和の記号Σ

== いろいろな数列の和 ==

【よく使う公式一覧】
(1) 定数項の和
$\sum_{k=1}^n c=nc$ （ｃはｋと無関係な定数）
　　特に
$\sum_{k=1}^n 1=n$
(2) １次式の和
$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+ 1)}{2}$
(3) ２次式の和
$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
(4) ３次式の和
$\sum_{k=1}^n k^3=\{\frac{n(n+ 1)}{2}\}^2$

【解説】
(1)←
$\sum_{k=1}^n c=\overbrace{c+ c+\cdots + c}^{\Large{n}}=nc$
$\sum_{k=1}^n 1=\overbrace{1+ 1+\cdots + 1}^{\Large{n}}=n$ だから，成り立つ

（参考）
なお，積分（和の極限）との対応について
$\int 1 dx=x+ C,\hspace{5}\int 0 dx=C$
$\sum_{k=1}^n 1=n,\hspace{5}\sum_{k=1}^n 0=0$
が成り立つことは，まったく問題ないでしょう．
ところが，
$\int dx$ は $\int 1dx$ の省略記号なので，
$\int dx=x+ C$
が成り立つと，教科書に明示的に書かれているのに対して，今の教科書では
$\sum_{k=1}^n$ が $\sum_{k=1}^n 1dx$ の省略記号とは書かれていない．すなわち，
$\sum_{k=1}^n$ の記号は，大手３社の教科書にはなく，必ず明示的に
$\sum_{k=1}^n 1$
と書かれています．
≪要約≫

$\int dx$ $ \displaystyle \int dx $	$\int 1dx$ $ \displaystyle \int 1dx $の省略記号として使う
$\sum_{k=1}^n$	※おそらく使わない上記の(1)で述べたように $\sum_{k=1}^n 1=n$ $\sum_{k=1}^n 0=0$ のどちらか一方であることを明示する必要がある

【例1-1】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^n 3$

（解答）
$\sum_{k=1}^n 3=3n$ …（答）

【例1-2】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n-1} 2$

（解答）
$\sum_{k=1}^{n-1}2=\overbrace{2+ 2+\cdots + 2}^{\Large{n-1}}=2(n-1)$ …（答）

【例1-3】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{i=1}^{n+ 1} 0$

（解答）
$\sum_{k=1}^{n+ 1}0=\overbrace{0+ 0+\cdots + 0}^{\Large{n+ 1}}=0$ …（答）

【問題１】　次の和を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}$

解説やり直す

$\frac{n}{2}$ $\frac{1}{2n}$ $(\frac{1}{2})^n$ $n+\frac{1}{2}$

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}=\overset{n}{\overbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}}=\frac{n}{2}$ …（答）

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(2)
$\sum_{k=1}^{n+ 1} 2$

解説やり直す

$2n$ $2(n-1)$ $2n+ 1$ $2(n+ 1)$

$\sum_{k=1}^{n+ 1} 2=\overset{n+ 1}{\overbrace{2+ 2+\cdots+ 2}}=2(n+ 1)$ …（答）

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【解説】

(2)←
$\sum_{k=1}^n k=1+ 2+ 3+\cdots + n$
は初項1，公差1，項数ｎの等差数列の和だから，右図のように裏向きのものと組み合わせると，全体の和の２倍のものが，縦n+1個×横n個=n(n+1)個になる．
$2S=n(n+ 1)$
$S=\frac{n(n+ 1)}{2}$
したがって
$\sum_{k=1}^n k=1+ 2+ 3+\cdots + n=\frac{n(n+ 1)}{2}$

【例2-1】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^n(2k-1)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，次の公式を使って「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．

【公式】
$\sum (a_k\pm b_k)=\sum a_k\pm\sum b_k$

$\sum_{k=1}^n (2k-1)=\sum_{k=1}^n 2k-\sum_{k=1}^n 1$
$=2\sum_{k=1}^n k-\sum_{k=1}^n 1=2\times\frac{n(n+ 1)}{2}-n$
$=n(n+ 1)-n=n^2$ …（答）
※例外的に「階段状の関数」になっているものなど，うまい公式があるものについては後で述べます．

【例2-2】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n-1}(2k+ 1)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，次の公式を使って「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．

【公式】
$\sum (a_k\pm b_k)=\sum a_k\pm\sum b_k$

$\sum_{k=1}^{n-1}(2k+ 1)=\sum_{k=1}^{n-1}2k+ \sum_{k=1}^{n-1}1$
$=2\sum_{k=1}^{n-1}k+ \sum_{k=1}^{n-1}1$

※ここで，「そんな公式は習っていない＃」と言い張る生徒がいて，困ったことがあります．
$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+ 1)}{2}$
が公式なら，次のようなことは「自動的に」言えます．（当然です！）
$\sum_{k=1}^{n-1} k=\frac{(n-1)n}{2}$ ←公式のnの代わりにn-1を代入
$\sum_{k=1}^{n+ 1} k=\frac{(n+ 1)(n+ 2)}{2}$ ←公式のnの代わりにn+1を代入

したがって，
（原式） $=2\times\frac{(n-1)n}{2}+ (n-1)$
$=(n-1)n+ (n-1)=(n-1)(n+ 1)$

【問題２】　次の和を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
※問題２以後の問題は暗算では無理です．計算用紙で計算してから答えてください．

(1)
$\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)$

解説やり直す

$(n-2)^2$ $(n-1)^2$ $n^2-1$ $n^2$

$\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=2\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}1$
$ =2\times\dfrac{(n-1)n}{2}-(n-1)=(n-1)^2$ …（答）

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(2)
$\sum_{k=1}^{10}(2k+ 1)$

解説やり直す

110 111 115 120

$\sum_{k=1}^{10}(2k+ 1)=2\sum_{k=1}^{10}k+\sum_{k=1}^{10}1$
$=2\times\frac{10\times 11}{2}+ 10=110+ 10=120$ …（答）

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【解説】
(3)←
$S_2=\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$ の証明
ア）一般に，ｎ＋１次式の隣り合う２項の差が，ｎ次式になることを利用して，ｎ次式の和を求めることができます．
$\sum_{k=1}^n\Bigl(k^3-(k-1)^3\Bigr)$
を作ってみると．
$1^3-0^3$
$2^3-1^3$
$3^3-2^3$
………
$\underline{+\hspace{5}\Bigr)\hspace{5}n^3-(n-1)^3}$
すなわち
$\sum_{k=1}^n\Bigl(k^3-(k-1)^3\Bigr)=n^3-0^3=n^3$
他方
$\sum_{k=1}^n\Bigl(k^3-(k-1)^3\Bigr)=\sum_{k=1}^n(3k^2-3k+ 1)$
$=3\sum_{k=1}^n k^2-3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1$
$=3S_2-3\frac{n(n+ 1)}{2} + n$
したがって
$n^3=3S_2-3\frac{n(n+ 1)}{2} + n$
この式を変形すると
$S_2=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$

【例3-1】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^n k(k-2)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．
$\sum_{k=1}^n k(k-2)=\sum_{k=1}^n k^2-\sum_{k=1}^n 2k$
$=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}-2\frac{n(n+ 1)}{2}$
$=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}-n(n+ 1)$
$=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)-6n(n+ 1)}{6}$
$=\frac{n(n+ 1)(2n-5)}{6}$

【例3-2】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n}k(n-k)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．
$\sum_{k=1}^{n}k(n-k)=\sum_{k=1}^{n} nk-\sum_{k=1}^{n} k^2$
kを内部変数とするΣ記号の内部では，ｎは単なる定数として扱います．（外に出た結果では変数です）
$=n\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n} k^2$
$=n\times\frac{n(n+ 1)}{2}-\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
$=\frac{n(n+ 1)\{3n-(2n+ 1)\}}{6}$
$=\frac{n(n+ 1)(n-1)}{6}$

【問題３】　次の和を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2$

解説やり直す

$\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$ $\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\frac{(n-1)n(2n+ 5)}{6}$ $\frac{n(n+ 1)(2n-5)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2=\sum_{k=1}^{n}k^2-2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$
$=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}-2\times\frac{n(n+ 1)}{2}+ n$
$=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}-n(n+ 1)+ n$
$=\frac{n\{(n+ 1)(2n+ 1)-6(n+ 1)+ 6\}}{6}$
$=\frac{n(2n^2+ 3n+ 1-6n-6+ 6)}{6}$
$=\frac{n(2n^2-3n+ 1)}{6}=\frac{n(2n-1)(n-1)}{6}$ …（答）
（別解）
$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2=0^2+ 1^2+\cdots+ (n-1)^2$
$=1^2+ 2^2+\cdots+ (n-1)^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ …（答）

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(2)
$\sum_{k=1}^{n-1}k(k+ 3)$

解説やり直す

$\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ $\frac{(n-1)n(n+ 4)}{3}$

$\frac{(n-1)n(n+ 5)}{3}$ $\frac{n(n+ 1)(2n+ 11)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1}k(k+ 3)=\sum_{k=1}^{n-1}k^2+ 3\sum_{k=1}^{n-1}k$
$=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+ 3\frac{(n-1)n}{2}$
$=\frac{(n-1)n(2n-1+ 9)}{6}=\frac{(n-1)n(2n+ 8)}{6}$
$=\frac{(n-1)n(n+ 4)}{3}$ …（答）

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(3)
$\sum_{k=1}^{n}k(n+ 1-k)$

解説やり直す

$\frac{n(n+ 1)(n+ 2)}{3}$ $\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{3}$

$\frac{n(n+ 1)(n+ 2)}{6}$ $\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}k(n+ 1-k)=(n+ 1)\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2$
$=(n+ 1)\times\frac{n(n+ 1)}{2}-\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
$=\frac{n(n+ 1)}{6}\{3(n+ 1)-(2n+ 1)\}$
$=\frac{n(n+ 1)}{6}\{n+ 2\}=\frac{n(n+ 1)(n+ 2)}{6}$ …（答）
>

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【解説】
(4)←
$S_3=\sum_{k=1}^n k^3=\{\frac{n(n+ 1)}{2}\}^2$ の証明
ア）　 $k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+ 4k-1$ を利用して，
$\sum_{k=1}^n(k^4-(k-1)^4)=n^4$
$\sum_{k=1}^n(4k^3-6k^2+ 4k-1)=4S_3-6S_2+ 4S_1-n$
が等しいことから， $S_3$ を求めることができます．ただし，
$S_1=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+ 1)}{2}$
$S_2=\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
です．
イ）　和を求めやすい階乗型関数を利用する方法は，このページに示しています．
ウ）　数学的帰納法を使えば，次のように証明できます．
（Ⅰ）n=1のとき
$1^3=1$
$\{\frac{1(1+ 1)}{2}\}^2=1$
だから
$\sum_{k=1}^n k^3=\{\frac{n(n+ 1)}{2}\}^2$
は成立する．
（Ⅱ）n=m（mは1以上の整数）のとき
$\sum_{k=1}^m k^3=\{\frac{m(m+ 1)}{2}\}^2$
が成立すると仮定すると，
両辺に $(m+ 1)^3$ を足すと
（左辺） $=\sum_{k=1}^{m} k^3+ (m+ 1)^3=\sum_{k=1}^{m+ 1} k^3$
（右辺） $=\{\frac{m(m+ 1)}{2}\}^2+ (m+ 1)^3$
$=\frac{(m+ 1)^2(m^2+ 4(m+ 1))}{4}=\frac{(m+ 1)^2(m+ 2)^2}{4}$
$=\{\frac{(m+ 1)(m+ 2)}{2}\}^2$
よって，n=m+1のときも成立する．
（Ⅰ）（Ⅱ）より，すべての自然数nについて成立する．

【例4-1】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^n (k^3+ 2k)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．
$\sum_{k=1}^n (k^3+ 2k)=\sum_{k=1}^n k^3+ 2\sum_{k=1}^n k$
$=\{\frac{n(n+ 1)}{2}\}^2+ 2\times\frac{n(n+ 1)}{2}$
$=\frac{n(n+ 1)}{2}\{\frac{n(n+ 1)}{2}+ 2\}$
$=\frac{n(n+ 1)}{2}\{\frac{n(n+ 1)+ 4}{2}\}$
$=\frac{n(n+ 1)}{2}\{\frac{n^2+ n + 4}{2}\}$
$=\frac{n(n+ 1)(n^2+ n + 4)}{4}$

【例4-2】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n}k(n-k^2)$

（解答）
多項式の形をした数列の和は，「展開して，既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です．
$\sum_{k=1}^{n}k(n-k)=\sum_{k=1}^{n} nk-\sum_{k=1}^{n} k^3$
kを内部変数とするΣ記号の内部では，ｎは単なる定数として扱います．（外に出た結果では変数です）
$=n\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n} k^3$
$=n\times\frac{n(n+ 1)}{2}-\frac{n^2(n+ 1)^2}{4}$
$=\frac{n^2(n+ 1)}{4}\{2-(n+ 1)\}$
$=\frac{n^2(n+ 1)(1-n)}{4}$
$=-\frac{n^2(n+ 1)(n-1)}{4}$

【問題４】　次の和を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\sum_{k=1}^{n}k^2(k+ 1)$

解説やり直す

$\frac{(n-1)n(n+ 1)(3n+ 1)}{12}$ $\frac{(n-1)n(n+ 1)(3n+ 2)}{12}$

$\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(3n+ 1)}{12}$ $\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(3n+ 2)}{12}$

$\sum_{k=1}^{n}k^3+\sum_{k=1}^{n}k^2$
$=\frac{n^2(n+ 1)^2}{4}+\frac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6}$
$=\frac{n(n+ 1)}{12}\{3n(n+ 1)+ 2(2n+ 1)\}$
$=\frac{n(n+ 1)}{12}\{3n^2+ 7n+ 2\}$
$=\frac{n(n+ 1)}{12}(n+ 2)(3n+ 1)$ …（答）

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(2)
$\sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)(k+ 2)$

解説やり直す

$\frac{(n-1)n(n+ 1)(n+ 2)}{4}$ $\frac{(n-2)(n-1)(n+ 1)(n+ 2)}{4}$

$\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)}{4}$ $\frac{(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)}{4}$

展開してもできますが，階乗型関数については，１次高い式の差で表して簡単に求める方法があります．
$\underline{k(k+ 1)(k+ 2)}(k+ 3)-(k-1)\underline{k(k+ 1)(k+ 2)}$
$=\underline{k(k+ 1)(k+ 2)}\{(k+ 3)-(k-1)\}$
$=4\underline{k(k+ 1)(k+ 2)}$
だから
$k(k+ 1)(k+ 2)$
$=\frac{1}{4}\{k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)-(k-1)k(k+ 1)(k+ 2)\}$
k=1を代入 $1\cdot 2\cdot 3=\frac{1}{4}\{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4-0\cdot 1\cdot 2\cdot 3\}$
k=2を代入 $2\cdot 3\cdot 4=\frac{1}{4}\{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5-1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\}$
………
k=nを代入
$n\cdot (n+ 1)\cdot (n+ 2)=\frac{1}{4}\{n\cdot (n+ 1)\cdot (n+ 2)\cdot (n+ 3)$
$-(n-1)\cdot n\cdot (n+ 1)\cdot (n+ 2)\}$
辺々加えると
$\sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)(k+ 2)=\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)}{4}$ …(答)

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【結果でなくやり方を覚えておく方がよいもの】
(5)　等比数列の和
$\sum_{k=1}^n a\times r^{k-1},\hspace{5}\sum_{k=1}^{n-1} r^{k}$ など
(6)　 (等差)×(等比)形の数列の和
$\sum_{k=1}^n (2k-1)2^{k}$ など
(7)　 f(n)−f(n−1)形の数列の和：階乗型関数を含む
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+ 1)}$ など

【解説】
(5)←
$\sum_{k=1}^n a\times r^{k-1},\hspace{5}\sum_{k=1}^{n-1} r^{k}$ など
Σ記号から等比数列の和を求めるには， $\sum k,\hspace{5}\sum k^2,\hspace{5}\sum k^3$ のときのように機械的に当てはめるだけでは無理で，

初項a，公比r，項数nの３要素に分けて読み取り，「等比数列の和の公式」

…(*)

に代入するようにします.

【例5-1】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+ 1}$

（解答）
初項を求めるには，k=1を代入します．
$2^2=4$
公比を求めるには， $k=1,\hspace{3}2,\hspace{3}3,\hspace{3}\cdots$ を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$2^2,\hspace{3}2^3,\hspace{3}2^4,\hspace{3}\cdots$
から，公比は2であることが分かります．
項数を求めるには，k=1からn−1まで何項あるか調べます．
n−1
以上により，求める等比数列の和は
$\frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1}=4(2^{n-1}-1)$

【例5-2】　次の式を簡単にしてください．
$\sum_{k=1}^{n} 2^{1-k}$

（解答）
初項を求めるには，k=1を代入します．
$2^{1-1}=1$
公比を求めるには， $k=1,\hspace{3}2,\hspace{3}3,\hspace{3}\cdots$ を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$2^{1-1}=1,\hspace{3}2^{1-2}=\frac{1}{2},\hspace{3}2^{1-3}=\frac{1}{4},\hspace{3}\cdots$
から，公比は1/2であることが分かります．
項数を求めるには，k=1からnまで何項あるか調べます．
n
以上により，求める等比数列の和は
$\frac{(\frac{1}{2})^{n}-1}{\frac{1}{2}-1}=2(1-\frac{1}{2^n})$

【問題５】　次の和を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\sum_{k=1}^{n}3^k$

解説やり直す

$\frac{3^{n-1}-1}{2}$ $\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$

$\frac{3^{n}-1}{2}$ $\frac{3^{n+ 1}-3}{2}$

初項を求めるには，k=1を代入します．
$3^{1}=3$
公比を求めるには，k=1, 2, 3, … を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$3^{1}=3,\hspace{3}3^{2}=9,\hspace{3}3^{3}=27,\hspace{3}\cdots$
から，公比は3であることが分かります．
項数を求めるには，k=1からnまで何項あるか調べます．
n
以上により，求める等比数列の和は
$\frac{3(3^{n}-1)}{3-1}=\frac{3^{n+ 1}-3}{2}$ …（答）

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(2)
$\sum_{k=0}^{n-1}2^{k+ 1}$

解説やり直す

$2^{n-1}-1$ $2^{n}-1$ $2^{n}-2$ $2^{n+ 1}-2$

初項を求めるには，k=0を代入します．
$2^{1}=2$
公比を求めるには，k=0, 1, 2, 3, ···を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$2^{1}=2,\hspace{3}2^{2}=4,\hspace{3}2^{3}=8,\hspace{3}\cdots$
から，公比は2であることが分かります．
項数を求めるには，k=0からn−1まで何項あるか調べます．（1からn−1でn−1だから0からn−1でn）
n
以上により，求める等比数列の和は
$\frac{2(2^{n}-1)}{2-1}=2^{n+ 1}-2$ …（答）

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【解説】
(6)←
$\sum_{k=1}^n (2k-1)2^{k}$ など
このページを読んでください．
(7)←
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+ 1)}$ など
このページを読んでください．

【例6-1】　x≠1のとき，次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}$

（解答）
$S=1+ 2x+ 3x^2+\cdots + nx^{n-1}$
とおくと
$xS=\hspace{16}x+ 2x^2+ 3x^3+\cdots + nx^{n}$
だから
$S-xS$ を，（等比数列の和）から求めることができる．
$S-xS=(1+ x+ x^2+ \cdots+ x^{n-1})-nx^n$
$(1-x)S=\frac{1(x^{n}-1)}{x-1}-nx^n$
$=\frac{x^{n}-1-nx^{n+ 1}+ nx^n}{x-1}$
$=\frac{-nx^{n+ 1}+ (n+ 1)x^n-1}{x-1}$
$S=\frac{nx^{n+ 1}-(n+ 1)x^n+ 1}{(x-1)^2}$
※この証明は，母関数を $f(x)=x+ x^2+ x^3+ \cdots + x^n=\frac{x(x^n-1)}{x-1}=\frac{x^{n+ 1}-x}{x-1}$
として，両辺を微分しても得られる．

【例6-2】　次の和を求めてください．
$S=\sum_{k=1}^{n} (2k-1)x^{k-1}$

（解答）
ア）x=1のとき
$S=1+ 3+ 5+\cdots+ (2n-1)$
は，初項が1，公差が2，項数がnの等差数列の和だから
$S=\frac{n(2\times 1+ (n-1)\times 2)}{2}=n^2$
イ）x≠1のとき
$S=1+ 3x+ 5x^2+\cdots + (2n-1)x^{n-1}$
のとき
$xS=\hspace{20}x+ 3x^2+ 5x^3+\cdots + (2n-1)x^{n}$
だから
$S-xS$ を，（等比数列の和）から求めることができる．
$S-xS=1+ 2(x+ x^2+ \cdots+ x^{n-1})-(2n-1)x^n$
$(1-x)S=1+ 2\frac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}-(2n-1)x^n$
$=\frac{x-1+ 2x^{n}-2x-(2n-1)x^{n+ 1}+ (2n-1)x^n}{x-1}$
$=\frac{-(2n-1)x^{n+ 1}+ (2n+ 1)x^n+ x+ 1}{x-1}$
$S=\frac{(2n-1)x^{n+ 1}-(2n+ 1)x^n + x+ 1}{(x-1)^2}$
※この証明は，【例6-1】の結果を使ってもできます．
$S=\sum_{k=1}^{n} (2k-1)x^{k-1}=2\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}$
$=2\times\frac{nx^{n+ 1}-(n+ 1)x^n+ 1}{(x-1)^2}-\frac{x^n-1}{x-1}$
を通分すればできます．

【例7-1】　次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)}$

（解答）
$\frac{1}{k(k+ 1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+ 1}$
だから
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)}=\sum_{k=1}^{n}\{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+ 1}\}$
$=\hspace{10}\{\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\}$
$+\{\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\}$
$+\{\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\}$
$+\{\cdots\hspace{3}\cdots}\}$
$+\{\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+ 1}\}$
のように中間項が消えるから
$=1-\frac{1}{n+ 1}=\frac{n}{n+ 1}$

※この問題は「部分分数分解による解法」の入門的なものですが，単に「部分分数分解」だなと紋切型に暗記していると落とし穴があります．
正確には，元の分数
$\frac{1}{k(k+ 1)}$
の分母がｋの２次式だから，元の分数はｋの－２次式．
そこで，積分計算のときに，原始関数として次数が１次高い関数を持ってくるときを思い浮かべながら，「ｋの－２次式」の次数が１次高い式を考えると「ｋの－１次式」となり
$\frac{1}{k}$
この式で隣の項
$\frac{1}{k+ 1}$
との差で表すということです．
そこで
$\frac{1}{k(k+ 1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+ 1}$
とすると，上記のように中間項が消えるから，簡単になるのです．

※この注意書きは，次のような分母が３項の積になっている場合や，分数ではなく多項式の積になっている場合にズバリ当てはまります．
$\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}$ $\rightarrow\{\frac{A}{k}-\frac{B}{k+ 1}-\frac{C}{k+ 2}\}$
とするのではなく
$\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}$ $\rightarrow\{\frac{A}{k(k+ 1)}-\frac{B}{(k+ 1)(k+ 2)}\}$
とする．

$k(k+ 1)$ は分数ではないから部分分数分解という用語には当てはまらないが
$k(k+ 1)$
$\rightarrow\frac{1}{A}\{(k+ 3)(k+ 2)(k+ 1)-(k+ 2)(k+ 1)k}\}$
とできる．（後の解説参照）

【例7-2】　次の和を求めてください．
$S=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+ 1)}$

（解答）

分母がｋの２次式，分数全体はｋの－２次式だから，ｋの－１次式の差で表す．

$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+ 1}$ のままでは $\frac{1}{(2k-1)(2k+ 1)}$ と合わないから，定数倍する．
$\frac{1}{(2k-1)(2k+ 1)}=\frac{A}{2k-1}-\frac{B}{2k+ 1}$ とおいて定数A,Bを求める．（通分して係数を比較する）
$A=B=\frac{1}{2}$
となるから
$\frac{1}{(2k-1)(2k+ 1)}=\frac{1}{2}\{\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+ 1}\}$
$S=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+ 1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\{\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+ 1}\}$
$=\frac{1}{2}\{\hspace{16}(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{3}})$
$+(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}})$
$+(\cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{7}})$

$\cdots\hspace{5}\cdots$

$+(\cancel{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+ 1})\}$
$=\frac{1}{2}\{1-\frac{1}{2n+ 1})\}=\frac{n}{2n+ 1}$

【例7-3】　次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}$

（解答）

分母がｋの３次式，分数全体はｋの－３次式だから，ｋの－２次式の差で表す．
必ず２つの分数の差にすること．３つの分数に分けてしまったら，プラス軍団とマイナス軍団のどちらかが多くなるから，中間項が消えないことに注意

$\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}=\frac{A}{k(k+ 1)}-\frac{B}{(k+ 1)(k+ 2)}$ とおいて定数A,Bを求める．（通分して係数を比較する）
$A=B=\frac{1}{2}$
となるから
$\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}=\frac{1}{2}\{\frac{1}{k(k+ 1)}-\frac{1}{(k+ 1)(k+ 2)}\}$

※慣れないうちは，例１，例２のように縦書きにすると，安全確実に中間項を消せるが，受験参考書などでは次のようにスマートに仕上げることが多い．そもそも何を計算しているのかが分かってきたら，真似するのもよい．

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)(k+ 2)}$
$=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\{\frac{1}{k(k+ 1)}-\frac{1}{(k+ 1)(k+ 2)}\}$
$=\frac{1}{2}\{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+ 1)(k+ 2)}\}$
$=\frac{1}{2}\{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+ 1)}-\sum_{k=2}^{n+ 1}\frac{1}{k(k+ 1)}\}$
$=\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+ 1)(n+ 2)}\}=\frac{n(n+ 3)}{4(n+ 1)(n+ 2)}$

【例7-4】　次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n} k(k+ 1)$

（解答）

部分分数分解という紋切型の暗記だけでは，この問題の解き方が上記と同じだということに気付かないが，実は同じ．
ｋの２次式だから，ｋの３次式の差で表す．

$\underline{k(k+ 1)}(k+ 2)-(k-1)\underline{k(k+ 1)}$
$=\{(k+ 2)-(k-1)\}\underline{k(k+ 1)}=3\underline{k(k+ 1)}$
だから
$k(k+ 1)=\frac{1}{3}\{k(k+ 1)}(k+ 2)-(k-1)k(k+ 1)\}$
$\sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)$
$=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\{k(k+ 1)(k+ 2)-(k-1)k(k+ 1)\}$
$=\frac{1}{3}\{\sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)(k+ 2)-\sum_{k=0}^{n-1}k(k+ 1)(k+ 2)\}$
$=\frac{1}{3}\{n(n+ 1)(n+ 2)-0\cdot 1\cdot 2\}=\frac{n(n+ 1)(n+ 2)}{3}$
※分かりにくいときは，ていねいに縦書きにすると，消えるべき中間項が見えます．
※一般に階乗型関数の和は，１次次数の高い階乗型関数になる．

【例7-5】　次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)(k+ 2)$

（解答）

ｋの３次式だから，ｋの４次式の差で表す．

解答のみ示す：
$\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)}{4}$

【例7-6】　次の和を求めてください．
$\sum_{k=1}^{n} k(k+ 1)(2k+ 1)$

（解答）
$k(k+ 1)(2k+ 1)=k(k+ 1)\{(k-1)+ (k+ 2)\}$
だから
$\sum_{k=1}^{n} k(k+ 1)(2k+ 1)$
$=\sum_{k=1}^{n}(k-1)k(k+ 1)+ \sum_{k=1}^{n}k(k+ 1)(k+ 2)$
$=\frac{(n-1)n(n+ 1)(n+ 2)}{4}+\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)}{4}$
$=\frac{n(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 2)}{4}=\frac{n(n+ 1)^2(n+ 2)}{2}$

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