オイラーの分数式，繁分数式

== オイラーの分数式，繁分数式 == ≪この頁に登場する問題・解答一覧≫

■オイラーの分数式
次の分数式を簡単にしてください．

番号	問題	答
(1)	$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$	$0$

--途中経過--
（原式） $=\frac{-(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

番号	問題	答
(2)	$\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$	$0$

--途中経過--
（原式） $=\frac{-a(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-b(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-a(b-c)-b(c-a)-c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-ab+ac-bc+ba-ca+cb}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

番号	問題	答
(3)	$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$	$1$

--途中経過--
（原式） $=\frac{-a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-b^2(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-a^2(b-c)-b^2(c-a)-c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

（分子） $=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+cb(c-b)$
$=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+cb(c-b)$
$=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+cb(c-b)$
$=(c-b)\{a^2-a(b+c)+cb)\}$
$=(c-b)(a-b)(a-c)$
（原式） $=\frac{(c-b)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

番号	問題	答
(4)	$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$	$a+b+c$

--途中経過--
（原式） $=\frac{-a^3(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-b^3(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-a^3(b-c)-b^3(c-a)-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-a^3b+a^3c-b^3c+b^3a-c^3a+c^3b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
（分子） $=a^3(c-b)+a(b^3-c^3)+cb(c^2-b^2)$
$=a^3(c-b)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)$
$+cb(c-b)(c+b)$
$=(c-b)\{a^3-a(b^2+bc+c^2)+cb(c+b)\}$
{　　}内 $=b^2(c-a)+b(c^2-ac)+(a^3-ac^2)$
$=b^2(c-a)+bc(c-a)+a(a-c)(a+c)$
$=(c-a)\{b^2+bc-a(a+c)\}$
$=(c-a)\{c(b-a)+b^2-a^2\}$
$=(c-a)\{c(b-a)+(b-a)(b+a)\}$
$=(c-a)(b-a)(c+b+a)$
（分子） $=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)$
（原式） $=\frac{(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=a+b+c$

番号	問題	答
(5)	$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$	$1$

--途中経過--
（原式） $=\frac{-bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$+\frac{-ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-bc(b-c)-ca(c-a)-ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\frac{-b^2c+bc^2-c^2a+a^2c-a^2b+ab^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
（分子）
$=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+bc(c-b)$
$=a^2(c-b)+a(b-c)(b+c)+bc(c-b)$
$=(c-b)\{a^2-a(b+c)+bc\}$
$=(c-b)(a-b)(a-c)$
（原式） $=\frac{(c-b)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$

番号	問題	答
(6)	$\frac{b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c+a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b}{(c-a)(c-b)}$	$0$

--途中経過--

普通に通分して示すこともできますが，(1)(2)の結果を使うと簡単になります．
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(1)より $P=0$

$Q=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(2)より $Q=0$

$R=\frac{b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c+a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b}{(c-a)(c-b)}$
とおくと

$Q+R$
$=\frac{a+b+c}{(a-b)(a-c)}+\frac{a+b+c}{(b-c)(b-a)}+\frac{a+b+c}{(c-a)(c-b)}$
$=(a+b+c)P=0$
だから

$0+R=0$
ゆえに $R=0$

番号	問題	答
(7)	$\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$	$-1$

--途中経過--
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(1)より $P=0$
$Q=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(3)より $Q=1$
$R=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$
とおくと
$Q+ R$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{a^2+b^2+c^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2+c^2}{(c-a)(c-b)}$
$=(a^2+b^2+c^2)P=0$
だから
$1+R=0$
ゆえに
$R=-1$

(8)

$\frac{(b+c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c+a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a+b)^2}{(c-a)(c-b)}$

$1$

--途中経過--
$P=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(7)より $P=-1$

$Q=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(5)より $Q=1$

$R=\frac{(b+c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c+a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a+b)^2}{(c-a)(c-b)}$
$=P+2Q=-1+2=1$

番号	問題	答
(9)	$\frac{(b-c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a-b)^2}{(c-a)(c-b)}$	$-3$

--途中経過--
$P=\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(7)より $P=-1$

$Q=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(5)より $Q=1$

$R=\frac{(b-c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a-b)^2}{(c-a)(c-b)}$
$=P-2Q=-1-2=-3$

番号	問題	答
(10)	$\frac{b^3+c^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^3+a^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^3+b^3}{(c-a)(c-b)}$	$-a-b-c$

--途中経過--
$P=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(1)より $P=0$

$Q=\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$
とおくと(4)より $Q=a+b+c$

$R=\frac{b^3+c^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^3+a^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^3+b^3}{(c-a)(c-b)}$
とおくと

$Q+R=(a^3+b^3+c^3)P=0$
ゆえに $R=-Q=-a-b-c$

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【問題１】　次の分数式を簡単にしてください．
　各々の問題について選択肢から解答を選択してください．

※上記の解説と全く同じ問題の再現問題ですが「暗記問題=結果を覚える問題」と考えても「あてもん=くじ引き=答が合いさえすればよい問題」と考えてもいけません．
　計算用紙を使って「自分で再現できるかどうか」確かめてください．
　間違ったときは，上の解説を何度読んでもかまいません．

[1]　 $\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$

−3 −2 −1 0 1 2 3

−a−b−c a+b+c

[2]　 $\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

−3 −2 −1 0 1 2 3

−a−b−c a+b+c

[3]　 $\frac{b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2+a^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{a^2+b^2}{(c-a)(c-b)}$

−3 −2 −1 0 1 2 3

−a−b−c a+b+c

■繁分数式
次の繁分数式を簡単にしてください．（繁分数式とは，分数式の分母や分子がさらに分数式となっているもののこと）

番号	問題	答
(1)	$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$	$\frac{x}{x+1}$

繁分数式を簡単にするには，分数の分母や分子が分数になっている部分に目を付けて，「分母」と「分子」に同じ式を掛けるのが基本です．
--途中経過--
$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ ：この式が普通の分数でないのは，分母に $\frac{1}{x}$ があるからです．それ以外の要素は普通の分数と何ら変わりません．

　もっとはっきり言えば，その分母 $x$ だけが「具合が悪い」のです．
　分数式の一部分にだけ何かを掛けると式の値が変わってしまうため，通常は一部分にだけ何かを掛けるようなことはできませんが，分数式の「分母と分子に同じ式を掛ける」ことはできます．これは，通分や約分のときに使われる正しい変形方法です．

$\frac{1}{2}=\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{3}{6}$ と変形するのと同様に分母と分子に同じものを掛けます

$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$ の場合は，分母の $3$ を取り除くために，「分母と分子の両方に」 $3$ を掛けます．

$\frac{(1)\times 3}{(1+\frac{1}{3})\times 3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$

問題(1)では，次のように変形します．
$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{(1)\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}=\frac{x}{x+1}$

番号	問題	答
(2)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$	$\frac{2x+1}{x+1}$

--途中経過--

$1+$

$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

において枠線で示した部分は，(1)の結果から
$\frac{x}{x+1}$ だから

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}$

番号	問題	答
(3)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$	$\frac{3x+2}{2x+1}$

--途中経過--

(2)の結果から， $P=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{2x+1}{x+1}$
とおくと， $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{P}$
と書けるので，
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{(2x+1)+(x+1)}{2x+1}$
$=\frac{3x+2}{2x+1}$

（はじめから計算する場合は）
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{1+\frac{(1) \times x}{(1+\frac{1}{x})\times x }}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}=1+\frac{(1)\times (x+1)}{(1+\frac{x}{x+1})\times (x+1)}$
$=1+\frac{x+1}{ (x+1)+x}=1+\frac{x+1}{2x+1}$
$=\frac{(2x+1)+(x+1)}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$

番号	問題	答
(4)	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}$	$\frac{5x+3}{3x+2}$

--途中経過--
(3)の結果から， $P=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{3x+2}{2x+1}$
とおくと，
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{1}{P}$ と書けるので，
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{2x+1}{3x+2}$
$=\frac{(3x+2)+(2x+1)}{3x+2}=\frac{5x+3}{3x+2}$

（はじめから計算する場合は）
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{(1)\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}}}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{(1)\times (x+1)}{(1+\frac{x}{x+1})\times (x+1)}}=1+\frac{1}{1+\frac{x+1}{(x+1)+x}}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{x+1}{2x+1}}=1+\frac{(1)\times (2x+1)}{(1+\frac{x+1}{2x+1})\times (2x+1)}$
$=1+\frac{2x+1}{(2x+1)+(x+1)}=1+\frac{2x+1}{3x+2}$
$=\frac{(3x+2)+2x+1}{3x+2}$
$=\frac{5x+3}{3x+2}$

番号	問題	答
(5)	$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$	$\frac{x}{x-1}$

--途中経過--
$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}=\frac{x}{x-1}$

番号	問題	答
(6)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$	$\frac{-1}{x-1}$

--途中経過--
$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=1-\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}=1-\frac{x}{x-1}$
$=\frac{(x-1)-x}{x-1}=\frac{-1}{x-1}$

番号	問題	答
(7)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$	$x$

--途中経過--
$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=1-\frac{1}{1-\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}$
$=1-\frac{1}{1-\frac{x}{x-1}}}=1-\frac{1\times (x-1)}{(1-\frac{x}{x-1})\times (x-1)}}$
$=1-\frac{x-1}{(x-1)-x}=1-\frac{x-1}{-1}=1+(x-1)=x$

番号	問題	答
(8)	$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x-1}{x}$

--途中経過--
(7)の結果から $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=x$
だから
$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

番号	問題	答
(9)	$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^2}{x^3-x+1}$

--途中経過--
$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{(1)\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{x}{x-1}}}$
$=\frac{1}{x-\frac{(1)\times (x-1)}{(x+\frac{x}{x-1})\times (x-1)}}$
$=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x(x-1)+x}}=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x^2-x+x}}=\frac{1}{x-\frac{x-1}{x^2}}$
$=\frac{(1)\times x^2}{x(x^2)-(x-1)}}=\frac{x^2}{x^3-x+1}$

番号	問題	答
(10)	$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

--途中経過--
$\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{(1)\times x}{(x-\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{x}{x^2-1}}}$
$=\frac{1}{x-\frac{(1)\times (x^2-1)}{(x+\frac{x}{x^2-1})\times (x^2-1)}}$
$=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x(x^2-1)+x}}=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x^3-x+x}}$
$=\frac{1}{x-\frac{x^2-1}{x^3}}=\frac{(1)\times x^3}{x(x^3)-(x^2-1)}}=\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

番号	問題	答
(11)	$\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}}$	$\frac{x^3}{x^4+x^2+1}$

--途中経過--
$\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{(1)\times x}{(x+\frac{1}{x})\times x}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{x}{x^2+1}}}$
$=\frac{1}{x+\frac{(1)\times (x^2+1)}{(x-\frac{x}{x^2+1})\times (x^2+1)}}$
$=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x(x^2+1)-x}}=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x^3+x-x}}=\frac{1}{x+\frac{x^2+1}{x^3}}$
$=\frac{(1)\times x^3}{x(x^3)+(x^2+1)}}=\frac{x^3}{x^4+x^2+1}$

番号	問題	答
(12)	$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$	$\frac{x^2+1}{2x}$

--途中経過--
$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$
が繁分数となっている原因を取り除くためには， $\frac{x+1}{x-1}$
に $x-1$ を掛ける必要があり， $\frac{x-1}{x+1}$ に $x+1$ を掛ける必要があります．そこで両方とも取り除くために， $(x+1)(x-1)$ を掛けます．

$\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$
$=\frac{(\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1})\times (x+1)(x-1)}{(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1})\times (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x+1)^2-(x-1)^2}$
$=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{x^2+2x+1-x^2+2x-1}$
$=\frac{2(x^2+1)}{4x}=\frac{x^2+1}{2x}$

番号	問題	答
(13)	$\frac{\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1}+\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}}{\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1}-\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}}$	$\frac{x^2+1}{2x}$

--途中経過--
そのまま気長に変形してもできますが，この式は(12)の問題において $x$ の代わりに $\frac{1}{x}$ を代入したものとなっていることに注意すると

(12)結果に $\frac{1}{x}$ を代入すれば(3)の結果が得られることになります．
$\frac{\frac{1}{x^2}+1}{2\frac{1}{x}}=\frac{1+x^2}{2x}$

(12)の結果と同じで何も変わっていないので変に思えますが，実は(12)の結果は $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}$ と書くことができ， $x$ と $\frac{1}{x}$ の対称式なので，これらを入れ替えても値は変わりません．

番号	問題	答
(14)	$\frac{1+\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}}{1+\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}$	$\frac{x-1}{x+1}$

--途中経過--
$\frac{1+\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}}{1+\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}$ $=\frac{1+\frac{(1-\frac{1}{x})\times x}{(1+\frac{1}{x})\times x}}{1+\frac{(1+\frac{1}{x})\times x}{(1-\frac{1}{x})\times x}}=\frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1+\frac{x+1}{x-1}}$ $=\frac{(1+\frac{x-1}{x+1})\times(x+1)(x-1)}{(1+\frac{x+1}{x-1})\times (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)(x-1)+(x-1)^2}{(x+1)(x-1)+(x+1)^2}$
$=\frac{x^2-1+x^2-2x+1}{x^2-1+x^2+2x+1}=\frac{2x^2-2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x-1)}{2x(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}$

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【問題２】　次の繁分数式を簡単にしてください．
　各々の問題について選択肢から解答を選択してください．

[1]　 $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$

$\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

[2]　 $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$

$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$

$\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

[3]　 $\frac{1}{x-\frac{1}{x+\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}$

$x$ $\frac{x-1}{x}$ $\frac{x}{x-1}$ $\frac{x}{x+1}$ $\frac{2x+1}{x+1}$

$\frac{3x+2}{2x+1}$ $\frac{x^2+1}{2x}$ $\frac{x^2}{x^3-x+1}$ $\frac{x^3}{x^4-x^2+1}$

（話題）･･･以下の文章を読んで，「AHA!体験，目の保養」となるか，「目の毒，混乱の元」となるかはあなた次第です．

○ある問題を解くときに，解き方が１通りしかないような問題はあまり上等の問題とはいえない．例えば，分数の計算は通分でしかできない訳ではない．次の式のように多数の分数の和となっている場合には，「通分」で行うと分子が煩雑になり過ぎるのに対して，「部分分数分解」では簡単になることがある．
$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$
↑通分すると，分母が5次式になり分子が各々3次式になる
$=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})$
$=+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})+(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4})$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$

○このように，分数（式）の計算には「通分」をする方法と「部分分数分解」をする方法があるので，頁の先頭にある(1)の問題を部分分数分解で解くことも考えられる．

$\frac{1}{(x-p)(x-q)}=\frac{A}{x-p}+\frac{B}{x-q}$ となる $A,B$ を求めると
$A(x-q)+B(x-p)=1$
　→　 $A+B=0,-Aq-Bp=1=1$
　→　 $A=\frac{1}{p-q},B=-\frac{1}{p-q}$
となるから
$\frac{1}{(x-p)(x-q)}=\frac{1}{p-q}(\frac{1}{x-p}-\frac{1}{x-q})$

したがって

$\frac{1}{(a-b)(a-c)}=\frac{1}{b-c}(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c})$
$=\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}$
$\frac{1}{(b-c)(b-a)}=\frac{1}{c-a}(\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a})$
$=\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}$
$\frac{1}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{a-b}(\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b})$
$=\frac{1}{(c-a)(a-b)}+\frac{1}{(a-b)(b-c)}$

求める式を $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
$=-\frac{1}{(c-a)(a-b)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}-\frac{1}{(b-c)(c-a)}$

$=-\lbrace\frac{1}{(c-a)(a-b)}+\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}\rbrace=-P$

とおくと

$-P=2P$ 　→　 $P=0$

(2)(5)も同様にして解ける．(3)(4)はちょっと難しい（分子の次数を下げる変形を要します）．

○繁分数式の問題では「順に部品を外して最後に建物を解体する」という進め方が基本ですが，慣れてきたら「１つの区画を丸ごと解体する」「ユニットバスをそのまま移動する」という方法もありえます．これらは，「部分から全体へ」に対して「全体から部分へ」という見方にたとえることができます．
　繁分数式の(4)の問題で，大きい方から解体してみると
$1+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\right)}=\frac{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\right)+1}{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\right)}$
$=\frac{2+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)}}{1+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)}}$ $=\frac{2\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)+1}{\left(1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)+1}$ $=\frac{3+\frac{2}{1+\frac{1}{x}}}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ $=\frac{3+ \frac{2}{ \left(1+\frac{1}{x} \right)}}{2+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x} \right)}}$

$=\frac{3\left(1+\frac{1}{x} \right)+2}{2\left(1+\frac{1}{x} \right)+1}=\frac{5+\frac{3}{x}}{3+\frac{2}{x}}=\frac{5x+3}{3x+2}$

目の保養になって，複眼的に見られるようになりましたか？
逆に，この話が「目の毒になる場合」とは，基本が身についていないのに先に応用に手を付けてしまって，両方とも分からなくなる場合です．

昔（50年以上も前の話），数学が全然できない中学生が，かっこを「外からはずす方法」と「中からはずす方法」が混乱してしまって，両方ともできなくなって，先生にペンペンに叱られたことがあった．
基本は中から
{2(x+1)−(x−1)}+3{(x+1)−2(x−1)}={2x+2−x+1}+3{x+1−2x+2}
={x+3}+3{−x+3}=x+3−3x+9=−2x+12

外からはずせば
{2(x+1)−(x−1)}+3{(x+1)−2(x−1)}
=2(x+1)−(x−1)+3(x+1)−6(x−1)
=5(x+1)−7(x−1)=5x+5−7x+7=−2x+12

これと同様で，むずかしいなと思う場合は，基本だけに絞って確実にできるようにする方がよいでしょう．