■２次関数のグラフと直線

【例１】
y=x2のグラフ上に２点Ａ，Ｂがあります．Ａ，Ｂのx座標がそれぞれ−1, 3であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)２点Ａ，Ｂの座標を求めなさい．
(2)２点Ａ，Ｂを通る直線の方程式を求めなさい．
(3)２点Ａ，Ｂを通る直線がy軸と交わる点Ｐの座標を求めなさい．
(4)△ＰＯＢの面積を求めなさい．
（解答）
(1)
x=−1をy=x2に代入するとy=(−1)2=1となるから，点Ａの座標は(−1, 1)…（答）
x=3をy=x2に代入するとy=32=9となるから，点Ｂの座標は(3, 9)…（答）
(2)
求める直線の方程式をy=ax+b…(A)とおくと，
点Ａ(−1, 1)がこの直線上にあるから，
1=−a+b…(B)
また，点Ｂ(3, 9)がこの直線上にあるから，
9=3a+b…(C)
(B)(C)を係数a, bを求めるための連立方程式として解く．
1=−a+b…(B)
−)9=3a+b…(C)
−8=−4a
a=2…(D)
(D)を(B)に代入
b=3
(A)にこれらa, bの値を代入すると
y=2x+3…（答）
(3)
y=2x+3の方程式にx=0に代入するとy=3となるから，点Ｐの座標は(0, 3)…（答）
(4)
△ＰＯＢにおいてPOを底辺と見ると，底辺の長さは3．このとき，高さはＢのx座標3になるから，△ＰＯＢの面積は
（底辺）×（高さ）÷2=…（答）
【問１】
y=2x2のグラフ上に２点Ａ，Ｂがあります．Ａ，Ｂのx座標がそれぞれ−1, 2であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)２点Ａ，Ｂの座標を求めなさい．
(2)２点Ａ，Ｂを通る直線の方程式を求めなさい．
(3)２点Ａ，Ｂを通る直線がy軸と交わる点Ｐの座標を求めなさい．
(4)△ＡＯＰの面積を求めなさい．
（解答）*** 以下の問題で，Tabキーを押せば空欄を順に移ることができます. ***
(1)
x=−1をy=2x2に代入してy座標を求める．
点Ａの座標は(, )
x=2をy=2x2に代入してy座標を求める．
点Ｂの座標は(, )
採点する やり直す
(2)
求める直線の方程式をy=ax+bとおいて，上で求めたＡ，Ｂの座標x, yを代入し，a, bの連立方程式を作る．
これを解くと直線の方程式が定まる．
y=x+
採点する やり直す
(3)
上で得られた直線の方程式にx=0を代入すると点Ｐのy座標が得られる．
点Ｐの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
△ＡＯＰにおいてPOを底辺と見ると，高さはＡのx座標の絶対値（符号を正に変えたもの）になるから，△ＡＯＰの面積は
（底辺）×（高さ）÷2=
採点する やり直す
【例２】
右図のように２次関数y=ax2のグラフと直線y=x+bのグラフが２点Ａ，Ｂで交わり，点Ａの座標が(−2, 2)であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)定数aの値を求めなさい．
(2)定数bの値を求めなさい．
(3)点Ｂの座標を求めなさい．
(4)△ＡＯＢの面積を求めなさい．

（解答）
(1)
点Ａの座標x=−2, y=2を方程式y=ax2に代入すると
2=a×(−2)2=4aより，a=…（答）
(2)
点Ａの座標x=−2, y=2を方程式y=x+bに代入すると，
2=−2+b
b=4…（答）
(3)
Ａ，Ｂはy=x2…(A)とy=x+4…(B)の交点だから，
(A)(B)を連立方程式として解くと座標が求まる．
y=x2…(A)
y=x+4…(B)
(A)(B)からyを消去すると
x2=x+4
x2=2x+8
x2−2x−8=0
(x+2)(x−4)=0
x=−2, 4
図よりx=−2が点Ａのx座標，x=4が点Ｂのx座標を表している．
点Ｂのy座標はx=4を(B)に代入すれば求まる．
(4, 8)…（答）
(4)
直線(B)とy軸との交点をＰとすると，△ＡＯＢ＝△ＡＯＰ+△ＰＯＢ
POを底辺と見ると，底辺の長さは4．このとき，△ＡＯＰの高さはＡのx座標−2の符号を正に変えて2
△ＡＯＰ=4×2÷2=4
△ＰＯＢの高さはＢのx座標4
△ＰＯＢ=4×4÷2=8
△ＡＯＢ＝△ＡＯＰ+△ＰＯＢ=4+8=12…（答）
【問２】
右図のように２次関数y=ax2のグラフと直線y=bx+3のグラフが２点Ａ，Ｂで交わり，点Ａの座標が(−2, 2)であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)定数aの値を求めなさい．
(2)定数bの値を求めなさい．
(3)点Ｂの座標を求めなさい．
(4)△ＡＯＢの面積を求めなさい．

（解答）
(1)
x=−2, y=2をy=ax2に代入してaを求める．
.a=
採点する やり直す
(2)
x=−2, y=2をy=bx+3に代入してbを求める．
b=
採点する やり直す
(3)
(1)(2)から２次関数と直線の方程式が決まるので，それらを連立方程式として解くと交点の座標が求まる．２つの解のうちでx>0となる値がＢのx座標になる．
点Ｂの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
直線とy軸との交点をＰとすると，△ＡＯＢを２つの三角形△ＡＯＰ，△ＰＯＢに分けて求める．
△ＡＯＢ=
採点する やり直す
【例３】
右図のように２次関数y=x2のグラフと直線のグラフが２点A，Bで交わり，点A，Bのx座標がそれぞれ−2, 1であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)２点A，Bの座標を求めなさい．
(2)２点A，Bを通る直線の方程式を求めなさい．
(3)２点A，Bを通る直線がx軸と交わる点をCとするとき点Cの座標を求めなさい．
(4)△BOCの面積を求めなさい．

（解答）
(1)
x=−2を方程式y=x2に代入するとy=4
x=1を方程式y=x2に代入するとy=1
点Aの座標は(−2, 4)，点Bの座標は(1, 1)…（答）
(2)
求める直線の方程式をy=ax+b…(A)とおくと，
点A(−2, 4)がこの直線上にあるから，
4=−2a+b…(B)
また，点B(1, 1)がこの直線上にあるから，
1=a+b…(C)
(B)(C)を係数a, bを求めるための連立方程式として解く．
4=−2a+b…(B)
−)1=a+b…(C)
3=−3a
a=−1…(D)
(D)を(B)に代入
b=2
(A)にこれらa, bの値を代入すると
y=−x+2…（答）
(3)
y=−x+2のy座標が0となるときのxの値を求めると
−x+2=0よりx=2
点Cの座標は(2, 0)…（答）
(4)
△BOCの底辺をOCとするとOC=2
このとき高さはBのy座標1
△BOC=2×1÷2=1…（答）
【問３】
右図のように２次関数y=x2のグラフと直線のグラフが２点A，Bで交わり，点A，Bのx座標がそれぞれ−4, 2であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)２点A，Bの座標を求めなさい．
(2)２点A，Bを通る直線の方程式を求めなさい．
(3)２点A，Bを通る直線がx軸と交わる点をCとするとき点Cの座標を求めなさい．
(4)△BOCの面積を求めなさい．

（解答）
(1)
x=−4，x=2を方程式y=x2に代入するとそれぞれのy座標が求まる．
点Aの座標は（, )
点Bの座標は（, )
採点する やり直す
(2)
求める直線の方程式をy=ax+bとおいてa, bを求める．
y=x+
採点する やり直す
(3)
(2)で求めた直線の方程式でy=0となるxの値を求める．
点Cの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
△BOCの底辺をOC，高さをBのy座標と考えると
△BOC=
採点する やり直す
【例４】
右図のように２次関数y=x2のグラフと直線y=x+2のグラフがx軸，y軸と交わる点をそれぞれD，Cとするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点C，Dの座標を求めなさい．
(2)点Pは２次関数y=x2のグラフ上でx<0の部分を動くものとする．△PDOの面積が△CPOの面積の２倍となるとき，点Pのx座標を求めなさい．

（解答）
(1)
y=x+2にx=0を代入するとy=2
y=x+2にy=0を代入するとx=−2
点Cの座標は(0, 2)，点Dの座標は(−2, 0)…（答）
(2)
P(x, x2)とおく．
△PDOについて底辺をDO=2とすると，高さはPのy座標x2になるから，面積は2×x2÷2=x2
△CPOについて底辺をCO=2とすると，高さはPのx座標x(<0)の符号を変えたものになるから，面積は2×(−x)÷2=−x
x2=2(−x)
x2+2x=0
x(x+2)=0 (x<0)
x<0だからx=−2…（答）
【問４】
右図のように２次関数y=2x2のグラフと直線y=2x+4のグラフがx軸，y軸と交わる点をそれぞれD，Cとするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点C，Dの座標を求めなさい．
(2)点Pは２次関数y=2x2のグラフ上でx<0の部分を動くものとする．△PDOの面積が△CPOの面積と等しくなるとき，点Pのx座標を求めなさい．

（解答）
(1)
点Cの座標は(, )
点Dの座標は(, )
採点する やり直す
(2)
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数のグラフと直線について／17.3.28］
例題2と同じ問題で 直線ABとy軸との交点をCとしグラフ上に点Pをとる。△OPCの面積が△AOBの面積の二分の一となる点Pのｘ座標は、？？と？であるの？のところがわかりませんもしよろしければ教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．△AOB=(4×2)÷2+(4×4)÷2=12だから△OPC=6になるようにする
4×x÷2=6よりx=3．左右どちらでもよいからx=±3