【考え方1】
〇三角形の面積は,小学校のときから使っている公式 で求めることができます. ![]() ABとBCをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと,高さPH=hが共通になるので △PAB:△PBC = : =AB:BC ⇒ 高さが共通なら,三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい ![]() 右の図で,@は関数
(1) 略
(2) 定数a, bの値を求めよ。 (3) 線分AB上に点Pをとり,△OAPの面積が△OPBの面積の2倍となるようにしたい。このとき点Pの座標を求めよ。 (高知県2000年入試問題)
(2) 点A, Bは
A : x=−3のとき,
直線y=ax+bは2点A, Bを通るからB : x=6のとき, したがって,A(−3, 6), B(6, 24)
A : 6=−3a+b…(i)
B : 24=6a+b…(ii) この連立方程式(i)(ii)を解いて,a, bを求める. (ii)−(i) 18=9a a=2 これを(i)に代入すると,b=12 y=2x+12…(答) ![]() △OAPと△OPBの面積を計算するときに,辺AP, BPを底辺に選ぶと,右図のように高さOHは共通になり等しい. このとき,△OAPと△OPBの面積比は底辺AP, BPの長さの比になる. ![]() x座標を A(−3) → P(3) → B(6) とするとx座標の差は6:3=2:1になる. Pはy=2x+12上にあって,x=3だから y=2×3+12=18 P(3, 18)…(答) |
※元の問題は記述式問題ですが,web上での読者の操作性をよくするために,このサイトでは,独自に選択問題にしています.選択肢の中から正しいものを1つクリックしてください.問題や選択肢に疑問があるときは,原著作者を煩わすことなく,このサイトの管理人に質問してください.
![]() 右の図で,曲線はy=x2のグラフであり,グラフ上に,x座標が−1である点Aをとります。点Aを通る傾き1の直線と曲線との交点をBとし,直線AB上に,x座標が正である点Pをとります。 △OABと△OBPの面積が等しいとき,点Pの座標を求めなさい。 (埼玉県2000年入試問題)
点Aは曲線y=x2上の点だからx=−1のとき
y=(−1)2=1 点Aの座標は(−1, 1)になるから,この点Aを通り傾き1の直線の式をy=x+bとおくと 1=−1+b b=2 直線ABの式はy=x+2になる. Bの座標は,次の連立方程式の解になる. ![]() y=x+2…(ii) ![]() x2−x−2=0 (x+1)(x−2)=0 x=−1, 2 x=−1は点Aを表すから,点Bはx=2 右図において△OABと△OBPの面積が等しいとき,ABとBPをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと,高さは共通になるから,底辺の長さはAB=BPになる. このとき,中学校2年生で習った平行線の性質から,図のA'B'=B'P'が成り立つ. A'からB'まで3進むから,B'からP'まで3進むとP'=5 (ii)にx=5を代入するとy=7 P(5, 7)…(答) |
【考え方2】
三角形の面積は,小学校のときから使っている公式 で求めることができます. (1) 右図においてABがx軸に平行であるとき ![]()
底辺をx軸に平行なABに選ぶと計算が楽になります.
底辺の長さ:AB=c−a このとき,高さはA, BとCのy座標の差だから 高さ:b−f 結局 △ABC= (2) 右図において△DOFの面積を求めたいとき ![]()
△DOEは底辺をOEとすると,高さはDのx座標(の符号を正に書き換えたもの)になり
結局,△DOF==
△DOE= △OFEは底辺をOEとすると,高さはFのx座標になり △OFE= |
![]() 右の図で,曲線は (埼玉県1999年入試問題)
A, Bは曲線
A(−4, 8), B(4, 8) (1) △PACにおいてAC=8を底辺とすると,高さはPとACのx座標の差:x−(−4)=x+4 (2) △PABにおいてAB=8を底辺とすると,高さはPとABのy座標の差: (1)(2)の面積が等しいのだから x>0だから,x=2 したがって,点Pの座標は(2, 2) …(答) |
![]() 右の図のように,関数 (1) 点Pのx座標が6のとき,点Qのy座標を求めなさい。 (2) 点Aが線分PQの中点となるとき,△BOPと△ABQの面積の比を求めなさい。 (千葉県1999年入試問題)
2点A(4, 4), P(6, 9)を通る直線の方程式を y=ax+b とおいてa, bを求める. A(4, 4)を通るから4=4a+b…(i) P(6, 9)を通るから9=6a+b…(ii) (i),(ii)を解くと 点Qのy座標は−6…(答) (2) (正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.) ![]() QA=APなら,中学校2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図において2つの直角三角形△AA'Qと△PP'Qは相似比1:2の相似図形になります. したがって,Pのx座標はPP'=8 これにより,Pのy座標は P'A'=16−4=12だからA'Q=12とするとQ(0, −8) ![]()
この後の計算をする前に,図の中に分かる数字は全部埋めておくとよい.
PR:RB=8:6=4:3(長さだから符号は正)だからPのy座標16からBのy座標9までの幅7を4:3に分けると,R(0, 12)右図のR, Sの座標は,直線の方程式を作ってy軸との交点を求めるのが中学校の正統派と考えられるが,なるべく算数でできるものは簡単に求めることにすると BS:SA=6:4=3:2(長さだから符号は正)だからBのy座標9からAのy座標4までの幅5を3:2に分けると,S(0, 6) △BOP=△ROB+△ROP △ABQ=△SQB+△SQA △BOP:△ABQ=84:70=6:5…(答) |
![]() 右の図は,2つの関数y=x2…(1) y=ax2 (a<0)…(2)のグラフである。 また,点A, B, C, Dはそれぞれx=2およびx=−1における関数(1),(2)のグラフ上の点である。 このとき,次の各問いに答えなさい. 問1問2(略) 問3 点(2, 0)をE,点(−1, 0)をFとする。台形ABFEと台形CDEFの面積の比が3 : 2となるように,aの値を求めなさい。 (沖縄県2000年入試問題)
![]() 右図の台形ABFEにおいては
Aのy座標はy=22=4だからAE=4…下底とする
台形CDEFにおいては
Bのy座標はy=(−1)2=1だからBF=1…上底とする EF=3…高さとする 面積は
Dのy座標はy=a×22=4aだからDE=−4a(a<0だから符号を変える)…下底とする
このとき,面積比はCのy座標はy=a×(−1)2=aだからCF=a(a<0だから符号を変える)…上底とする EF=3…高さとする 面積は |
![]() 右の図のように,関数 (1) 直線ABの式を求めよ。 (2) 直線ABとy軸との交点をCとする。また,関数 (新潟県1999年入試問題)
Bのy座標は 2点ABを通る直線の方程式をy=ax+bとおくと
A(−4, 4)を通るから
(2) (正しいものをクリック.計算用紙が必要です.)
4=−4a+b…(i)
B(2, 1)を通るから
1=2a+b…(ii)
(i)(ii)を解くと,ABを通る直線の方程式は ![]() であることから,C(0, 2) △OABをy軸で2つに分けて面積を求めると
△OAB=△OCA+△OCB
△OCAは底辺の長さがOC=2,高さがAのx座標(の符号を変えたもの)4だから,その面積は
Pのx座標をxとおくと,△OCPは
△OCBは底辺の長さがOC=2,高さがBのx座標2だから,その面積は したがって,△OAB=4+2=6
底辺の長さがOC=2,高さがPのx座標の符号を変えたもの−x(x<0だから符号を変える)だから,その面積は
△OAB=3△OCPとなるには |
![]() 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+b(a>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。 次の(1)〜(2)に答えなさい。 (1)(2)略 (3) 点Qのx座標が−1,△PQTと△PRSの面積比が2 : 3のとき,直線(2)の式を求めなさい。 (青森県1999年入試問題)
![]()
算数で解ける部分は,なるべく簡単に算数で解くと,計算間違いが少なくなります
△PQTと△PRSにおいて底辺をそれぞれSP, PTとすると,放物線は左右対称だから,SP=PTしたがって,△PQTと△PRSの面積比は,右図で高さBPとPAの比に等しい.ここで△PBQと△PARは相似図形だから,BP : PA=2 : 3のとき,QB : AR=2 : 3になればよい. いま,QB=1なのだから したがって,Rのx座標は y=ax+b とおいて,a, bを求めたらよい. (ii)×2 9=3a+2b…(iii) (i)×2 4=−2a+2b…(iv) (iii)−(iv) 5a=5 これより,a=1, b=3 y=x+3…(答) |
![]() 右の図のように,関数y=ax2のグラフ上にx座標が−4, 2である2点A, Bがある。 次の(1),(2)の問いに答さない。 (1) 点Aのy座標をaを使って表しなさい。 (2) 直線ABが直線y=−xに平行であるとき,次の@〜Bの問いに答えなさい。
@ aの値を求めなさい。
A △AOBの面積を求めなさい。 B 点Bを通る直線lと線分AOとの交点をCとする。△ACBの面積が3になるとき,直線lの式を求めなさい。 (大分県2000年入試問題)
(2) @ |
B(次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)
![]()
この問題で,△ACBの面積をBCを通る直線の式を使って表すのは大変です.
右図のように△ACBと△AOBの面積を,底辺をABとして計算するとき,それぞれの高さはDCとBOになるから, △ACBの面積が△AOBの面積の4分の1になるには,DCがBOの4分の1になればよい.むしろ,算数で解ける部分は,なるべく簡単に算数で解くと,計算間違いが少なくなります. (2)Aで△AOBの面積が12と求まっていて,△ACBの面積が3になるのだから,面積が4分の1になればよいということです. ここで△ACDと△AOBは相似図形だから,DC : BO=1 : 4のとき,AC : AO=1 : 4になる. したがって,Cのx座標は−3 CはAO : y=−2x上の点だから,y座標は6 結局,C(−3, 6), B(2, 2)を通る直線の方程式を求めたらよい.
求める直線の方程式をy=mx+nとおく
C(−3, 6)を通るから 6=−3m+n…(i) B(2, 2)を通るから 2=2m+n…(ii) (i)(ii)の連立方程式を解いてm, nを求めると |
![]() 右図のような,底面の半径がrで高さがhである円錐について 底面積をS,体積をVとおくと 底面は円で,底面積はπr2になるから ※この公式は高校数学の積分を使えば証明できます. 小中学生では,よく出てくる形だということで,高校で習うものを「先取り」して「覚えて使う」ようにします. |
![]() 右のT図のように,関数y=3x2のグラフがある。このグラフ上に点Aからx軸,y軸にひいた垂線と,座標軸との交点をそれぞれB, Cとする。点Aのx座標が2であるとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1) △OACをy軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(2) 略 (京都府1999年入試問題)
![]() (1) 右図のような円錐(上端が底面)になる. Aのx座標が2だから,y座標は3×22=12 底面の半径はAC=2 円錐の高さはCO=12 円錐の体積は |
![]() 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+b(a>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。 次の(1)〜(2)に答えなさい。 (1)(3)略 (2) b=4のとき,△OTPをy軸を軸として,1回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし,座標軸の単位の長さを1cmとする。 (青森県1999年入試問題)
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![]() 右の図のように,関数y=ax2(aは定数)のグラフ上に2点A, Bがあり,Aの座標は(−2, −2)である。また,点Oは原点,点Pは直線ABとy軸との交点であり,AP:PB=1:2である。このとき,次の各問いに答えなさい。 (1) aの値を求めよ。 (2) 直線ABの式を求めよ。 (3) 3点O, A, Pを頂点とする三角形がx軸を軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。ただし,円周率はπとする。 (熊本県2000年入試問題)
(2) y=−x−4 (3) 次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.) |