです***
 次に,両辺をで微分するのであるが,左辺については,という関数を微分するために,合成関数の微分法を思い出す.
…(2)
 さて,ここで最終的に求めたいものは,すなわちなので,と書き換えて見やすくしておきます.
 また,すなわち…(3)になります.

(3)の解説
 (3)は,で微分すると,のときものときも,
…(4)
となることを,変数をにして表したものです.
y x 0 -1 1 P x Q
 のグラフは,右図の青で示した曲線で,の部分でだけ定義されています.右図Pの接線の傾きから分かるように,は正です.(右上がりになる)
 これに対して,のグラフは,右図の赤で示した曲線で,すなわち,の部分でだけ定義されています.このグラフは,青で示したのグラフを鏡写しにしたものになっています.また,右図Qの接線の傾きから分かるように,は負です.(右下がりになる)
 これら2つのグラフを合わせたものが,のグラフで,のときものときも,

となります.
 変数を書き換えると,です.
 以上により,(2)はになるので,

 このようにして,対数微分法によって左辺ので微分すると,つねにが登場します.これは,ワンパターンの変形になりますので覚えておきます.
【対数微分法の左辺は,いつでも】
…(5)
 本題に戻って,(1)の両辺をで微分すると


結局



となって,を微分した結果と一致します.
【対数微分法の要点】
…(4)
(kは定数)…(4’)
…(5)

【例2】

(解答)



両辺をで微分すると





…(答)
※この問題も,直接微分しようと思えばできる.
【例3】

(解答)




両辺をで微分すると(例2の結果が使える)




…(答)

【例4】

(解答)

両辺をで微分すると

…(答)

【問題1】 次の関数を微分してください.(やさしい問題)
(1.1)

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(1.2)

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(1.3)

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(1.4)

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【問題2】 次の関数を微分してください.(難しい問題)
(2.1)

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(2.2)

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(2.3)

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その他の類題と解答
















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