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【考え方１】
〇三角形の面積は，小学校のときから使っている公式

で求めることができます．
〇右のような図形において， △PABと△PBCの面積比を求めたいとき
ABとBCをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと，高さPH=hが共通になるので
△PAB:△PBC
= :
=AB:BC
⇒　高さが共通なら，三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい

【例題１】
　右の図で，�@は関数\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2\)， �Aは関数y=ax+bのグラフであり，�@と�Aは２点A, Bで交わっている。点A, Bのx座標がそれぞれ−3, 6であるとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1)　略
(2)　定数a, bの値を求めよ。
(3)　線分AB上に点Pをとり，△OAPの面積が△OPBの面積の２倍となるようにしたい。このとき点Pの座標を求めよ。

（高知県2000年入試問題）

※元の問題は記述式問題ですが，ｗｅｂ上での読者の操作性をよくするために，このサイトでは，独自に選択問題にしています．選択肢の中から正しいものを１つクリックしてください．問題や選択肢に疑問があるときは，原著作者を煩わすことなく，このサイトの管理人に質問してください．

【問題１】
　右の図で，曲線はy=x2のグラフであり，グラフ上に，x座標が−1である点Aをとります。点Aを通る傾き1の直線と曲線との交点をBとし，直線AB上に，x座標が正である点Pをとります。
　△OABと△OBPの面積が等しいとき，点Pの座標を求めなさい。

解説 やり直す

P(2, 4) P(3, 5) P(4, 6) P(5, 7)

点Aは曲線y=x2上の点だからx=−1のとき
y=(−1)2=1
点Aの座標は(−1, 1)になるから，この点Aを通り傾き1の直線の式をy=x+bとおくと
1=−1+b
b=2
直線ABの式はy=x+2になる．
Bの座標は，次の連立方程式の解になる．
y=x2…(i)
y=x+2…(ii)
yを消去するとx2=x+2
x2−x−2=0
(x+1)(x−2)=0
x=−1, 2
x=−1は点Aを表すから，点Bはx=2
　右図において△OABと△OBPの面積が等しいとき，ABとBPをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと，高さは共通になるから，底辺の長さはAB=BPになる．
　このとき，中学校２年生で習った平行線の性質から，図のA'B'=B'P'が成り立つ．
A'からB'まで3進むから，B'からP'まで3進むとP'=5
(ii)にx=5を代入するとy=7
P(5, 7)…（答）

【考え方２】
　三角形の面積は，小学校のときから使っている公式

で求めることができます．
(1)　右図においてABがx軸に平行であるとき
△ABCの面積を求めるには

(2)　右図において△DOFの面積を求めたいとき
△DOEと△OFEに分けて求めると，どちらもy軸上の線分OEを底辺に選ぶと計算が楽になります．
結局，△DOF==

【問題２】
　右の図で，曲線は\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフであり，２点A, Bはこの曲線と直線y=8との交点で，点Aからx軸に垂線ACをひきます。また，点Pは，この曲線上を原点Oから点Bまで動きます。△PACと△PABの面積が等しくなるとき，点Pの座標を求めなさい．

解説 やり直す

\(\displaystyle (1,\hspace{5px}\frac{1}{2})\) \(\displaystyle (1,\hspace{5px}1)\) \(\displaystyle (2,\hspace{5px}2)\) \(\displaystyle (4,\hspace{5px}8)\)

A, Bは曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)と直線y=8の交点だから，
\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2=8\)よりx=±4
A(−4, 8), B(4, 8)
\(\displaystyle P(x,\hspace{5px}\frac{1}{2}x^2)\)とおく　（ただしx>0）
(1) △PACにおいてAC=8を底辺とすると，高さはPとACのx座標の差：x−(−4)=x+4
\(\displaystyle \Delta PAC=\frac{8\times(x+ 4)}{2}=4(x+ 4)\)
(2) △PABにおいてAB=8を底辺とすると，高さはPとABのy座標の差：\(\displaystyle 8-\frac{1}{2}x^2\)
\(\displaystyle \Delta PAB=\frac{8\times(8-\frac{1}{2}x^2)}{2}=4(8-\frac{1}{2}x^2)=32-2x^2\)
(1)(2)の面積が等しいのだから
\(\displaystyle 4(x+ 4)=32-2x^2\)
\(\displaystyle 2x^2+ 4x-16=0\)
\(\displaystyle x^2+ 2x-8=0\)
\(\displaystyle (x+ 4)(x-2)=0\)
\(\displaystyle x=-4,\hspace{5px}2\)
x>0だから，x=2
したがって，点Pの座標は(2, 2) …（答）

【問題３】
　右の図のように，関数\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に２点A, Bがあり，点A, Bのx座標はそれぞれ4, −6である。 関数\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に点Pをとり，２点A, Pを通る直線がy軸と交わる点をQとするとき，次の(1),(2)の問いに答えなさい。ただし，点Pのx座標は点Aのx座標より大きいものとする。
(1)　点Pのx座標が6のとき，点Qのy座標を求めなさい。
(2)　点Aが線分PQの中点となるとき，△BOPと△ABQの面積の比を求めなさい。

解説 やり直す

\(\displaystyle 3:2\) \(\displaystyle 4:3\) \(\displaystyle 5:4\) \(\displaystyle 6:5\)

　「点Aが線分PQの中点」という条件から，できるだけ簡単にP, Qの座標を求められるかどうかが鍵になります．
　QA=APなら，中学校２年生で習う平行線の性質，または中学校３年生で習う相似図形の性質を使うと，右図において２つの直角三角形△AA'Qと△PP'Qは相似比1:2の相似図形になります．
　したがって，Pのx座標はPP'=8
これにより，Pのy座標は\(\displaystyle y=\frac{1}{4}\times 8^2=16\)
P'A'=16−4=12だからA'Q=12とするとQ(0, −8)
　PR:RB=8:6=4:3（長さだから符号は正）だからPのy座標16からBのy座標9までの幅7を4:3に分けると，R(0, 12)
　BS:SA=6:4=3:2（長さだから符号は正）だからBのy座標9からAのy座標4までの幅5を3:2に分けると，S(0, 6)
　△BOP=△ROB+△ROP
\(\displaystyle =\frac{12\times 6}{2}+ \frac{12\times 8}{2}=84\)
　△ABQ=△SQB+△SQA
\(\displaystyle =\frac{14\times 6}{2}+ \frac{14\times 4}{2}=70\)
　△BOP:△ABQ=84:70=6:5…（答）

【問題４】
　右の図は，２つの関数y=x2…(1)　y=ax2 (a<0)…(2)のグラフである。
　また，点A, B, C, Dはそれぞれx=2およびx=−1における関数(1),(2)のグラフ上の点である。
　このとき，次の各問いに答えなさい．
問１問２（略）
問３　点(2, 0)をE，点(−1, 0)をFとする。台形ABFEと台形CDEFの面積の比が3 : 2となるように，aの値を求めなさい。

解説 やり直す

\(\displaystyle -\frac{3}{4}\) \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) \(\displaystyle \frac{2}{3}\) \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

　台形の面積は（上底+下底）×高さ÷2 で求められます．
右図の台形ABFEにおいては 台形CDEFにおいては このとき，面積比は\(\displaystyle \frac{15}{2}:(-\frac{15a}{2})=1:(-a)=3:2\)
\(\displaystyle -3a=2\)
\(\displaystyle a=-\frac{2}{3}\) 　…（答）

【問題５】
　右の図のように，関数\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に，x座標がそれぞれ−4, 2となる点A, Bをとる。このとき，次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1)　直線ABの式を求めよ。
(2)　直線ABとy軸との交点をCとする。また，関数 \(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に点Pをとって，△OCPの面積が△OABの面積の\(\displaystyle \frac{1}{3}\)になるようにしたい。このとき，点Pの座標を求めよ。ただし，Pは原点OとAの間にとるものとする。

A(−4, 4)を通るから
B(2, 1)を通るから
(i)(ii)を解くと，\(\displaystyle a=-\frac{1}{2},\hspace{5px}b=2\)
ABを通る直線の方程式は\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+ 2\)…（答）

解説 やり直す

\(\displaystyle (2,\hspace{5px}1)\) \(\displaystyle (1,\hspace{5px}\frac{1}{4})\) \(\displaystyle (-1,\hspace{5px}\frac{1}{4})\) \(\displaystyle (-2,\hspace{5px}1)\)

　直線ABとy軸との交点をCとおくと，直線ABの方程式が
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+ 2\)
であることから，C(0, 2)
　△OABをy軸で２つに分けて面積を求めると
Pのx座標をxとおくと，△OCPは △OAB=3△OCPとなるには
このとき，P(−2, 1)となる…（答）

【問題６】
　右の図で放物線(1)はy=2x2，直線(2)はy=ax+b（a>0, b>0），直線(3)はy=bのグラフであり，点Pは(2)と(3)の交点，点Q, Rは(1)と(2)の交点，点S, Tは(1)と(3)の交点である。
　次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(2)略
(3)　点Qのx座標が−1，△PQTと△PRSの面積比が2 : 3のとき，直線(2)の式を求めなさい。

解説 やり直す

\(\displaystyle y=x+ 1\) \(\displaystyle y=x+ 2\) \(\displaystyle y=x+ 3\) \(\displaystyle y=x+ 4\)

△PQTと△PRSにおいて底辺をそれぞれSP, PTとすると，放物線は左右対称だから，SP=PT
したがって，△PQTと△PRSの面積比は，右図で高さBPとPAの比に等しい．ここで△PBQと△PARは相似図形だから，BP : PA=2 : 3のとき，QB : AR=2 : 3になればよい．
いま，QB=1なのだから
\(\displaystyle 1:AR=2:3\)
\(\displaystyle AR=\frac{3}{2}\)
したがって，Rのx座標は\(\displaystyle \frac{3}{2}\)，y座標は\(\displaystyle 2\times(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{2}\)
\(\displaystyle Q(-1,2),R(\frac{3}{2},\frac{9}{2})\)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいて，a, bを求めたらよい．
\(\displaystyle 2=-a+ b\)…(i)
\(\displaystyle \frac{9}{2}=\frac{3}{2}a+ b\)…(ii)
(ii)×2
9=3a+2b…(iii)
(i)×2
4=−2a+2b…(iv)
(iii)−(iv)
5a=5
これより，a=1, b=3
y=x+3…（答）

【問題７】
　右の図のように，関数y=ax2のグラフ上にx座標が−4, 2である２点A, Bがある。
　次の(1),(2)の問いに答さない。
(1)　点Aのy座標をaを使って表しなさい。
(2)　直線ABが直線y=−xに平行であるとき，次の�@〜�Bの問いに答えなさい。

解説 やり直す

\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+ 1\) \(\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+ \frac{10}{3}\) \(\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+ \frac{5}{2}\) \(\displaystyle y=-\frac{4}{5}x+ \frac{18}{5}\)

　右図のように△ACBと△AOBの面積を，底辺をABとして計算するとき，それぞれの高さはDCとBOになるから， △ACBの面積が△AOBの面積の４分の１になるには，DCがBOの４分の１になればよい．
　ここで△ACDと△AOBは相似図形だから，DC : BO=1 : 4のとき，AC : AO=1 : 4になる．
　したがって，Cのx座標は−3
　CはAO : y=−2x上の点だから，y座標は6
　結局，C(−3, 6), B(2, 2)を通る直線の方程式を求めたらよい．
\(\displaystyle y=-\frac{4}{5}x+\frac{18}{5}\)…（答）

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【円錐の体積の公式】
　右図のような，底面の半径がrで高さがhである円錐について
底面積をS，体積をVとおくと
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}Sh\)…(1)
底面は円で，底面積はπr2になるから
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)…(2)

※この公式は高校数学の積分を使えば証明できます．
小中学生では，よく出てくる形だということで，高校で習うものを「先取り」して「覚えて使う」ようにします．

【例題２】
　右の�T図のように，関数y=3x2のグラフがある。このグラフ上に点Aからx軸，y軸にひいた垂線と，座標軸との交点をそれぞれB, Cとする。点Aのx座標が2であるとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。

【問題８】
　右の図で放物線(1)はy=2x2，直線(2)はy=ax+b（a>0, b>0），直線(3)はy=bのグラフであり，点Pは(2)と(3)の交点，点Q, Rは(1)と(2)の交点，点S, Tは(1)と(3)の交点である。
　次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(3)略
(2)　b=4のとき，△OTPをy軸を軸として，１回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし，座標軸の単位の長さを1cmとする。

解説 やり直す

\(\displaystyle \frac{1}{3}\pi(cm^3)\) \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi(cm^3)\) \(\displaystyle \frac{4}{3}\pi(cm^3)\) \(\displaystyle \frac{8}{3}\pi(cm^3)\)

P, Tのy座標が4だから，x座標は
4=2x2
より
\(\displaystyle x=\sqrt{2}\)
半径PTが\(\displaystyle \sqrt{2}\)，高さPOが4の円錐の体積は
\(\displaystyle \frac{1}{3}\pi\times(\sqrt{2})^2\times 4=\frac{8}{3}\pi\)(cm³)…（答）

【問題９】
　右の図のように，関数y=ax2（aは定数）のグラフ上に２点A, Bがあり，Aの座標は(−2, −2)である。また，点Oは原点，点Pは直線ABとy軸との交点であり，AP:PB=1:2である。このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)　aの値を求めよ。
(2)　直線ABの式を求めよ。
(3)　３点O, A, Pを頂点とする三角形がx軸を軸として１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし，円周率はπとする。

解説 やり直す

\(\displaystyle 8\pi\) \(\displaystyle 16\pi\) \(\displaystyle 32\pi\) \(\displaystyle 64\pi\)

求める立体Vは，次の円錐V1から, V2, V3を取り除くと得られる．
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times 4^2\times 4-(\frac{1}{3}\pi\times 2^2\times 2+\frac{1}{3}\pi\times 2^2\times 2)\)
\(\displaystyle =\frac{64}{3}\pi-(\frac{8}{3}\pi+\frac{8}{3}\pi)=\frac{48}{3}\pi=16\pi\)…（答）