■　回答集計と各ページの分析
***　【回答集計と分析・高校】　***
数I/ 数A/ 数II/ 数B/ 数III/ 数C/
［測定条件と信頼性］
■中学２年■　== 式の計算2 ==
■ページ名 「文字と式【かっこの特訓】」
../math3/moji3001.htm
■主な内容 　文字式でかっこをはずすことに絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．指示文書３行「最初の問題に着手するまでの時間」は12秒．多対多対応の選択場面（カード合わせ）ということを理解するのにやや時間がかかったかもしれない．
■この集計の作成年月日：2009.09.24　■集計期間2009.06.02〜2009.09.19　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：30件/1085件=2.8%
グラフ1

グラフ2

グラフ3
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中2が57%，中1が13%，卒業生が20%
１題当たりの所要時間は30秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
　ヘルプは第4問でわずかに利用されたのみ．
表1は問題の形と誤答率の一覧で，これらから問題の形と誤答率の相関を求めたものが表2である．
　これによれば，かっこ内のマイナスの個数や展開したときに負×負となる項の個数と誤答との結びつきが強い．
学習開始時において平均正答率は70%台で，この頁の問題は回答者にとって「やさしい」部類に入る．
この頁の学習により，正答率は77.8%から93.3%へ変化し，ここで扱った項目に関して15.6%の成績アップが見込まれる．
表1
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問
かっこ外の
マイナス個数		 1 0 1 1 1 2
かっこ内の
マイナス個数		 1 1 2 2 2 1
負×負となる
項数		 0 0 1 1 1 1
誤答率 20% 7% 30% 23% 33% 20%
表2
　 かっこ外の
マイナス個数		 かっこ内の
マイナス個数		 負×負となる
項数
誤答率 0.451 0.781 0.736

■ページ名 「文字と式【かっこの特訓2】」
../math3/moji3002.htm
■主な内容 　文字式でかっこをはずすことに絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．指示文書5行「最初の問題に着手するまでの時間」は56.4秒．多対多対応の選択場面（カード合わせ）ということを理解するのにやや時間がかかったかもしれない．
■この集計の作成年月日：2009.08.30　■集計期間2009.05.14〜2009.08.11　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：13件/??件=??%
グラフ1

グラフ2
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中2が77%，中1が23%
１題当たりの所要時間は41秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
　グラフ4はヘルプ率．
問題の形はよく似ており，どの問題も正答率はほぼ60%である．
この頁全体の合計点と相関係数が近く(0.81)，正答率が近く(全体66%に対して69%)，１題当たり所要時間が近い(全体41秒に対して39秒)のは第2問で，1題だけ行うときは第2問を行うとよい．
学習開始時において平均正答率は60%台で，この頁の問題は回答者にとって「やさしい」部類に入る．
この頁の学習により，正答率は66.2%から96.9%へ変化し，ここで扱った項目に関して30.8%の成績アップが見込まれる．
グラフ3

グラフ4

■ページ名 「文字と式【かっこの特訓3】」
../math3/moji3005.htm
■主な内容 　文字式で２次式のかっこをはずすことに絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．指示文書5行「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ0秒．
■この集計の作成年月日：2009.11.27　■集計期間2009.05.07〜2009.11.25　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：12件/??件=??%
グラフ1

グラフ2

グラフ3

グラフ4
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中1が5%，中2が42%，卒業生が25%
１題当たりの所要時間は59.5秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
識別力
　グラフ4は回答者全体をその合計得点によって高（H）〜低（L）の5群に等分したときの群別平均得点のグラフで，問題が非常にやさしいため下位群のみ識別可能であるが中位群，上位群は識別できない．
　グラフ5は回答者全体をその合計得点によって上位群，中位群，下位群の３群に等分したときの群別・問題別正答率で，問題がやさしいためどの問題も中位群と上位群は一致している．第1問，第4問を除けばUL指数（上位群と下位群の正答率の差）はなく，学力差は区別できない．
⇒　これらは問題の質によるものではなく，「選択肢が単純過ぎる」ために起こると考えられる．
信頼性
　正答率が高過ぎるため，I-T相関またはI-R相関はエラーとなり計算できない．
学習開始時において平均正答率は90%台で，ほとんどの回答者はこの頁の問題ができる．
この頁の学習により，正答率は91.7%から100%へ変化し，ここで扱った項目に関して8.3%の成績アップが見込まれる．

グラフ5

■ページ名 「文字と式･･文字式/約分」
../math2/fractio4.htm
■主な内容 　分数の文字式の約分に絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説4行「最初の問題に着手するまでの時間」は21秒で，この解説はチラリと見た程度．
■この集計の作成年月日：2009.10.22　■集計期間2009.05.30〜2009.10.19　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：43件/3253件=1.3%
グラフ1


グラフ2

グラフ3
■小問数
10題

■ヒント
なし

■入力方式
マウス選択


■問題の見え方
１題ずつ順に表示		 回答者の内訳は，中1が7%，中2が19%，卒業生が44%
１題当たりの所要時間は15秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
誤答の要因について
　この頁の各問題について「分子の次数」「分子の項数」「約分の可否」など式の変形に関する幾つかの要因と誤答率には相関が見られない．（原因は以下の記述で分かる）
各問題の整合性・識別力について
　グラフ4は合計得点によって回答者を上位群，下位群（各27%），中位群（残り）に分けたときの問題別正答率である．
　これによれば，第1問を除いて格差が歴然としており，特に下位群の落ち込みが激しい．
　また，表1は各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関係数）で，第1問を除けば識別力が非常に高い．

○　これらの原因は，元の正誤データを見ると直ちに分かる．すなわち，下位群は第5問以降回答していないのである．
【傾向】
　回答した者は「ほとんどが正答」となった．
　途中放棄した者は下位群になった．
学習開始時において平均正答率は60%台で，多くの回答者はこの頁の内容を「処理できる」．
この頁の学習により，正答率は69.8%から80.2%へ変化し，ここで扱った項目に関して10.5%の成績アップが見込まれる．
グラフ4

表1
I-R
相関		 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問 第9問 第10問
0.21 0.57 0.76 0.43 0.75 0.75 0.71 0.66 0.79 0.67

■ページ名 「文字と式【分数の特訓】」
../math3/moji3003.htm
■主な内容 　分数係数の文字式を簡単にする特訓
■要約・解説 解説なし．「最初の問題に着手するまでの時間」は53秒．
■この集計の作成年月日：2009.10.23　■集計期間2009.05.08〜2009.10.19　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：18件/2060件=0.9%
グラフ1

グラフ2

グラフ3
■小問数
5題

■ヒント
5題

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中1が11%，中2が39%，中3が0%，卒業生が33%
１題当たりの所要時間は40秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
表1は各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関係数）で，第4問に異常が見られる．
　また，グラフ4は合計得点によって回答者を上位群，下位群（各27%），中位群（残り）に分けたときの問題別正答率である．
　これを見ると第2問の上位群と中位群，第4問の中位群と下位群に逆転が見られる．
　以上２つの整合性・識別力検査から，この頁の問題は「計算量が多いのに対して選択肢の数が少な過ぎるため，マグレによる当たり外れが生じやすい構造になっている」と考えられる．
学習開始時において平均正答率は60%台で，多くの回答者はこの頁の問題を処理できる．
この頁の学習により，正答率は62.2%から93.3%へ変化し，ここで扱った項目に関して31.1%の成績アップが見込まれる．
表1
I-R
相関係数		 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問
0.59 0.46 0.75 -0.04 0.58
グラフ4

■ページ名 「単項式（乗法：特訓）」
../math3/moji3006.htm
■主な内容 　単項式の乗法に絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．「最初の問題に着手するまでの時間」は9.4秒で，やり方は直ちに理解できたと考えられる．
■この集計の作成年月日：2010.7.5　■集計期間2009.09.24〜2010.6.30　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：146件/4142件=3.5%
グラフ1

グラフ2

グラフ3

表1
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問
前の係数が負 1 0 1 1 0
後の係数が負 0 1 1 0 1
前の係数が分数 0 0 0 1 0
後の係数が分数 0 0 0 0 1
誤答率 29% 42% 31% 10% 14%
表2
誤答率との
相関係数　		 前の係数
が負		 後の係数
が負		 前の係数
が分数		 後の係数
が分数
-0.194 0.398 -0.651 -0.476
■小問数
5題

■ヒント
5題

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中2が51%，卒業生が21%
１題当たりの所要時間は7.5秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問のみは推定．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
どんな間違いがあるのか
　青の背景で示したものが正答，赤字で示したものが多い間違いである．これによれば選択問題でも「でたらめ」に間違うことはなく，特定の誤答に集まる傾向があることが分かる．
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問
9xy 31 1 0 0 0
15xy 4 5 101 0 0
20xy 0 1 0 132 1
-4xy 104 3 2 1 1
-15xy 0 35 20 0 0
-20xy 0 13 21 1 0
20x^2 0 1 2 3 126
-2x^2 0 0 0 3 11
-8x^2 0 85 0 0 2
-20x^2 7 2 0 2 1
表1は，「前にある文字式の係数が負」「後にある文字式の係数が負」「前にある文字式の係数が分数」「後にある文字式の係数が分数」であることと誤答率の一覧で，これに基づいて誤答率との相関係数を求めたのが表2である．
　これによれば，係数が分数であることはほとんど影響がなく，後にある文字式の係数が負であることが誤答に及ぼす影響が最も大きい．
係数が負の数となる文字式を後から掛ける練習が必要
グラフ4は回答者の答案の項目間の関係を示したもので，第１問は独立，第４，５問は同質，第４，５問ができないと第２，３問もできないという関係が見られる．
学習開始時において平均正答率は70%台で，多くの回答者はこの頁の問題を処理できる．
この頁の学習により，正答率は75.1%から96.7%へ変化し，ここで扱った項目に関して21.6%の成績アップが見込まれる．
グラフ4

■ページ名 「単項式（累乗：特訓）」
../math3/moji3007.htm
■主な内容 　単項式の累乗に絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．「最初の問題に着手するまでの時間」は4.4秒で，やり方は直ちに理解できたと考えられる．
■この集計の作成年月日：2009.08.30　■集計期間2009.05.02〜2009.08.27　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：35件/713件=4.9%
グラフ1

グラフ2
■小問数
5題

■ヒント
5題

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中2が43%，卒業生が20%，中1が11%
１題当たりの所要時間は9.8秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
　ヘルプは全く利用されなかった．
第4問 (-x)2×3x の正答率が低い．これは所要時間，試行回数からも裏付けられる．もし，(-x)2が正しく計算できないのであれば，第2問，第3問でもできないはずであるが，それらの正答率は60%ありまずまずのできと言えるが，第4問は半数以上の回答者が間違った．
○どんな間違いが多いか
第3問　-(-3x)2　→　9x2
第4問　(-x)2×3x　→　-3x3
⇒　下積みの計算をせずに全体の雰囲気だけで符号を判断しているのかもしれない．
頁全体の合計と「正答率」が近く，「正誤の相関」が高く，「１題当たり所要時間」が近い問題は第5問である．
　時間の都合でこの頁の項目を１題だけでテストしたいときは，第5問を選ぶとよい．
学習開始時において平均正答率は60%台で，この頁の問題は回答者にとって「中程度の難しさ」に入る．
この頁の学習により，正答率は65.7%から97.1%へ変化し，ここで扱った項目に関して31.4%の成績アップが見込まれる．
グラフ3

■ページ名 「単項式（除法：特訓）」
../math3/moji3008.htm
■主な内容 　単項式の除法に絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説なし．「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ3秒で，やり方は直ちに理解できたと考えられる．
■この集計の作成年月日：2009.09.24　■集計期間2009.08.06〜2009.09.22　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：8件/272件=2.9%
グラフ1

グラフ2

グラフ3
■小問数
5題

■ヒント
5題

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中2が25%，卒業生が68%，中3が13%
１題当たりの所要時間は32.7秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
表1は問題及び解答と誤答率の一覧で，表2はこれに基づいて誤答率との相関係数を求めたものである．
　これによれば，誤答に及ぼす影響が最も大きいのは「割る式の係数が負であること」であり，次が「結果が分数式となること」である．
　負の数の割り算が隠れた落とし穴
　回答件数がまだ少ないため，もうしばらく観察する必要があるが，この傾向は上記の
../math3/moji3006.htmの結果と整合的である．
学習開始時において平均正答率は70%台で，この頁の問題は回答者にとって「やさしい」問題である．
この頁の学習により，正答率は78.1%から100.0%へ変化し，ここで扱った項目に関して21.9%の成績アップが見込まれる．
表1
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問
前が負 0 1 0 1 0 0 1 1
後が負 0 0 0 1 1 1 0 1
結果が負 0 1 0 0 1 1 1 0
結果が分数 0 0 1 1 1 1 1 1
結果の分母
が累乗		 0 0 0 0 0 1 0 1
誤答率 13% 0% 25% 25% 50% 38% 13% 13%
表2
誤答率との
相関係数　		 前が負 後が負 結果が負 結果が分数 結果の分母
が累乗
-0.626 0.626 0.209 0.602 0.120

■ページ名 「単項式（指数法則：特訓）」
../math3/siuu3001.htm
■主な内容 　単項式の指数法則に絞って特訓を行うもの
■要約・解説 解説は52行「最初の問題に着手するまでの時間」は5分4秒で，この解説はよく読まれている．
■この集計の作成年月日：2009.11.13　■集計期間2009.05.13〜2009.11.10　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：13件/1708件=0.8%
グラフ1

グラフ2

グラフ3
■小問数
8題

■ヒント
8題

■入力方式
マウス選択
（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中1が15%，中2が15%，卒業生が62%
１題当たりの所要時間は30秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
信頼性・識別力
　表1は各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関）で，グラフ4は合計得点によって回答者を上位群，下位群，中位群（各3分の１）に分けたときの問題別正答率である．
　表1からはI-R相関係数の低い問題が多く，グラフ4からは逆転が多く見られる．
　以上２つの資料から，この頁の問題は，マグレ当たりが生じやすい構造になっており，練習問題としては使えても，テスト問題には適さないと考えられる．
学習開始時において平均正答率は70%台で，多くの回答者はこの頁の問題を処理できる．
この頁の学習により，正答率は76.7%から94.9%へ変化し，ここで扱った項目に関して18.2%の成績アップが見込まれる．
表1
I-R相関 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問
-0.33 0.46 -0.31 -0.15 0.01 0.48 -0.15 0.48
グラフ4

■ページ名 「等式の変形」
../math/siki04.htm
■主な内容 　与えられた等式から１つの文字について解く
■要約・解説 解説なし．「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ0秒で，やり方は直ちに理解できたと考えられる．
■この集計の作成年月日：2009.09.21　■集計期間2009.05.26〜2009.09.21　■期間中のこのペ−ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：46件/3452件=1.3%
グラフ1

グラフ2

グラフ3

グラフ4
■小問数
5題

■ヒント
5題

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は，中2が65%，中一が7%，卒業生が9%
１題当たりの所要時間は44秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
　グラフ4はヘルプ利用率
どんな間違いをするのか
（　）は解くべき文字
第1問　x-y=3　 (y)　→　3-x , -3x
　　　　-yを求めている
第2問　v=hs　 (h)　→　h/v , h/s
　　　　hを表わすのにhを使ったらだめ
第3問　b=2(3+x)　 (x)　→　6/b
　　　　かっこ無視になっている
表1は通常の変形方法で解くときの「移項の回数」「負の数で割る回数」「かっこの展開を含む変形の総回数」と誤答率の一覧で，表2は表1から誤答率との相関係数を求めたものである．
　これによれば，「変形の総回数」よりも「負の数で割ること」が誤答と強く結びついていることが分かる．
（感想）
※　文科省の全国学力・学習状況調査(PDF)結果では正答率は
[H19] 2x+3y=9 をyについて解く：57.1%
[H20] x+2y=6 をyについて解く：55.0%
となっており，
[当頁第4問]　2x+3y=6 をyについて解く
の正答率52%と近く，この項目は弱い．
　教科書でも（3冊の平均）本文で小問２，３題，章末で小問２，３題という扱いとなっている．
学習開始時において平均正答率は50%台で，この頁の問題は回答者にとって「中ぐらいの難しさ」の問題である．
この頁の学習により，正答率は51.7%から77.8%へ変化し，ここで扱った項目に関して26.1%の成績アップが見込まれる．
表1
第1問 第2問 第3問 第4問 第5問
移項の回数 1 0 2 1 2
負で割る回数 1 0 1 0 0
変形総回数 2 1 4 2 3
誤答率 56% 36% 67% 37% 18%
表2
誤答率との 移項の回数 負で割る回数 変形総回数
相関係数 0.110 0.898 0.361

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