2次不等式

== ２次不等式 ==
２次関数のグラフが $x$ 軸と２点で交わる場合
○　初めに2次関数のグラフが谷形になるものについて考えます。

$y=ax^2+ bx+ c$ において２次の係数 $a$ が正であるとき、グラフは谷形になります。
⇒　 $y=ax^2+ bx+ c$ （ただし、 $a\gt 0$ ）は谷形

○　　２次不等式
$ax^2+ bx+ c\lt 0$ 　（ただし， $a\gt 0$ ）
は， $y$ の値が $ax^2+ bx+ c$ の値に等しいグラフ，すなわち
$y=ax^2+ bx+ c$ 　（ $a\gt 0$ ）
のグラフを利用して解くことができます．

$y=ax^2+ bx+ c$ （ $a\gt 0$ ）のグラフでは
$ax^2+ bx+ c$ の値は $y$ 座標に等しいので，
$ax^2+ bx+ c\lt 0$
となるような $x$ の値の範囲は
$y\lt 0$
となるような $x$ の値の範囲となります．（図の赤で示した部分）

$y=ax^2+ bx+ c$ と $x$ 軸が $x=\alpha,\beta$ で交わるとき
$y\lt 0$ （すなわち $y$ が負）となるのは
$\alpha \lt x\lt\beta$
のときです．

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※２次不等式の解き方を身に付けるためには，まず第１に，思い込みを捨てることが重要です．

○すなわち，これまでに習った１次不等式の解き方では
$2x\lt 3\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}x\lt\frac{3}{2}$
$4x\gt 5\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}x\gt\frac{5}{4}$
のように,問題文の不等号の向きと解の不等号の向きが対応しています． $x$ の係数が負の場合は，逆向きになりますが，それでも対応しています．
$-2x\lt 3\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}x\gt-\frac{3}{2}$
$-4x\gt 5\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}x\lt-\frac{5}{4}$

○これに対して，
$x^2-3x+ 2$ $\lt$ $0$
のような２次不等式では，問題文の不等号が $\lt$ であるからといって，解の不等号の向きが
$x$ $\lt$ $1$ ， $x$ $\lt$ $2$
となるのではなく，２次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフから $y$ の符号が負になるような $x$ の範囲を探すことになります．
$x^2-3x+ 2$ $\gt$ $0$
では $y$ の符号が正になるような $x$ の範囲を探すことになります．

※ここが核心※
不等式 $ax^2+ bx+ c\lt 0$ で求めているのは $y$ の値の範囲ではなく、 $x$ の値の範囲です。（この式の変数は $x$ だけ）

ここで２次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ を考えると、右辺は上の不等式の左辺の値となっています。
したがって、２次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ の $y$ の値は上の不等式の左辺の値になります。

そこで、２次関数のグラフを利用して、「 $y$ の値（符号）が負になる」ような「 $x$ の値の範囲」を求めるということです。

　同様にして
$ax^2+ bx+ c\gt 0\hspace{5}(a\gt 0)$
$ax^2+ bx+ c\underline{\le} 0\hspace{5}(a\gt 0)$
$ax^2+ bx+ c\underline{\ge} 0\hspace{5}(a\gt 0)$
も解けます．

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《要約》
$ax^2+ bx+ c=0$ の解が $x=\alpha,\beta\hspace{5}(\alpha\lt\beta)$ のとき

問題が $ax^2+ bx+ c$ $\lt 0$ $\hspace{5}(a\gt 0)$ なら，

答は $\alpha$ $\lt x\lt$ $\beta$
マイナスは「間」

問題が $ax^2+ bx+ c$ $\gt 0$ $\hspace{5}(a\gt 0)$ なら，

答は $x\lt$ $\alpha,\hspace{5}\beta$ $\lt x$
プラスは「両側」

問題が $ax^2+ bx+ c$ $\underline{\le}0$ $\hspace{5}(a\gt 0)$ なら，

答は $\alpha$ $\underline{\le}x\underline{\le}$ $\beta$
マイナスは「間」
等号付き

問題が $ax^2+ bx+ c$ $\underline{\ge}0$ $\hspace{5}(a\gt 0)$ なら，

答は $x\underline{\le}$ $\alpha,\hspace{5}\beta$ $\underline{\le}x$
プラスは「両側」
等号付き

［例１］

２次不等式x2−x−12<0を解け。

（答案）

２次方程式x2−x−12=0を解くと (x+3)(x−4)=0より x=−3, 4	「２次不等式の問題なのに」問われていない「２次方程式」について演説を始めることが重要
２次関数y=x2−x−12のグラフは	「２次不等式の問題なのに」問われていない「２次関数」を描くことが重要グラフを描くためには、上で求めたｘ軸との交点の座標が必要になる･･･この問題を解くためには、頂点の座標などの正確な情報は不要。
グラフから、y<0すなわち２次不等式x2−x−12<0を満たすxの値の範囲は−3<x<4…（答）	ここでようやく「２次不等式」の話に戻る。マイナスになるのは「間（サンドイッチ）」が答

［例２］

２次不等式x2−x−12≧0を解け。

（答案）

２次方程式x2−x−12=0を解くと
x=−3, 4
２次関数y=x2−x−12のグラフは

グラフから、y≧0すなわち
２次不等式x2−x−12≧0を満たすxの値の範囲は
x≦−3 , 4≦x…（答）

　論理的に同じ内容を表していれば、次にように書いてもよい。
x≦−3 , x≧4
　筆者は、小さいものから大きいものへ左から順に並べていく書き方が「分かりやすく」「間違いにくい」と考える。

　例１と同様に、「不等式の問題を解くためには２次関数のグラフが必要、２次関数のグラフを描くためには２次方程式の解が必要」と考える。
　したがって、問われていなくても「２次方程式」→「２次関数」→「２次不等式」の順に述べることが重要。

プラスになるのは「両側」が答

※　問題に等号が付いているから、答にも等号を付ける。

よくある＃とんでもない答案＃
この問題の答を4≦x≦−3と書いてはいけない。
（4が−3よりも小さいということはない。そもそも、4≦xとx≦−3の両方を満たすようなxはなく、この問題の答となるxは２つの部分に分かれている。）
　一般に、「両側」形の範囲は、α≦x≦βの形にはまとめられない。

【問題】グラフを参考にして，２次不等式の解を選びなさい．（右から正しい選択肢をクリック） (1)	2次不等式 x2−4x+3<0 の解は 1<x, 3<x x<1, x<3 1<x<3 x<1, 3<x
(2)	2次不等式 x2+5x+6>0の解は −3<x, −2<x x<−3, x<−2 −3<x<−2 x<−3, −2<x
(3)	2次不等式 x2−4≧0の解は x≧±2 x≦±2 −2≦x≦2 x≦−2, 2≦x
(4)	2次不等式 x2−3x+2≦0の解は