=== 等差数列とその和 ===
【等差数列の定義１】
隣り合う２項の差が一定の定数である数列を等差数列といいます
２項の差は，後ろの項から前の項を引いたものとします
差が等しいから「等差」数列と考えるとよい
等差数列の隣り合う２項の差を公差といいます
【例１】
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です．
（解説）
隣り合う２項の差は
3−1=2
5−3=2
7−5=2
……
とすべて同じ定数2になっています．公差は2です．
【例２】
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です．
（解説）
隣り合う２項の差は
17−20=−3
14−17=−3
11−14=−3
……
とすべて同じ定数−3になっています．公差は−3です．
## ビックリ答案 ##
　隣り合う2項の差が一定の規則で成り立っているだけでは，等差数列とは言えません．
　等差数列と言えるためには，差が一定の「定数」，すなわち「項の番号に依存しない定数」として「どの２項間にも共通の定数」でなければなりません．
　めったにないことですが，
右のような数列を「公差」nの等差数列だ！などと考えてはいけません．
２項間の差が「項の番号nに依存して変化する」ような数列は等差数列とは言いません．
等差数列は，初項（第１項）に公差となる定数を次々に加えていくと得られます．そこで，多くの教科書では，等差数列を次のように定義しています．
【等差数列の定義２】
初項aに定数dを次々に加えて得られる数列を等差数列といい，その定数dを公差という．
【例１’ 】（再掲）
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です．
（解説）
初項1に公差2を次々に加えて得られる数列となっています．
1+2=3
3+2=5
5+2=7
……
【例２’ 】（再掲）
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です．
（解説）
初項20に公差−3を次々に加えて得られる数列となっています．
20+(−3)=17
17+(−3)=14
14+(−3)=11
……

【等差数列の一般項の公式】
初項a，公差dの等差数列の一般項anは
an=a+(n−1)d
（解説）
項がnあるとき，その間はn−1個あります．
a2=a+1d
a3=a+2d
a4=a+3d
このように，初項に公差dを項の番号nよりも１つ少ないn−1回加えると第ｎ項anが得られます．
an=a+(n−1)d
【例１” 】（再掲）
等差数列1, 3, 5, 7,…… の一般項anをｎの式で表してください．
（解説）
初項a=1，公差d=2だから
an=1+2(n−1)=2n−1…（答）
【例２” 】（再掲）
等差数列20, 17, 14, 11,…… の一般項anをｎの式で表してください．
（解説）
初項a=20，公差d=−3だから
an=20+(−3)(n−1)=23−3n…（答）

【問題１】　選択肢の中から正しいものを１つクリック
(1)
初項3，公差4の等差数列の一般項anをｎの式で表してください．
(2)
等差数列anの第3項が12，第7項が24であるとき，この数列の初項aと公差dを求めてください．

(3)
等差数列101, 94, 87,…… で初めて負の数になるのは第何項か．
(4)
　a, b, cをこの順に並べて等差数列をなしている場合，bはaとcの等差中項であるという．
　3と15の等差中項を求めてください．
6 7 8 9

(5)
　数列の各項の逆数が等差数列をなすとき，元の数列は調和数列をなすといいます．
　例えば，数列
…(A)
の逆数から成る数列は
…(B)
となり，(B)は公差1の等差数列です．したがって，(A)は調和数列です．
　次の数列が調和数列をなすとき，xの値を求めてください．
6, x, 12
7 8 9 10
(6)
　等差数列anの第3項が18，第9項が48であるとき，この数列の一般項anを求めてください．

【等差数列の和の公式】
(A) 初項a，末項l，項数nの等差数列の初項から末項までの和Snは

(B) 初項a，公差d，項数nの等差数列の初項から第ｎ項までの和Snは


※どちらも
アン（a, n）は必須
デル（d, l）は１つ選びます．
（解説）
≪逸話：少年ガウスの方法≫
　ガウス（ドイツの大数学者1776～1855）が少年の頃，小学校の先生が
1+2+3+4+5+…100
を計算しなさいと言って，しばらく誰もできないだろうと考えていたら，少年ガウスは直ちに正解を出した．
　彼は，右図のように逆順に足したものと組み合わせると，縦の和がいずれも101になることから
S=(101×100)÷2=5050
と直ちに答えたと言われている．
(A)の公式は，少年ガウスの方法そのものです．
求めたい和Sと，逆順に加えた和Sの２つ用意します．
←----------- 項数はｎ項 ----------→
S=a+(a+d)+(a+2d)+……+(l−d)+l
+ ) S=l+(l−d)+……+(a+2d)+(a+d)+a
2S=(a+l)× n
２で割ると

(B)の公式は，末項lが書かれていなくて，初項a，公差d，項数nが分かっているときに使います．
初項a，公差dの等差数列の第ｎ項（ここでは末項l）は
an=l=a+(n−1)d
だから，このlを上記の(A)に代入すると

【例３】
次の等差数列の和を求めてください．
　100, 101, 102,……, 199, 200
（解説）
初項a=100，末項l=200
項数nは，幅（ロープ）が200−100=100のときの植木の本数だから，101項になることに注意しましょう．
項数n=101だから
…（答）
【例４】
初項50，公差−3，項数10の等差数列の和を求めてください．
（解説）
a=50，d=−3，n=10を

に代入します．

…（答）
【例５】
初項17，公差−3の等差数列において，初項から第何項までの和が最大になるか．
（解説）
第ｎ項までの和をで表すと


これは上に凸（山形）の２次関数になるから，頂点に最も近い整数値ｎで最大となるはずである．
平方完成の変形をして，頂点を求めると



ｙ座標の詳しい分数計算をしなくても，37/6=6.16...の前後にある整数ｎで最大値をとることが分かる．
n=6のとき，
n=7のとき，
ゆえに，第６項までの和が最大になる…（答）
初項は17であるが，公差が−3なので，項の値はだんだん減ってくる．
総和は，正の数を足す限り増えるが，負の数を足せば減るから，
項が正となる範囲だけ足せばよい．


を解くと

ｎは整数だからn≦6
ゆえに，第６項までの和が最大になる…（答）

【例６】
１以上100以下の正の整数のうちで
(1) ２で割り切れる数の和を求めてください．
(2) ３で割り切れる数の和を求めてください．
(3) ２でも３でも割り切れない数の和を求めてください．
（解説）
(1) 2で割り切れる数は，2,4,6,8,...,100で，公差2の等差数列をなす．
an=2+2(n−1)=2nとおくと
1≦2n≦100により
1≦n≦50
項数50であるから，その和は
…（答）
(2) 3で割り切れる数は，3,6,9,...,99で，公差3の等差数列をなす．
bn=3+3(n−1)=3nとおくと
1≦3n≦100により
1≦n≦33
項数33であるから，その和は
…（答）
 (3) ２でも３でも割り切れない数は，1,5,7,9,11,...となっているから等差数列ではない．
しかし，右図において，２でも３でも割り切れる数（6で割り切れる数）は，6,12,18,24,...,96となり，公差6の等差数列をなす．
そこで，Ａ：２で割り切れる数，Ｂ：３で割り切れる数，Ｃ=Ａ∩Ｂ：6で割り切れる数としたときに，求めるものは，
全体の和Ｓ(Ｕ)からＳ(Ａ∪Ｂ)=Ｓ(Ａ)+Ｓ(Ｂ)−Ｓ(Ａ∩Ｂ)を引けば求められる．
6で割り切れる数は，6,12,18,...,96で，公差6の等差数列をなす．
cn=6+6(n−1)=6nとおくと
1≦6n≦100により
1≦n≦16
項数16であるから，その和は

したがって，２または3で割り切れる数の和は

１以上100以下の正の整数の和は
求めるものは
…（答）

【問題２】　選択肢の中から正しいものを１つクリック
(1)
次の等差数列の和を求めてください．
　7, 15, 23, ……, 79, 87
(2)
初項10，公差12，項数14の等差数列の和を求めてください．
(3)
初項−50，公差7の等差数列において，初項から第何項までの和が最小になるか．
(4)
１以上100以下の正の整数のうちで，5でも7でも割り切れない数の和を求めてください．
...メニューに戻る