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== 不定積分の部分積分法 ==

◇解説◇
 元の形では積分計算が困難に見える問題でも,形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。
 ここで紹介する部分積分法は,積の微分法から導かれます.

 積の微分法: 
(fg)’ = f’g + fg’
 の両辺を積分すると,

fg = f’g dx + fg’dx

移項すると,部分積分法の公式が得られます。
fg’dx= fg−f’g dx
※以下の解説においては,「上げる」「下げる」という筆者独特の言い回しがあります.「上げる」とは積分する,「下げる」とは微分するという意味(多項式で言えば,各々次数が上がる,下がるから)です.
【例1】

x sin x dx
※ x と 三角関数,指数関数などの積 → x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
  ( )は左辺の初めの形
   下げる:(f) = x   → f' = 1
     g =−cos x ← (g') = sin x
:上げる


x sin x dx =−x cos x + cos x dx
=−x cos x + sin x + C


例2
x logx dx
※ log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外:log x は相手が多項式であっても,微分する側とする。)

  ( )は左辺の初めの形
下げる:(f) = log x → f' =

g = (g') = x:
上げる



x logx dx = log x− dx

= log x− dx

= log x− + C

例3
ex sin x dx

I = ex sin x dx とおく

※求める不定積分を I とおいて,方程式のように解く。
→同じものが出てくるまで変形する.

  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(f) = sin x → f' = cos x
      g = ex(g') = ex
:上げる


I = ex sin x dx

= ex sin x−ex cos x dx



  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(p) = cos x → p' =−sin x
      q = ex(q') = ex
:上げる


I = ex sin x−ex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + ex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I…(*) となるから,

(*)の式では積分定数Cが見えていなくても,一般に不定積分には積分定数を付けなければならないから,最後に付ける.
I= +C



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。
空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.
(1)
xe−3xdx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x → f' =  

        g =   ← (g') = e-3x
:上げる





(原式) = x 1・ dx

=− + e-3x dx =− + + C


=− + C =− + C

(2)
x2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → 2回の部分積分で消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x2 → f' = x 
        g = (g') = cos x:上げる



(原式)=x2sin x − 2x sin x dx = x2sin x −2 x sin x dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = x → p' =
        q =−cos x ← (g') = sin x
:上げる



(原式) = x2sin x −2( x (- cosx ) + cos x dx )
= x2sin x−2(−x cosx + sin x) + C
= x
2sin x + 2x cosx −2sin x + C

(3)
log x dx
◇考え方◇ 1・log x と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = log x → f’=  

        g =   ← (g') = 1: 上げる



(原式) = x log x− x dx = x log x− dx

= x log x− + C



(4)
dx
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x)  

        g =   ← (g') = : 上げる



(原式) = I とおく
I = (log x)3 2 log x log x dx


= (log x)3−2 dx

I = (log x)3−2I だから

I = + C

・・[別解]・・
(5)
(log x)2dx
◇考え方◇ 1・(log x)2 と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x) 

        g = x  ← (g') = 1: 上げる

(原式)= (log x)2 dx

= (log x)2 (log x) x dx

=x(log x)2log x dx




   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = log x → p' =  

        q = x  ← (q') = 1: 上げる


log x dx = x log x−x + C だから
(原式)= x (log x)2−2(x log x−x) + C
= x (log x)2−2x log x + 2x + C

(6)
eax cos bx dx

 (ただし,a,b0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて,同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。


   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = eax → f' = a eax 

        g =   ← (g') = cos bx: 上げる



(原式) = eax cos bx dx

= eax sin bx dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = eax → p' = a eax 

        q =−  ← (q') = sin bx: 上げる



(原式)=(−+eax cos bx dx )

I = + I

I =

I =


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■[個別の頁からの質問に対する回答][不定積分の部分積分法について/16.11.13]
(4)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました.