オイラーの分数式，繁分数式

■オイラーの分数式，繁分数式 ≪この頁に登場する問題・解答一覧≫

次の分数式を簡単にしてください．

番号	問題	答
(1)	$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$	$0$
(2)	$\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$	$0$
(3)	$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$	$1$
(4)	$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$	$a+b+c$
(5)	$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$	$1$

(6)	$\frac{b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c+a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b}{(c-a)(c-b)}$	$0$
(7)	$\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$	$-1$
(8)	$\frac{(b+c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c+a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a+b)^2}{(c-a)(c-b)}$	$1$
(9)	$\frac{(b-c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a-b)^2}{(c-a)(c-b)}$	$-3$
(10)	$\frac{b^3+c^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^3+a^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^3+b^3}{(c-a)(c-b)}$	$-a-b-c$

（途中経過）
通分の練習として，次のような変形が考えられます．
(1)←
（原式） $=\frac{-(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

(2)←
（原式） $=\frac{-a(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-b(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-a(b-c)-b(c-a)-c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{-ab+ac-bc+ba-ca+cb}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

(3)←
（原式） $=\frac{-a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-b^2(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-a^2(b-c)-b^2(c-a)-c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

（分子） $=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+cb(c-b)=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+cb(c-b)$

$=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+cb(c-b)=(c-b)\{a^2-a(b+c)+cb)\}=(c-b)(a-b)(a-c)$

（原式） $=\frac{(c-b)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

(4)←
（原式） $=\frac{-a^3(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-b^3(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-a^3(b-c)-b^3(c-a)-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{-a^3b+a^3c-b^3c+b^3a-c^3a+c^3b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

（分子） $=a^3(c-b)+a(b^3-c^3)+cb(c^2-b^2)=a^3(c-b)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)+cb(c-b)(c+b)$

$=(c-b)\{a^3-a(b^2+bc+c^2)+cb(c+b)\}$

{　　}内 $=b^2(c-a)+b(c^2-ac)+(a^3-ac^2)=b^2(c-a)+bc(c-a)+a(a-c)(a+c)$

$=(c-a)\{b^2+bc-a(a+c)\}=(c-a)\{c(b-a)+b^2-a^2\}=(c-a)\{c(b-a)+(b-a)(b+a)\}$

$=(c-a)(b-a)(c+b+a)$

（分子） $=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)$

（原式） $=\frac{(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=a+b+c$

(5)←
（原式） $=\frac{-bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{-ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-bc(b-c)-ca(c-a)-ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{-b^2c+bc^2-c^2a+a^2c-a^2b+ab^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

（分子） $=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+bc(c-b)=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+bc(c-b)$

$=(c-b)\{a^2-a(b+c)+bc\}=(c-b)(a-b)(a-c)$

（原式） $=\frac{(c-b)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

普通に通分して示すこともできますが，(1)(2)の結果を使うと簡単になります．
(6)←
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(1)より $P=0$

$Q=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(2)より $Q=0$

$R=\frac{b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c+a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b}{(c-a)(c-b)}$ とおくと

$Q+R=\frac{a+b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{a+b+c}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b+c}{(c-a)(c-b)}=(a+b+c)P=0$ だから

$0+R=0$ ゆえに $R=0$

(7)←
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(1)より $P=0$

$Q=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(3)より $Q=1$

$R=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$ とおくと

$Q+R=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{a^2+b^2+c^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2+c^2}{(c-a)(c-b)}=(a^2+b^2+c^2)P=0$ だから

$1+R=0$ ゆえに $R=-1$

(8)←
$P=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(7)より $P=-1$

$Q=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(5)より $Q=1$

$R=\frac{(b+c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c+a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a+b)^2}{(c-a)(c-b)}=P+2Q=-1+2=1$

(9)←
$P=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(7)より $P=-1$

$Q=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(5)より $Q=1$

$R=\frac{(b-c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a-b)^2}{(c-a)(c-b)}=P-2Q=-1-2=-3$

(10)←
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(1)より $P=0$

$Q=\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$ とおくと(4)より $Q=a+b+c$

$R=\frac{b^3+c^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^3+a^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^3+b^3}{(c-a)(c-b)}$ とおくと

$Q+R=(a^3+b^3+c^3)P=0$

ゆえに $R=-Q=-a-b-c$

次の繁分数式を簡単にしてください．（繁分数式とは，分数式の分母や分子がさらに分数式となっているもののこと）

番号	問題	答
(1)	$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$	$\frac{x}{x+1}$
(2)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$	$\frac{2x+1}{x+1}$
(3)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$	$\frac{3x+2}{2x+1}$
(4)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}$	$\frac{5x+3}{3x+2}$

(5)	$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$	$\frac{x}{x-1}$
(6)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$	$\frac{-1}{x-1}$
(7)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$	$x$
(8)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x-1}{x}$

(9)	$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^2}{x^3-x+1}$
(10)	$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$
(11)	$\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^3}{x^4+x^2+1}$

(12)	$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$	$\frac{x^2+1}{2x}$
(13)	$\frac{\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1}+\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}}{\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1}-\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}}$	$\frac{x^2+1}{2x}$
(14)	$\frac{1+\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}}{1+\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}$	$\frac{x-1}{x+1}$

（途中経過）
繁分数式を簡単にするには，分数の分母や分子が分数になっている部分に目を付けて，「分母」と「分子」に同じ式を掛けるのが基本です．
(1)←
$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ ：この式が普通の分数でないのは，分母に $\frac{1}{x}$ があるからです．それ以外の要素は普通の分数と何ら変わりません．

　もっとはっきり言えば，その分母 $x$ だけが「具合が悪い」のです．
　分数式の一部分にだけ何かを掛けると式の値が変わってしまうため，通常は一部分にだけ何かを掛けるようなことはできませんが，分数式の「分母と分子に同じ式を掛ける」ことはできます．これは，通分や約分のときに使われる正しい変形方法です．

$\frac{1}{2}=\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{3}{6}$ と変形するのと同様に分母と分子に同じものを掛けます

$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$ の場合は，分母の $3$ を取り除くために，「分母と分子の両方に」 $3$ を掛けます．

$\frac{(1)\times 3}{(1+\frac{1}{3})\times 3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$

問題(1)では，次のように変形します．
$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{(1)\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}=\frac{x}{x+1}$

(2)←

$1+$

$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

において枠線で示した部分は，(1)の結果から $\frac{x}{x+1}$ だから

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}$

(3)←
(2)の結果から， $P=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{2x+1}{x+1}$ とおくと， $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{P}$ と書けるので，

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{(2x+1)+(x+1)}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$

（はじめから計算する場合は）
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{1+\frac{(1) \times x}{(1+\frac{1}{x})\times x }}=1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}=1+\frac{(1)\times (x+1)}{(1+\frac{x}{x+1})\times (x+1)}$

$=1+\frac{x+1}{ (x+1)+x}=1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{(2x+1)+(x+1)}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$

(4)←
(3)の結果から， $P=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{3x+2}{2x+1}$ とおくと， $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{1}{P}$ と書けるので，

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{2x+1}{3x+2}=\frac{(3x+2)+(2x+1)}{3x+2}=\frac{5x+3}{3x+2}$

（はじめから計算する場合は）
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{(1)\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}}$

$=1+\frac{1}{1+\frac{(1)\times (x+1)}{(1+\frac{x}{x+1})\times (x+1)}}=1+\frac{1}{1+\frac{x+1}{(x+1)+x}}$

$=1+\frac{1}{1+\frac{x+1}{2x+1}}=1+\frac{(1)\times (2x+1)}{(1+\frac{x+1}{2x+1})\times (2x+1)}$

$=1+\frac{2x+1}{(2x+1)+(x+1)}=1+\frac{2x+1}{3x+2}=\frac{(3x+2)+2x+1}{3x+2}$

$=\frac{5x+3}{3x+2}$

(5)←
$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}=\frac{x}{x-1}$

(6)←
$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=1-\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}=1-\frac{x}{x-1}=\frac{(x-1)-x}{x-1}=\frac{-1}{x-1}$

(7)←
$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=1-\frac{1}{1-\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}=1-\frac{1}{1-\frac{x}{x-1}}}=1-\frac{1\times (x-1)}{(1-\frac{x}{x-1})\times (x-1)}}$

$=1-\frac{x-1}{(x-1)-x}=1-\frac{x-1}{-1}=1+(x-1)=x$

(8)←
(7)の結果から $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=x$ だから $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

(9)←
$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{x}{x-1}}}$ $=\frac{1}{x-\frac{(1)\times (x-1)}{(x+\frac{x}{x-1})\times (x-1)}}$

$=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x(x-1)+x}}=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x^2-x+x}}=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x^2}}=\frac{(1)\times x^2}{x(x^2)-(x-1)}}=\frac{x^2}{x^3-x+1}$

(10)←
$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{(1)\times x}{(x-\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{x}{x^2-1}}}$ $=\frac{1}{x-\frac{(1)\times (x^2-1)}{(x+\frac{x}{x^2-1})\times (x^2-1)}}$

$=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x(x^2-1)+x}}=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x^3-x+x}}=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x^3}}=\frac{(1)\times x^3}{x(x^3)-(x^2-1)}}=\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

(11)←
$\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{(1)\times x}{(x+\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{x}{x^2+1}}}$ $=\frac{1}{x+\frac{(1)\times (x^2+1)}{(x-\frac{x}{x^2+1})\times (x^2+1)}}$

$=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x(x^2+1)-x}}=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x^3+x-x}}=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x^3}}=\frac{(1)\times x^3}{x(x^3)+(x^2+1)}}=\frac{x^3}{x^4+x^2+1}$

(12)←
$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$ が繁分数となっている原因を取り除くためには， $\frac{x+1}{x-1}$ に $x-1$ を掛ける必要があり， $\frac{x-1}{x+1}$ に $x+1$ を掛ける必要

があります．そこで両方とも取り除くために， $(x+1)(x-1)$ を掛けます．

$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$ $=\frac{(\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1})\times (x+1)(x-1)}{(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1})\times (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x+1)^2-(x-1)^2}=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{x^2+2x+1-x^2+2x-1}$

$=\frac{2(x^2+1)}{4x}=\frac{x^2+1}{2x}$

(13)←
そのまま気長に変形してもできますが，この式は(12)の問題において $x$ の代わりに $\frac{1}{x}$ を代入したものとなっていることに注意すると

(12)結果に $\frac{1}{x}$ を代入すれば(3)の結果が得られることになります．
$\frac{\frac{1}{x^2}+1}{2\frac{1}{x}}=\frac{1+x^2}{2x}$

(12)の結果と同じで何も変わっていないので変に思えますが，実は(12)の結果は $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}$ と書くことができ，

$x$ と $\frac{1}{x}$ の対称式なので，これらを入れ替えても値は変わりません．

(14)←
$\frac{1+\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}}{1+\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}$ $=\frac{1+\frac{(1-\frac{1}{x})\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}}{1+\frac{(1+\frac{1}{x})\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}=\frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1+\frac{x+1}{x-1}}$ $=\frac{(1+\frac{x-1}{x+1})\times(x+1)(x-1)}{(1+\frac{x+1}{x-1})\times (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)(x-1)+(x-1)^2}{(x+1)(x-1)+(x+1)^2}$
$=\frac{x^2-1+x^2-2x+1}{x^2-1+x^2+2x+1}=\frac{2x^2-2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x-1)}{2x(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}$

[1]　 $\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$	−3 −2 −1 0 1 2 3 −a−b−c a+b+c
[2]　 $\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$	−3 −2 −1 0 1 2 3 −a−b−c a+b+c
[3]　 $\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$	−3 −2 −1 0 1 2 3 −a−b−c a+b+c

[1]　 $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$	$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$ $\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$
[2]　 $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$	$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$ $\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$
[3]　 $\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}$	$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$ $\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$