１の虚数３乗根ω

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== １の虚数３乗根ω ==
◇１の虚数３乗根ωとは◇
○　x3=1 の虚数解を１の３乗根といい，ωで表わす．
　　（ x3=1 の解のうち，実数解 x=1 でないものを１の虚数３乗根といい，ωで表わす．）
○　具体的に x3=1 を解くと次のようになる．

x3−1=0 ⇔ (x−1)(x2+x+1)=0

⇔ x=1 ,

虚数解は x=

（注）　これら２つの虚数解のうちどちらをωとするか決まっている訳ではない．すなわち，勝手に

ω=

と決めて問題を解くのはよくない．

ω=

の場合でも成り立つ答案が求められる．

○　以下に示すように，ω4+ω2 の値を求めるなどの問題において，

ω=

と，

ω=

の両方を代入して「力まかせに」「単純計算主義で」解決する方法は薦められない．

　【ポイント】：ω3=1 かつ ω≠1 から，ωが満たす式を作り，これらの変形で処理するというのが定石となっている．すなわち，

【要約】
１の虚数３乗根の１つをωとするとき　　ω3=1 （ ω≠1 ）···(A)
　　ω2+ω+1=0 ···(B) が成り立つ．

　式の数を最小限に減らすと，(B)だけで１の虚数３乗根という定義を満たすことができるが，
　式(A)を見ると，左辺が3次式で右辺が定数（0次式）となっている．この式を使えば一挙に次数を３次下げることができ，この式はいわば「特急券」として重宝できる．　
　　例　ω6=ω3ω3=1
　式(B)は ω2=−ω−1 と見ると，２次式を１次式に次数を下げることができる，いわば「急行券」となっている．
　　例　　ω3=ω2ω=(−ω−1)ω=−ω2−ω
　　　　=−(−ω−1)−ω=1
　無理数や複素数の複雑な値の代入計算によく使う方法（余りに代入する方法）： ω2+ω+1=0 で割った余りに代入する方法をとれば，この単調な繰り返し作業をまとめて行うことができる．*

　　例*　　2ω3+5ω2+5ω+5= (ω2+ω+1) 商(2ω+3)+ 余り2=2

（覚え方）　　ω3=1 ···(特急券)
　　ω2+ω+1=0 ···(急行券) 「特急券」と「急行券」を両方とも使って，次数を下げる．

例題１
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，ω4+ω2+1 の値を求めよ．
（答案）
　原式=ωω3+ω2+1=ω+ω2+1=0
例題２
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，ω100+ω50+1 の値を求めよ．
（答案）
　原式=ω(ω3)33+ω2(ω3)16+1=ω+ω2+1=0

■問題１　…　（ω計算の基本練習）
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，次の式の値を求めよ．

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■問題２　…　（少しむずかしい）
　　

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■問題３　…　（少しむずかしい）
　 $\omega$ を１の３乗根の１つとするとき，次の式の値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\omega^7+ \frac{1}{\omega^7}$

解説やり直す

1 2 $\frac{1}{2}$ −1 −2 $-\frac{1}{2}$

$\omega^7=\omega^6\times \omega=(\omega^3)^2\times\omega=1^2\times\omega=\omega$
だから
$\omega^7+\frac{1}{\omega^7}=\omega+\frac{1}{\omega}$ …(*1)

※次の変形も考えられる
$\omega+\frac{1}{\omega}=\omega+\frac{\omega^2}{\omega^3}$
$=\omega+ \omega^2$
$=-1$

ここで（上の教材で「急行券」と書いてある式）
$\omega^2 +\omega+ 1=0$
の両辺を $\omega$ で割ると
$\omega + 1 + \frac{1}{\omega}=0$
$\omega + \frac{1}{\omega}=-1$ …(*2)
(*2)→(*1)
$\omega^7+\frac{1}{\omega^7}=-1$ …（答）

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(2)
$\omega^8+ \frac{1}{\omega^8}$

解説やり直す

1 2 $\frac{1}{2}$ −1 −2 $-\frac{1}{2}$

$\omega^8=\omega^6\times \omega^2=(\omega^3)^2\times\omega^2=1^2\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\omega^8+\frac{1}{\omega^8}=\omega^2+\frac{1}{\omega^2}$
$=\omega^2+\frac{\omega}{\omega^3}$
$=\omega^2+ \omega$
$=-1$ …（答）

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(3)
nが正の整数のとき $\omega^n+ \frac{1}{\omega^n}$ の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，2
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説やり直す

1 2 $\frac{1}{2}$ −1 −2 $-\frac{1}{2}$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=(\omega^3)^k=1^k=1$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=1+ 1=2$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 1}=(\omega^3)^k\times\omega=1^k\times\omega=\omega$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=\omega+\frac{1}{\omega}=\omega+\frac{\omega^2}{\omega^3}=\omega+ \omega^2=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 2}=(\omega^3)^k\times\omega^2=1^k\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=\omega^2+\frac{1}{\omega^2}=\omega^2+\frac{\omega}{\omega^3}=\omega^2+ \omega=-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

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(4)
$\frac{\omega^{10}}{\omega^{10}+ 1}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

$\omega^{10}=(\omega^3)^3\times \omega=1^3\times\omega=\omega$
だから
$\frac{\omega^{10}}{\omega^{10}+ 1}=\frac{\omega}{\omega+ 1}$
ここで
$\omega^2+\omega+ 1=0$
だから
$\omega+ 1=-\omega^2$
したがって
$\frac{\omega}{\omega+ 1}=\frac{\omega}{-\omega^2}=-\frac{1}{\omega}=-\frac{\omega^2}{\omega^3}=-\omega^2$ …（答）

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(5)
$\frac{\omega^{11}}{\omega^{11}+ 1}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

$\omega^{11}=(\omega^3)^3\times \omega^2=1^3\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\frac{\omega^{11}}{\omega^{11}+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega^2+ 1}$
ここで
$\omega^2+\omega+ 1=0$
だから
$\omega^2+ 1=-\omega$
したがって
$\frac{\omega^2}{\omega^2+ 1}=\frac{\omega^2}{-\omega}=-\omega$ …（答）

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(6)
nが正の整数のとき $\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}$ の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき， $\frac{1}{2}$
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=(\omega^3)^k=1^k=1$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{1}{2}$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 1}=(\omega^3)^k\times\omega=1^k\times\omega=\omega$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{\omega^n}{(\omega^{n})^2+ 1}=\frac{\omega}{\omega^{2}+ 1}=\frac{\omega}{-\omega}=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 2}=(\omega^3)^k\times\omega^2=1^k\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{\omega^n}{(\omega^{n})^2+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega^{4}+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega + 1}=\frac{\omega^2}{-\omega^2}=-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.9.30］

すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか？分数になると分からなくなる、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材にある問題については，質問に答えますが，各自の宿題などについては原則として回答していません．
　そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に答えて，各自の答は各自で考えてもらうことがあります．
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}$ の値を求めたい場合
そのページの用語で［特急券］を使うと，
$\omega^{19}=\omega^{18}\times\omega=(\omega^3)^6\times\omega=1\times\omega=\omega$
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}=\omega+\frac{1}{\omega}$
次に，そのページの用語で［急行券］を使うと
$\omega^{2}+\omega+ 1=0$ より
$\omega+ 1+ \frac{1}{\omega}=0$
$\omega+\frac{1}{\omega}=-1$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.7.28］

問題1ー5のkは何故はずれるんですか？ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「特急券」は使いましたか？ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね．他に何か言う必要ありますか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.12.09］

非常にわかりやすい練習問題があるのは高評価
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.6.14］

最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.3.14］

教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました！要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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