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== 同じものがあるときの順列 ==

■解説
《要約》
○ 同じもの ap 個,bq 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
通り

○ 同じもの ap 個,bq 個,cr 個,… ,合計 n 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
通り


※ この公式は,全部使う場合の順列の総数を表わしており,その一部分だけを使う場合の順列の総数を求めるには,それぞれの構成に応じて場合分けして求める必要がある.

(解説)
 例えば,すべて異なる 5 個の文字 a1a2a3b1b2 を1列に並べる順列の総数は 5P5=5!=120 通りとなるが,
 それらの中には次のようなものがある.
a1a2b1a3b2  a1a3b1a2b2
a2a1b1a3b2  a2a3b1a1b2
a3a1b1a2b2  a3a2b1a1b2
 これらは,an が異なるものとして区別し,お互いの位置だけを交換して得られたもので,もし a が同じものなら,これらは1つの順列となる.したがって,a を区別したときは,a が同じものであるときと比較して,それらの内部交換だけで 3! 倍多くなっている.

 さらに, bn を異なるものとして区別し,お互いの位置だけを交換したとき,上の順列は 2! 倍多くなる.
a1a2b1a3b2  a1a3b1a2b2
a2a1b1a3b2  a2a3b1a1b2
a3a1b1a2b2  a3a2b1a1b2
a1a2b2a3b1  a1a3b2a2b1
a2a1b2a3b1  a2a3b2a1b1
a3a1b2a2b1  a3a2b2a1b1
 したがって,同じもの a3 個,b2 個,合計 5 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
通り
になる.
 これを一般化すると,同じもの ap 個,bq 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
通り

となって,上の公式が得られる.
 3種類以上の文字から成るときも同様.

例1
 a が4個,b が3個,合計7個の文字があるとき,これら全部を1列に並べてできる順列の総数は
=35

例2
 a が4個,b が3個,c が2個,合計9個の文字があるとき,これらを全部を1列に並べてできる順列の総数は
=1260

例3
 a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち3個を使ってできる順列の総数は
(ア)a を3個使うとき
__________aaa の並べ方 → 1 通り
(イ)a を2個使うとき
__________aab の並べ方 → =3 通り

__________aac の並べ方 → =3 通り
(ウ)a を1個使うとき
__________abb の並べ方 → =3 通り

__________abc の並べ方 → 3!=6 通り
(エ)a を使わないとき
__________bbc の並べ方 → =3 通り
19 通り


■参考:組合せを用いる解説■
 同じものがあるときの順列の総数は組合せは nCr を用いて解説されることが多いので,これらの関係を示す.
 aabbb のように同じものを2個と3個含む文字列を並べ替えてできる順列の総数は,
通り
であるが,それぞれにおいて a の場所さえ決めれば残りの場所は b に決まる.
 例えば abbab では a の番号を1番と4番の2つに決めれば残り2,3,5番は b になる.したがって,aabbb の並べ替え方は,異なる5個の番号札から a の行き先の番号札2個をもらう方法の数 5C2 に等しく,組合せの公式
5C2==10

でも求められる.
※ もちろん,b の行き先の番号札3個をもらう方法の数 5C3 で計算しても同じになる.
5C3==10

《問題》 正しいものを選んでください.
≪1≫
 1,1,1,1,2,2,3 の7個の数字を使ってできる7桁の整数の個数を求めよ.


≪2≫
 coffee の6個の文字を全部使ってできる順列の総数を求めよ.


≪3≫
 a,a,a,b,b,c の6個の文字を並べ替えてできる順列のうち b が互いに隣り合っているものの総数を求めよ.


≪4≫
 a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち4個を使ってできる順列の総数は


≪5≫
 a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでいるものは何通りあるか.


≪6≫
 a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでおり,さらに,a12b34c のように a,b,c1,2,3,4 もこの順に並んでいるものは何通りあるか.


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■[個別の頁からの質問に対する回答][同じものがあるときの順列について/17.2.21]
凄くわかりやすいです!調べたらすぐ出てきてすぐ解決しました!大助かりです!!
=>[作者]:連絡ありがとう.