２次関数と直線で作られる図形の面積
《問題》
１
　右の図で，曲線は関数ｙ＝のグラフであり，２点Ａ，Ｂはこの曲線と直線ｙ＝８との交点で，点Ａからｘ軸に垂線ＡＣをひきます．また点Ｐは，この曲線上を原点Ｏから点Ｂまで動きます．△ＰＡＣと△ＰＡＢの面積が等しくなるとき，点Ｐの座標を求めなさい．
 
 
 
 
 
（「H11埼玉県　高校入試問題」の引用）
■考え方
△ＰＡＣ，△ＰＡＢの面積をＰのｘ座標で表わし，これらが等しくなるようなｘを求めます．
△ＰＡＣにおいて，ＡＣを底辺とし，ＰからＡＣまでの距離を高さと考えると，底辺ＡＣ＝８
また，ｙ＝８とｙ＝の交点を求めると，(−４，８)，(４，８)になるから，
高さをＰのｘ座標ｘを用いて表わすと［ア］
ゆえに，△ＰＡＣ＝８(［ア］)÷２・・・(1)

　

 ［ア］

ｘ−４
ｘ＋４
△ＰＡＢにおいて，ＡＢを底辺とし，ＰからＡＢまでの距離を高さと考える．
Ｐのｙ座標をｘで表わすとだから，
高さは［イ］，ＡＢ＝８
ゆえに，△ＰＡＢ＝８(［イ］)÷２･･･(2)		 ［イ］

８−
８＋
(1)(2)が等しくなるようなｘの値を求めると
８(ｘ＋４)÷２＝８(８−)÷２　より　ｘ＋４＝８−
ｘ２＋２ｘ−８＝０
ｘ＝−４，２
ここで，点Ｐは，この曲線上を原点Ｏから点Ｂまで動くのだから，０≦ｘ≦４
ゆえに，ｘ＝［ウ］		 ［ウ］

−４
２
８

２
　右の図のように，関数ｙ＝のグラフ上に２点Ａ，Ｂがあり，点Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ４，−６である．
　関数ｙ＝のグラフ上に点Ｐをとり，２点Ａ，Ｐを通る直線がｙ軸と交わる点をＱとするとき，次の(1),(2)の問いに答えなさい．ただし，点Ｐのｘ座標は点Ａのｘ座標より大きいものとする．
(1)　点Ｐのｘ座標が６であるとき，点Ｑのｙ座標を求めなさい．
(2)　点Ａが線分ＰＱの中点となるとき，△ＢＯＰと△ＡＢＱの面積の比を求めなさい．
 
 
（「H11千葉県　高校入試問題」の引用）
■考え方
（以下において，解答欄に分数を記入するときは，例えば３分の５ならば　5/3　のように　分子/分母　の形で記入しなさい．例えばマイナス３分の５のように負の数になるときは，　-5/3　のように　符号を分子に付けなさい．）
(1)
　点Pはｙ＝上の点だから，そのｘ座標が６のとき，ｙ座標は［ア］になる．
同様に，点Ａのｙ座標は［イ］になる．		 ［ア］＝
［イ］＝

２点Ａ，Ｐを通る直線の方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとおいて，係数ａ，ｂを求めると，
点Ｐを通ることから，
９＝６ａ＋ｂ・・・＜1＞
点Ａを通ることから，
４＝４ａ＋ｂ・・・＜２＞
連立方程式＜１＞＜２＞を解くと，ａ＝［ウ］，ｂ＝［エ］だからＱのｙ座標は［エ］である．		 ［ウ］＝
［エ］＝

(2)
　点Ａ（４，･･･）が線分ＰＱの中点となるとき，Ｐのｘ座標は［オ］で，ｙ座標は［カ］である．
２点Ａ，Ｐを通る直線の方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとおいて，係数ａ，ｂを求めると，
点Ｐを通ることから，
16＝８ａ＋ｂ・・・＜３＞
点Ａを通ることから，
４＝４ａ＋ｂ・・・＜４＞
連立方程式＜３＞＜４＞を解くと，ａ＝［キ］，ｂ＝［ク］だからＱのｙ座標は［ク］である．		 ［オ］＝
［カ］＝
［キ］＝
［ク］＝

　△ＢＯＰの面積は，次の図のＤＯを底辺とする２つの三角形，△ＤＢＯと△ＰＤＯの面積の和と考えることができる．
　２点Ｐ，Ｂを通る直線の方程式を求めてＤのｙ座標を求める：
２点Ｂ，Ｐを通る直線の方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとおいて，係数ａ，ｂを求めると，
点Ｐを通ることから，
16＝８ａ＋ｂ・・・＜５＞
点Ｂを通ることから，
９＝−６ａ＋ｂ・・・＜６＞
連立方程式＜５＞＜６＞を解くと，ａ＝［ケ］，ｂ＝［コ］だからＤのｙ座標は［コ］である．
ゆえに，△ＢＯＰ＝△ＤＢＯ＋△ＰＤＯ＝［サ］
［ケ］＝
［コ］＝
［サ］＝

　同様にして，△ＡＢＱの面積は，次の図のＥＱを底辺とする２つの三角形，△ＥＢＱと△ＡＥＱの面積の和と考えることができる．
　２点Ａ，Ｂを通る直線の方程式を求めてＥのｙ座標を求める：
２点Ａ，Ｂを通る直線の方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとおいて，係数ａ，ｂを求めると，
点Ａを通ることから，
４＝４ａ＋ｂ・・・＜７＞
点Ｂを通ることから，
９＝−６ａ＋ｂ・・・＜８＞
連立方程式＜７＞＜８＞を解くと，ａ＝［シ］，ｂ＝［ス］だからＥのｙ座標は［ス］である．
ゆえに，△ＡＢＱ＝△ＥＢＱ＋△ＡＥＱ＝［セ］
［シ］＝
［ス］＝
［セ］＝

以上により，△ＢＯＰ：△ＡＢＱ＝［サ］：［セ］＝［ソ］：［タ］ ［ソ］＝
［タ］＝


３
　右の図において，曲線(1)は関数ｙ＝ｘ２のグラフであり，曲線(2)は関数ｙ＝ａｘ２のグラフである．
　点Ａは曲線(1)上にあり，そのｘ座標は３である．点Ｂはｘ軸上にあり，線分ＡＢはｙ軸に平行で，点Ｃは曲線(2)と線分ＡＢとの交点である．
　また，点Ｄは曲線(1)上にあり，線分ＡＤはｘ軸に平行である．直線ＣＤの傾きは−１であり，点Ｅは直線ＣＤとｘ軸との交点である．
　原点をＯとするとき，次の問いに答えなさい．
(ア)　曲線ｙ＝ａｘ２のａの値を求めなさい．
(イ)　三角形ＡＣＤと三角形ＢＤＥの面積の比を最も簡単な整数の比で表わしなさい．
 
 

（「H11神奈川県　高校入試問題」の引用）
■考え方

分かるものから順に座標を記入していく．
Ａのｘ座標が３だから，
  • Ａのｙ座標は［あ］である．
  • Ｂのｘ座標は［い］で，ｙ座標は［う］である．
  • Ｄのｘ座標は［え］で，ｙ座標は［お］である．
［あ］＝
［い］＝
［う］＝
［え］＝
［お］＝

線分ＣＤ（ＤＥ）の傾きが−１で，点Ｄの座標が（え，お）であることから，
直線ＣＤの方程式をｙ＝−ｘ＋ｂとおいてｂの値を求めると，ｂ＝［か］となる．これにより，
  • Ｃのｘ座標が［き］だから，ｙ座標は［く］となる．
  • Ｅのｙ座標が０だから，ｘ座標は［け］となる．
［か］＝
［き］＝
［く］＝
［け］＝

(ア)
　Ｃの座標をｙ＝ａｘ２に代入すると，ａ＝［こ］
［こ］＝

(イ)
　ＤＡ＝６，ＡＣ＝６だから△ＡＣＤ＝［さ］
　ＢＥ＝３，ＡＢ＝９だから△ＢＤＥ＝［し］
ゆえに，△ＡＣＤ：△ＢＤＥ＝［す］：［せ］
［さ］＝
［し］＝
［す］＝
［せ］＝

４
　右の図のように，関数ｙ＝のグラフ上に，ｘ座標がそれぞれ−４，２となる２点Ａ，Ｂをとる．このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ．
(1)　直線ＡＢの式を求めよ．
(2)　直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする．また，関数ｙ＝のグラフ上に点Ｐをとって，△ＯＣＰの面積が△ＯＡＢの面積のになるようにしたい．このとき，点Ｐの座標を求めよ．ただし，Ｐは原点OとＡの間にとるものとする．
（「H11新潟県　高校入試問題」の引用）
■考え方
次の空欄を埋めなさい．例えば，答が　３分の５　のような分数になるときは　5/3　のように記入し，答が負の数になるときは -5/3　のように，符号を分子につけなさい．
(1)
　点Ａは関数ｙ＝のグラフ上にあり，ｘ座標が−４だから，ｙ座標は［ア］である．
　また，点Ｂも関数ｙ＝のグラフ上にあり，ｘ座標が２だから，ｙ座標は［イ］である．
［ア］＝
［イ］＝

　２点Ａ（−４，［ア］），Ｂ（２，［イ］）を通る直線の方程式を，ｙ＝ａｘ＋ｂとおくと，
Ａを通ることから　４＝−４ａ＋ｂ・・・＜１＞
Ｂを通ることから　１＝２ａ＋ｂ・・・＜２＞
＜１＞＜２＞より，ａ＝［ウ］，ｂ＝［エ］
ゆえに，直線の方程式は，ｙ＝［ウ］ｘ＋［エ］・・・＜３＞
［ウ］＝
［エ］＝
 

(2)

　切片の値ｂから，点Ｃのｙ座標は，ｙ＝［オ］

このとき，△ＯＡＢ＝△ＯＢＣ＋△ＯＣＡ＝２・２／２＋２・４／２＝６
他方，ＰからＹ軸までの距離をｋとおくと，△ＯＣＰ＝２・ｋ／２＝ｋ
となるから，面積がになるようにするには，ｋ＝［カ］とすればよい．

ＰはＯとＡの間にあるからＰのｘ座標は，ｘ≦０
ゆえに，Ｐの座標は，ｘ＝［キ］，ｙ＝［ク］
 
［オ］＝
［カ］＝
［キ］＝
［ク］＝
 

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解答
１
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２
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