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== 整数問題(センター試験:2015〜) ==

【2015年度センター試験.数学T・数学A】第5問 [選択問題]
 以下では,a=756とし,mは自然数とする。
(1) aを素因数分解すると
a=2·3·
である。
 aの約数の個数はエオ個である。
(2) が自然数となる最小の自然数mカキである。が自然数となるとき,mはある自然数kにより,m=カキk2と表される数であり,そのときのの値はクケコkである。
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(3) 次に,自然数kによりクケコkと表される数で,11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式
クケコk−11ℓ=1
を解くと,k>0となる整数解(k, ℓ)のうちkが最小のものは,k=, ℓ=シスセである。
(4) が11で割ると1余る自然数となるとき,そのような自然数mのなかで最小のものはソタチツである。
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【2016年度センター試験.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) 不定方程式
92x+197y=1
を満たす整数x, yの組の中で,xの絶対値が最小のものは
x=アイy=ウエ
である。不定方程式
92x+197y=10
を満たす整数x, yの組の中で,xの絶対値が最小のものは
x=オカキy=クケ
である。
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【2017年度センター試験.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) 百の位の数が3,十の位の数が7,一の位の数がaである3桁の自然数を37aと表記する。
 37aが4で割り切れるのは
a=
のときである。ただし,の解答の順序は問わない。
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(2) 千の位の数が7,百の位の数がb,十の位の数が5,一の位の数がcである4桁の自然数を7b5cと表記する。
 7b5cが4でも9でも割り切れるb, cの組は,全部で個ある。これらのうち,7b5cの値が最小になるのはb=c=のときで,7b5cの値が最大になるのはb=c=のときである。
 また,7b5c=(6×n)2となるb, cと自然数n
b=c=n=コサ
である。
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【2018年度センター試験.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) 144を素因数分解すると
144=2×
であり,144の正の約数の個数はエオ個である。
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(2) 不定方程式
144x−7y=1
の整数解x, yの中で,xの絶対値が最小になるのは
x=y=キク
であり,すべての整数解は,kを整数として
x=k+y=コサシk+キク
と表される。
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(3) 144の倍数で,7で割ったら余りが1となる自然数のうち,正の約数の個数が18個である最小のものは144×であり,正の約数の個数が30個である最小のものは144×セソである。
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【2019年度センター試験.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) 不定方程式
49x−23y=1
の解となる自然数x, yの中で,xの値が最小のものは
x=y=イウ
であり,すべての整数解は,kを整数として
x=エオk+y=カキk+イウ
と表せる。
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(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A, B)を考える。ABの差の絶対値が1となる組(A, B)の中で,Aが最小になるのは
(A, B)=(49×23×ケコ)
である。また,ABの差の絶対値が2となる組(A, B)の中で,Aが最小になるのは
(A, B)=(49×23×シス)
である。
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(3) 連続する三つの自然数a, a+1, a+2を考える。
aa+1の最大公約数は1
a+1a+2の最大公約数は1
aa+2の最大公約数は1または
である。
 また,次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち,最大のものはm=である。
条件:a(a+1)(a+2)mの倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
6762=2××7×ツテ
である。
 bb(b+1)(b+2)6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき,b, b+1, b+2のいずれかは7の倍数であり,また,b, b+1, b+2のいずれかはツテの倍数である。したがって,b=トナニである。
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【2020年度センター試験.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) xを循環小数2.36とする。すなわち
2.363636 ···
とする。このとき
100x−x=236.36−2.36
であるから,xを分数で表すと
x=
アイ
ウエ

である。
(2) 有理数yは,7進法で表すと,二つの数字の並びabが繰り返し現れる循環小数2.ab(7)になるとする。ただし,a, bは0以上6以下の異なる整数である。このとき
49y−y=2ab.ab(7)−2.ab(7)
であるから
y=
オカ+7×a+b
キク

と表せる。
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(i) yが,分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは
y=
4
またはy=
コサ
4

のときである。y=
コサ
4
のときは,7×a+b=シス

であるから
a=b=
である。
(ii) y−2は,分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このようなyの個数は,全部で個である。
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【2022年度共通テスト.数学T・数学A】第4問 [選択問題]
(1) 54=62524で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると,不定方程式
54x−24y=1 ・・・@
の整数解のうち,xが正の整数で最小になるのは
x=y=イウ
であることがわかる。
 また,@の整数解のうち,xが2桁の正の整数で最小になるのは
x=エオy=カキク
である。
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(2) 次に,625255で割ったときの余りと,25で割ったときの余りについて考えてみよう。
 まず,
6252=5
であり,また,m=イウとすると
6252=2m2+2m+1
である。これらより,625255で割ったときの余りと,25で割ったときの余りがわかる。
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