常用対数

　x の整数部分を n，小数部分を α とするとき，

n は整数

0≦α<1

x=n+α

が成り立つ

【ここがポイント】

0≦α<1　　 … 小数部分は正

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【有効数字の表し方】

a×10n の形で書く　（ 1≦a<10 ， n は整数）

※ a として 1.0 から 9.99·· までの数字を使うところがポイント．

3.4 に 1000 を掛けると 3400 になる．（小数点を右に３回移動させる：すなわち ×103 とする．）

1.23 に 0.01 を掛けると 0.0123 になる．（小数点を左に２回移動させる：すなわち ×0.01=×10−2 とする．）

指数の復習：10の累乗の表し方

10=101

100=102

1000=103

10000=104

……

分数は負の指数で表わされる

0.1=10−1

0.01=10−2

0.001=10−3

0.0001=10−4

……

　10を底とする対数を常用対数という．　…　log10N の形

（これに対して微分積分などでよく用いられる e=2.718… を底とする対数は自然対数と呼ばれる　…　logeN の形）

【覚えることはただ一つ】
　y=log10N のグラフは単調増加関数（右上がりのグラフ）になっていて，N が大きくなると log10N は大きくなる．

たとえば，log102<log103<log104<log105<···<log109

N が 1 桁の整数

⇔ 1≦N<10 ⇔ 0≦log10N<1
⇔ log10N の整数部分は 0

N が 2 桁の整数

⇔ 10≦N<100 ⇔ 1≦log10N<2
⇔ log10N の整数部分は 1

N が 3 桁の整数

⇔ 100≦N<1000 ⇔ 2≦log10N<3
⇔ log10N の整数部分は 2

……

【公式】
N が n 桁の整数

⇔ 10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n−1

※この公式で求めることができるのは「整数部分の桁数」である．例えば，2.17=180.1088541 のように「小数」の累乗を求めると小数部分の長いものとなるが，このようなものの「全体の桁数」を求めても意味がない．2.17 の「整数部分の桁数=3桁」は「大きさの目安」として使える．（100よりも大きくて1000よりは小さい程度の数だと分かる．）

log10250=50·log102=50×0.3010=15.05 ← 公式(V)
log10250 の整数部分が15だから，250 は16桁の整数 …（答）

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.0	0.0000	0.0043	0.0086	0.0128	0.0170	0.0212	0.0253	0.0294	0.0334	0.0374
1.1	0.0414	0.0453	0.0492	0.0531	0.0569	0.0607	0.0645	0.0682	0.0719	0.0755
1.2	0.0792	0.0828	0.0864	0.0899	0.0934	0.0969	0.1004	0.1038	0.1072	0.1106
1.3	0.1139	0.1173	0.1206	0.1239	0.1271	0.1303	0.1335	0.1367	0.1399	0.1430
1.4	0.1461	0.1492	0.1523	0.1553	0.1584	0.1614	0.1644	0.1673	0.1703	0.1732
1.5	0.1761	0.1790	0.1818	0.1847	0.1875	0.1903	0.1931	0.1959	0.1987	0.2014
1.6	0.2041	0.2068	0.2095	0.2122	0.2148	0.2175	0.2201	0.2227	0.2253	0.2279
1.7	0.2304	0.2330	0.2355	0.2380	0.2405	0.2430	0.2455	0.2480	0.2504	0.2529
1.8	0.2553	0.2577	0.2601	0.2625	0.2648	0.2672	0.2695	0.2718	0.2742	0.2765
1.9	0.2788	0.2810	0.2833	0.2856	0.2878	0.2900	0.2923	0.2945	0.2967	0.2989
2.0	0.3010	0.3032	0.3054	0.3075	0.3096	0.3118	0.3139	0.3160	0.3181	0.3201
2.1	0.3222	0.3243	0.3263	0.3284	0.3304	0.3324	0.3345	0.3365	0.3385	0.3404
2.2	0.3424	0.3444	0.3464	0.3483	0.3502	0.3522	0.3541	0.3560	0.3579	0.3598
2.3	0.3617	0.3636	0.3655	0.3674	0.3692	0.3711	0.3729	0.3747	0.3766	0.3784
2.4	0.3802	0.3820	0.3838	0.3856	0.3874	0.3892	0.3909	0.3927	0.3945	0.3962
2.5	0.3979	0.3997	0.4014	0.4031	0.4048	0.4065	0.4082	0.4099	0.4116	0.4133
2.6	0.4150	0.4166	0.4183	0.4200	0.4216	0.4232	0.4249	0.4265	0.4281	0.4298
2.7	0.4314	0.4330	0.4346	0.4362	0.4378	0.4393	0.4409	0.4425	0.4440	0.4456
2.8	0.4472	0.4487	0.4502	0.4518	0.4533	0.4548	0.4564	0.4579	0.4594	0.4609
2.9	0.4624	0.4639	0.4654	0.4669	0.4683	0.4698	0.4713	0.4728	0.4742	0.4757
3.0	0.4771	0.4786	0.4800	0.4814	0.4829	0.4843	0.4857	0.4871	0.4886	0.4900
3.1	0.4914	0.4928	0.4942	0.4955	0.4969	0.4983	0.4997	0.5011	0.5024	0.5038
3.2	0.5051	0.5065	0.5079	0.5092	0.5105	0.5119	0.5132	0.5145	0.5159	0.5172
3.3	0.5185	0.5198	0.5211	0.5224	0.5237	0.5250	0.5263	0.5276	0.5289	0.5302
3.4	0.5315	0.5328	0.5340	0.5353	0.5366	0.5378	0.5391	0.5403	0.5416	0.5428
3.5	0.5441	0.5453	0.5465	0.5478	0.5490	0.5502	0.5514	0.5527	0.5539	0.5551
3.6	0.5563	0.5575	0.5587	0.5599	0.5611	0.5623	0.5635	0.5647	0.5658	0.5670
3.7	0.5682	0.5694	0.5705	0.5717	0.5729	0.5740	0.5752	0.5763	0.5775	0.5786
3.8	0.5798	0.5809	0.5821	0.5832	0.5843	0.5855	0.5866	0.5877	0.5888	0.5899
3.9	0.5911	0.5922	0.5933	0.5944	0.5955	0.5966	0.5977	0.5988	0.5999	0.6010
4.0	0.6021	0.6031	0.6042	0.6053	0.6064	0.6075	0.6085	0.6096	0.6107	0.6117
4.1	0.6128	0.6138	0.6149	0.6160	0.6170	0.6180	0.6191	0.6201	0.6212	0.6222
4.2	0.6232	0.6243	0.6253	0.6263	0.6274	0.6284	0.6294	0.6304	0.6314	0.6325
4.3	0.6335	0.6345	0.6355	0.6365	0.6375	0.6385	0.6395	0.6405	0.6415	0.6425
4.4	0.6435	0.6444	0.6454	0.6464	0.6474	0.6484	0.6493	0.6503	0.6513	0.6522
4.5	0.6532	0.6542	0.6551	0.6561	0.6571	0.6580	0.6590	0.6599	0.6609	0.6618
4.6	0.6628	0.6637	0.6646	0.6656	0.6665	0.6675	0.6684	0.6693	0.6702	0.6712
4.7	0.6721	0.6730	0.6739	0.6749	0.6758	0.6767	0.6776	0.6785	0.6794	0.6803
4.8	0.6812	0.6821	0.6830	0.6839	0.6848	0.6857	0.6866	0.6875	0.6884	0.6893
4.9	0.6902	0.6911	0.6920	0.6928	0.6937	0.6946	0.6955	0.6964	0.6972	0.6981
5.0	0.6990	0.6998	0.7007	0.7016	0.7024	0.7033	0.7042	0.7050	0.7059	0.7067
5.1	0.7076	0.7084	0.7093	0.7101	0.7110	0.7118	0.7126	0.7135	0.7143	0.7152
5.2	0.7160	0.7168	0.7177	0.7185	0.7193	0.7202	0.7210	0.7218	0.7226	0.7235
5.3	0.7243	0.7251	0.7259	0.7267	0.7275	0.7284	0.7292	0.7300	0.7308	0.7316
5.4	0.7324	0.7332	0.7340	0.7348	0.7356	0.7364	0.7372	0.7380	0.7388	0.7396
5.5	0.7404	0.7412	0.7419	0.7427	0.7435	0.7443	0.7451	0.7459	0.7466	0.7474
5.6	0.7482	0.7490	0.7497	0.7505	0.7513	0.7520	0.7528	0.7536	0.7543	0.7551
5.7	0.7559	0.7566	0.7574	0.7582	0.7589	0.7597	0.7604	0.7612	0.7619	0.7627
5.8	0.7634	0.7642	0.7649	0.7657	0.7664	0.7672	0.7679	0.7686	0.7694	0.7701
5.9	0.7709	0.7716	0.7723	0.7731	0.7738	0.7745	0.7752	0.7760	0.7767	0.7774
6.0	0.7782	0.7789	0.7796	0.7803	0.7810	0.7818	0.7825	0.7832	0.7839	0.7846
6.1	0.7853	0.7860	0.7868	0.7875	0.7882	0.7889	0.7896	0.7903	0.7910	0.7917
6.2	0.7924	0.7931	0.7938	0.7945	0.7952	0.7959	0.7966	0.7973	0.7980	0.7987
6.3	0.7993	0.8000	0.8007	0.8014	0.8021	0.8028	0.8035	0.8041	0.8048	0.8055
6.4	0.8062	0.8069	0.8075	0.8082	0.8089	0.8096	0.8102	0.8109	0.8116	0.8122
6.5	0.8129	0.8136	0.8142	0.8149	0.8156	0.8162	0.8169	0.8176	0.8182	0.8189
6.6	0.8195	0.8202	0.8209	0.8215	0.8222	0.8228	0.8235	0.8241	0.8248	0.8254
6.7	0.8261	0.8267	0.8274	0.8280	0.8287	0.8293	0.8299	0.8306	0.8312	0.8319
6.8	0.8325	0.8331	0.8338	0.8344	0.8351	0.8357	0.8363	0.8370	0.8376	0.8382
6.9	0.8388	0.8395	0.8401	0.8407	0.8414	0.8420	0.8426	0.8432	0.8439	0.8445
7.0	0.8451	0.8457	0.8463	0.8470	0.8476	0.8482	0.8488	0.8494	0.8500	0.8506
7.1	0.8513	0.8519	0.8525	0.8531	0.8537	0.8543	0.8549	0.8555	0.8561	0.8567
7.2	0.8573	0.8579	0.8585	0.8591	0.8597	0.8603	0.8609	0.8615	0.8621	0.8627
7.3	0.8633	0.8639	0.8645	0.8651	0.8657	0.8663	0.8669	0.8675	0.8681	0.8686
7.4	0.8692	0.8698	0.8704	0.8710	0.8716	0.8722	0.8727	0.8733	0.8739	0.8745
7.5	0.8751	0.8756	0.8762	0.8768	0.8774	0.8779	0.8785	0.8791	0.8797	0.8802
7.6	0.8808	0.8814	0.8820	0.8825	0.8831	0.8837	0.8842	0.8848	0.8854	0.8859
7.7	0.8865	0.8871	0.8876	0.8882	0.8887	0.8893	0.8899	0.8904	0.8910	0.8915
7.8	0.8921	0.8927	0.8932	0.8938	0.8943	0.8949	0.8954	0.8960	0.8965	0.8971
7.9	0.8976	0.8982	0.8987	0.8993	0.8998	0.9004	0.9009	0.9015	0.9020	0.9025
8.0	0.9031	0.9036	0.9042	0.9047	0.9053	0.9058	0.9063	0.9069	0.9074	0.9079
8.1	0.9085	0.9090	0.9096	0.9101	0.9106	0.9112	0.9117	0.9122	0.9128	0.9133
8.2	0.9138	0.9143	0.9149	0.9154	0.9159	0.9165	0.9170	0.9175	0.9180	0.9186
8.3	0.9191	0.9196	0.9201	0.9206	0.9212	0.9217	0.9222	0.9227	0.9232	0.9238
8.4	0.9243	0.9248	0.9253	0.9258	0.9263	0.9269	0.9274	0.9279	0.9284	0.9289
8.5	0.9294	0.9299	0.9304	0.9309	0.9315	0.9320	0.9325	0.9330	0.9335	0.9340
8.6	0.9345	0.9350	0.9355	0.9360	0.9365	0.9370	0.9375	0.9380	0.9385	0.9390
8.7	0.9395	0.9400	0.9405	0.9410	0.9415	0.9420	0.9425	0.9430	0.9435	0.9440
8.8	0.9445	0.9450	0.9455	0.9460	0.9465	0.9469	0.9474	0.9479	0.9484	0.9489
8.9	0.9494	0.9499	0.9504	0.9509	0.9513	0.9518	0.9523	0.9528	0.9533	0.9538
9.0	0.9542	0.9547	0.9552	0.9557	0.9562	0.9566	0.9571	0.9576	0.9581	0.9586
9.1	0.9590	0.9595	0.9600	0.9605	0.9609	0.9614	0.9619	0.9624	0.9628	0.9633
9.2	0.9638	0.9643	0.9647	0.9652	0.9657	0.9661	0.9666	0.9671	0.9675	0.9680
9.3	0.9685	0.9689	0.9694	0.9699	0.9703	0.9708	0.9713	0.9717	0.9722	0.9727
9.4	0.9731	0.9736	0.9741	0.9745	0.9750	0.9754	0.9759	0.9763	0.9768	0.9773
9.5	0.9777	0.9782	0.9786	0.9791	0.9795	0.9800	0.9805	0.9809	0.9814	0.9818
9.6	0.9823	0.9827	0.9832	0.9836	0.9841	0.9845	0.9850	0.9854	0.9859	0.9863
9.7	0.9868	0.9872	0.9877	0.9881	0.9886	0.9890	0.9894	0.9899	0.9903	0.9908
9.8	0.9912	0.9917	0.9921	0.9926	0.9930	0.9934	0.9939	0.9943	0.9948	0.9952
9.9	0.9956	0.9961	0.9965	0.9969	0.9974	0.9978	0.9983	0.9987	0.9991	0.9996

0<a , a≠1 となるどんな a についても
(I)　loga1=0　（真数が1なら，底が何であっても対数は0になる）
(II)　logaa=1　（真数が底に等しいとき，底が何であっても対数は1になる）

0<a , a≠1 , M>0 , N>0 のとき

(III)　logaM+logaN=logaMN

(IV)　logaM−logaN=loga

(V)　logaMn=n·logaM

（答案）
log103100=100·log103=100×0.4771=47.71 ← 公式(V)
log103100 の整数部分が47だから，3100 は48桁の整数 …（答）

（答案）
log10670=70·log106 ← 公式(V)
ここで log106=log102+log103 ← 公式(III)
だから，log106=0.3010+0.4771=0.7781
70·log106=70×0.7781=54.467
log10670 の整数部分が54だから，670 は55桁の整数 …（答）

log10270=70·log102=70×0.3010=21.07
log10270 の整数部分が21だから，270 は22桁

log10640=40·log106
ここで log106=log102+log103=0.3010+0.4771=0.7781
40·log106=40×0.7781=31.124
log10640 の整数部分が31だから，640 は32桁

【最高位の数】
log10N の小数部分 α が log10k≦α<log10(k+1) なら，最高位の数は k になる．

（答案）
log10240=40·log102=40×0.3010=12.04
小数部分は log101<0.04<log102
だから最高位の数は1…（答）
（参考）240=1099511627776 になる．

（答案）
log10320=20·log103=20×0.4771=9.542
小数部分は log103=0.4771<0.542<log104=log1022=2·log102=0.6020
だから最高位の数は3…（答）
（参考）320=3486784401 になる．

N は小数第 1 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.1≦N<1 ⇔ −1≦log10N<0
⇔ log10N の整数部分は −1

N は小数第 2 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.01≦N<0.1 ⇔ −2≦log10N<−1
⇔ log10N の整数部分は −2

N は小数第 3 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.001≦N<0.01 ⇔ −3≦log10N<−2
⇔ log10N の整数部分は −3

……

【公式】
log10N の整数部分が −n
⇔ N は小数第 n 位に初めて0でない数が現われる

（答案）
log102−12=−12·log102=−12×0.3010
=−3.612=−4+0.388
整数部分が −4 だから
小数第4位に初めて0でない数が現われる …（答）

【ここがポイント】

0≦α<1　　 … 小数部分は正

【Excelにおける巨大数・微小数の表示】
　Excelの標準書式では，１つのセルに表示できないような巨大数・微小数は次のように指数形式で表示される．ここでEはExponent（指数）を表わす．
520=95367431640625⇒9.54E+13←9.54×1013 を表わす
5−20=0.00000000000001048⇒1.05E-14←1.05×10−14 を表わす

（答案）
log103−10=−10·log103=−10×0.4771
=−4.771=−5+0.229
整数部分が −5 だから
小数第5位に初めて0でない数が現われる …（答）

小数第位に初めて0でない数が現われる

常用対数の入試問題

(1)
　650はイ桁の数である．ただし，log102=0.3010, log103=0.4771とする．

（東北学院大2014年工学部）

【要点】
N が 1 桁の整数

⇔ 1≦N<10 ⇔ 0≦log10N<1
⇔ log10N の整数部分は 0

N が 2 桁の整数

⇔ 10≦N<100 ⇔ 1≦log10N<2
⇔ log10N の整数部分は 1

N が 3 桁の整数

⇔ 100≦N<1000 ⇔ 2≦log10N<3
⇔ log10N の整数部分は 2

【公式】
N が n+1 桁の整数

⇔ 10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n

log10(650)=50log106=50(log102+log103)
=50(0.3010+0.4771)=38.905
の整数部分は38だから650は39桁…（答） →閉じる←

(2)
　3n>10000をみたす最小の整数nはスである．ただし，log103=0.4771とする．

（千葉工業大2011年）

【要点】
10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n
⇔ Nはn+1桁の整数

両辺の常用対数をとると
log103n>log1010000
nlog103>4

$n\gt\frac{4}{0.4771}=8.38\cdots$
nは整数だから，n=9…（答） →閉じる←

(3)

　 $\sum_{n=0}^{100}2^n$ の桁数を求めよ．ただし，log102=0.3010とする．

（富山大2016年）

【要点】
10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n
⇔ Nはn+1桁の整数

$N=\sum_{n=0}^{100}2^n=\frac{2^{101}-1}{2-1}=2^{101}-1$
とおくと

［この問題のポイント］
$2^{101}$ の桁数は公式通りで求まるが， $2^{101}-1,\hspace{5}2^{100}+ a$ などの桁数をどう求めるか？

$\log_{10}2^{100}\lt\log_{10}N$ …(1)
$\log_{10}N\lt\log_{10}2^{101}$ …(2)
(2)は明らか
(1)は，次のように示すことができる
$(2^{101}-1)-2^{100}=2\times 2^{100}-1-2^{100}=2^{100}-1\gt 0$
したがって
$\log_{10}2^{100}\lt\log_{10}N\lt\log_{10}2^{101}$
$100\cdot\log_{10}2\lt\log_{10}N\lt 101\cdot\log_{10}2$
ここで，log102=0.3010だから
$30.10\lt\log_{10}N\lt 30.401$
常用対数の整数部分が30だから，Nは31桁…（答） →閉じる←

(4)
　 $N$ は自然数で $N^{10}$ が16桁であるとする．このとき， $N^{8}$ は何桁になるか求めよ．

（福岡教育大2011年）

$15\underline{\le}log_{10}N^{10}=10\cdot\log_{10}N\lt 16$
が成り立つから
$1.5\underline{\le}\log_{10}N\lt 1.6$
このとき
$1.5\times 8\underline{\le}\log_{10}N^8=8\cdot\log_{10}N\lt 1.6\times 8$
$12\underline{\le}\log_{10}N^8=8\cdot\log_{10}N\lt 12.8$
だから， $N^{8}$ は13桁の整数…（答） →閉じる←

(5)
　 $\log_{10}2=0.3010,\hspace{3}\log_{10}3=0.4771$ とする．
　 $2^{2011}$ の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば729の場合は7を指す．

（群馬大2011年）

【要点】
$\log_{10}N=n+\alpha$
(ただし $n$ は整数，0≦ $\alpha$ <1は小数部分)のとき
① $n$ は整数部分の桁数( $n+ 1$ )に対応
② $\alpha$ は数字の並び方に対応
【例】
$\log_{10}2^{10}=3.010=3+ 0.01$
だから， $2^{10}$ は，①4桁の整数で
② $\log_{10}1\lt 0.01\lt\log_{10}2$ だから，最高位の数は1

$\log_{10}2^{2011}=2011\cdot\log_{10}2=605.311$ の小数部分について
$\log_{10}2\lt 0.311\lt\log_{10}3$
となるから，最高位の数は2…（答） →閉じる←

(6)
　 $3^{2014}$ はア桁けたの数であり，最も大きい位の数字はイ，一の位の数字はウである．ただし， $\log_{10}2=0.3010,\hspace{3}\log_{10}3=0.4771,\hspace{3}\log_{10}7=0.8451$ とする．

（上智大2014年）

$\log_{10}3^{2014}=2014\cdot\log_{10}3=2014\times 0.4771=960.8794$
の整数部分は960だから，961桁…ア

小数部分は $0.8451\lt 0.8794\lt 0.9030$
すなわち， $\log_{10}7\lt 0.8794\lt 3\log_{10}2=\log_{10}8$
だから，最も大きい位の数は7…イ

一の位の数を求める問題は，常用対数とは関係なく，剰余類または合同式の問題である

$3^0=1,\hspace{5}3^1=3,\hspace{5}3^2=9,\hspace{5}3^3=27,\hspace{5}3^4=81,\hspace{5}\cdots$
であるから， $3^4\equiv 1\hspace{3}\pmod{10}$
したがって， $3^{4n}\equiv 1\hspace{3}\pmod{10}$
$3^{2014}=3^{4\times 503}\times 3^2\equiv 1\times 9\equiv 9\pmod{10}$ の一の位の数は9…ウ
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(7)
　 $0.2^{17}$ を小数で表したとき，0でない数字がはじめて表れるのは小数第何位か．対数を用いて判断せよ．ただし， $\log_{10}2=0.3010$ とする．

（山梨大2005年）

【公式】
log10N の整数部分が −n
⇔ N は小数第 n 位に初めて0でない数が現われる

$\log_{10}\hspace{3}0.2^{17}=17\cdot\log_{10}\frac{2}{10}=17(\log_{10}2-1)$
$=17\times (0.3010-1)=-11.883=-12+ 0.117$
の整数部分は−12だから，小数第12位にはじめて0でない数が現れる…（答） →閉じる←

(8)
　 $0.15^{70}$ を小数で表すと，小数第シ位に初めて０でない数字が表れる．その初めて現れる0でない数字はスである．ただし， $\log_{10}2=0.3010,\hspace{5}\log_{10}3=0.4771$ とする．

（慶応義塾大2005年）

$\log_{10}0.15^{70}=70\cdot\log_{10}0.15=70\cdot\log_{10}\frac{15}{100}$ $=70\cdot\log_{10}\frac{3}{10}\times\frac{5}{10}=70\cdot\log_{10}\big(\frac{3}{10}\times\frac{1}{2}\big)$
$=70(\log_{10}3-1-\log_{10}2)=70\times(0.4771-1-0.3010)$
$=-57.673=-58+ 0.327$
整数部分は−58だから，小数第58位…（答）
小数部分は (0.3010<)0.327(<0.4771) だから，０でない最高位の数は2…（答）
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■常用対数