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茶

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桃

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
(1)　OA=5, OC=4, ∠AOC=θである平行四辺形OABCにおいて，線分OAを3 : 2に内分する点をDとする。また，点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし，0<θ<πとする。
　以下，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\overrightarrow{c}}$とおき，実数tを用いて${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{E}}=t\overrightarrow{c}}$と表す。
(1)　tを用いてcosθを表そう。

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=t\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{B}}=}$

ア

イ

${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=}$ウエcosθ

となるので，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{B}}=}$オにより

t=

カ(キcosθ+1)

ク(cosθ+ケ)

･･･①

となる。

(1)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$
${\displaystyle =\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}$→ア,イ
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\mathrm{O}\mathrm{A}\cdot \mathrm{O}\mathrm{C}\cos \theta =20\cos \theta }$→ウエ
仮定により，AE⊥DBだから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{B}}=0}$→オ
${\displaystyle (t\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot (\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=0}$
${\displaystyle \frac{2}{5}t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}-\frac{2}{5}|\overrightarrow{a}{|}^2+t|\overrightarrow{c}{|}^2-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0}$
${\displaystyle 8t\cos \theta -10+16t-20\cos \theta =0}$
${\displaystyle (8\cos \theta +16)t=20\cos \theta +10}$
${\displaystyle t=\frac{20\cos \theta +10}{8\cos \theta +16}=\frac{10(2\cos \theta +1)}{8(\cos \theta +2)}}$
${\displaystyle t=\frac{5(2\cos \theta +1)}{4(\cos \theta +2)}}$→カ,キ,ク,ケ
→解説を隠す←

(2)　点Eは線分OC上にあるとする。θのとり得る値の範囲を求めよう。ただし，線分OCは両端の点O, Cを含むものとする。以下，r=cosθとおく。
　点Eが線分OC上にあることから，0≦t≦1である。0<r<1なので，①の右辺のcosθをrに置き換えた分母ク(r+ケ)は正である。したがって，条件0≦t≦1は
0≦カ(キr+1)≦ク(r+ケ)　･･･②
となる。
　rについての不等式②を解くことにより，θのとり得る値の範囲は

π

コ

≦θ≦

サ

シ

π

であることがわかる。

(2)
${\displaystyle 0\leqq t=\frac{5(2r+1)}{4(r+2)}\leqq 1}$
かつ，分母の${\displaystyle 4(r+2)>0}$だから
${\displaystyle 0\leqq 5(2r+1)\leqq 4(r+2)}$
${\displaystyle 0\leqq 5(2r+1)}$から
${\displaystyle r\geqq -\frac{1}{2}}$
${\displaystyle 5(2r+1)\leqq 4(r+2)}$から
${\displaystyle 10r+5\leqq 4r+8}$
${\displaystyle 6r\leqq 3}$
${\displaystyle r\leqq \frac{1}{2}}$
以上から
${\displaystyle -\frac{1}{2}\leqq r=\cos \theta \leqq \frac{1}{2}}$
${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq \theta \leqq \frac{2}{3}\pi }$→コ,サ,シ
→解説を隠す←

(3)　${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{8}}$とする。直線AEと直線BDの交点をFとし，三角形BEFの面積を求めよう。①により，

t=

ス

セ

となり，

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{F}}=}$

ソ

タ

${\displaystyle \overrightarrow{a}+}$

チ

ツ

${\displaystyle \overrightarrow{c}}$

となる。したがって，点Fは線分AEを1 : テに内分する。このことと，平行四辺形OABCの面積は

トナ${\displaystyle \sqrt{}}$ニ

ヌ

であることから，三角形BEFの面積は

ネ${\displaystyle \sqrt{}}$ノ

ハ

である。

(3)
${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{8}}$のとき
${\displaystyle t=\frac{5(2\cos \theta +1)}{4(\cos \theta +2)}=\frac{5\times \frac{3}{4}}{4\times \frac{15}{8}}}$
${\displaystyle =\frac{15}{4}\times \frac{8}{4\times 15}=\frac{1}{2}}$→ス,セ
Fは直線DB上にあるから，実数0<p<1を用いて，次の形に書ける
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{F}}=\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+p(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\frac{3}{5}\overrightarrow{a})}$
${\displaystyle =(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}p)\overrightarrow{a}+p\overrightarrow{c}}$･･･(#1)
また，Fは直線AE上にあるから，実数0<q<1を用いて，次の形に書ける
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{F}}=\overrightarrow{a}+q(\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})}$
${\displaystyle =(1-q)\overrightarrow{a}+\frac{q}{2}\overrightarrow{c}}$･･･(#2)
(#1)(#2)において，${\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{c}}$は平行でもなく，零ベクトルでもないから，次の関係が成り立つ
${\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}p=1-q}$
${\displaystyle p=\frac{q}{2}}$
この連立方程式を解くと
${\displaystyle p=\frac{2}{3},q=\frac{1}{3}}$
したがって
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{F}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{c}}$→ソ,タ,チ,ツ
→解説を隠す←

${\displaystyle q=\frac{1}{3}}$だから，AF:FE=1:2→テ
□OABC=OA·OCsinθ
ここで
${\displaystyle \sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{1}{64}}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{63}}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{8}}$
だから
□OABC=${\displaystyle 5\times 4\times \frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{15\sqrt{7}}{2}}$→ト,ナ,ニ,ヌ
　右図において，三角形ABEと平行四辺形OABCは底辺ABが共通で，高さの共通だから，三角形ABEの面積は平行四辺形OABCの面積の半分．
　さらに，三角形ABEと三角形BEFは，底辺の長さの比が三角形AE:FE=3:2で高さが共通だから，三角形BEFの面積は三角形ABEの面積の３分の２
△BEF=□OABC${\displaystyle \times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{15\sqrt{7}}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{5\sqrt{7}}{2}}$→ネ,ノ,ハ
→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
　座標空間において，立方体OABC-DEFGの頂点を
とし，ODを2:1に内分する点をK，OAを1:2に内分する点をLとする。BF上の点M，FG上の点NおよびK, Lの4点は同一平面上にあり，四角形KLMNは平行四辺形であるとする。
(1)　四角形KLMNの面積を求めよう。ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$を成分で表すと
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$=(アイ，ウ，エ)
となり，四角形KLMNが平行四辺形であることにより，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$=オである。オに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。
　ここで，M(3, 3, s), N(t, 3, 3)と表すと，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$=オであるので，s=カ，t=キとなり，NはFGを1:クに内分することがわかる。
　また，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$と${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$について
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$ケ，${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}\mid =}$${\displaystyle \sqrt{}}$コ　， ${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}\mid =}$${\displaystyle \sqrt{}}$サシ　
となるので，四角形KLMNの面積は${\displaystyle \sqrt{}}$スセ　である。

(1)
K(0, 0, 2), L(1, 0, 0)だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=(-1,0,2)}$→アイ,ウ,エ
四角形KLMNは平行四辺形であるから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$→③ オ
M(3, 3, s), N(t, 3, 3)のとき，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}=(t-3,0,3-s)}$だから，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$となるには
より，s=1, t=2→カ,キ
N(2, 3, 3)となるから，GN=2, NF=1
NはFGを1:2に内分する→ク

K(0, 0, 2), L(1, 0, 0), M(3, 3, 1)だから，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=(-1,0,2)}$，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}=(2,3,1)}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}=-2+0+2=0}$→ケ
${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}\mid =\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}}$→コ
${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}\mid =\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}}$→サシ

ケの解答から，LK⊥LMだから
□KLMN=LK×LM=${\displaystyle \sqrt{5}\times \sqrt{14}=\sqrt{70}}$→スセ
→解説を隠す←

(2)　四角形KLMNを含む平面をαとし，点Oを通り平面αと垂直に交わる直線をℓ，αとℓの交点をPとする。${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\mid }$と三角錐OLMNの体積を求めよう。
　P(p, q, r)とおくと，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}}$は${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$および${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$と垂直であるから，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}=}$ソとなるので，

p=タr, q=

チツ

テ

rであることがわかる。${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}}$と

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{L}}}$が垂直であることによりr=

ト

ナニ

となり，${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\mid }$を

求めると

${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\mid =}$

ヌ${\displaystyle \sqrt{}}$ネノ

ハヒ

である。${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\mid }$は三角形LMNを底面とする三角錐OLMNの高さであるから，三角錐OLMNの体積はフである。

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=(-1,0,2)}$，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}=(2,3,1)}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(p,q,r)}$において，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}}$は${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}}$および${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$と垂直であるから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{K}}=-p+2r=0}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}=2p+3q+r=0}$
→ソ
より，${\displaystyle p=2r,q=-\frac{5}{3}r}$→タ,チツ,テ
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(p,q,r)}$，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{L}}=(1-p,-q,-r)}$で，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\perp \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{L}}}$だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{L}}=p(1-p)-q^2-r^2=0}$
この式に上記のタ,チ,ツ,テの結果を代入すると
${\displaystyle 2r(1-2r)-\frac{25}{9}{r}^2-r^2=0}$
この方程式を解くと
${\displaystyle r=0,\frac{9}{35}}$
${\displaystyle r=0}$のときは，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\overrightarrow{0}}$となって題意に合わないから，${\displaystyle r=\frac{9}{35}}$→ト,ナニ
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|=\sqrt{p^2+q^2+r^2}}$
${\displaystyle =\sqrt{4r^2+\frac{25}{9}{r}^2+r^2}=\sqrt{\frac{70}{9}{r}^2}}$
${\displaystyle =\sqrt{\frac{70}{9}}\times \frac{9}{35}=\frac{3\sqrt{70}}{35}}$→ヌ,ネノ,ハヒ
三角錐OLMNの底面積は平行四辺形KLMNの半分で，高さは共通のOPだから，三角錐OLMNの体積は
${\displaystyle V=\sqrt{70}\times \frac{3\sqrt{70}}{35}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=1}$→フ
→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
　1辺の長さが1のひし形OABCにおいて，∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし，直線BC上に点Qを${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$となるようにとる。以下，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{b}}$とおく。
(1)　三角形OPQの面積を求めよう。

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=}$

ア

イ

${\displaystyle \overrightarrow{a}+}$

ウ

イ

${\displaystyle \overrightarrow{b}}$

である。実数tを用いて${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+t\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}}$と表されるので，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=}$エ${\displaystyle t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$である。

ここで，${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=}$

オ

カ

，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=}$キである

ことから，t=

ク

ケ

である。

これらのことから，${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\mid =}$

${\displaystyle \sqrt{}}$コ

サ

，${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\mid =}$

${\displaystyle \sqrt{}}$シス

セ

である。よって，三角形OPQの面積S1は，

S1=

ソ${\displaystyle \sqrt{}}$タ

チツ

である。

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}}$→ア,イ,ウ,エ
次に，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=0}$
${\displaystyle (\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b})\cdot (-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0}$
${\displaystyle (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot (-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0}$
${\displaystyle -t|\overrightarrow{a}{|}^2-2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2|\overrightarrow{b}{|}^2=0}$
${\displaystyle -t-t+\frac{1}{2}+2=0}$
${\displaystyle 2t=\frac{5}{2}}$
${\displaystyle t=\frac{5}{4}}$→ク,ケ
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}{|}^2=|\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}{|}^2}$
${\displaystyle =\frac{1}{9}|\overrightarrow{a}{|}^2+\frac{4}{9}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{b}{|}^2}$
${\displaystyle =\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}}$
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|=\frac{\sqrt{7}}{3}}$→コ,サ
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}{|}^2=|-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2}$
${\displaystyle =\frac{25}{16}|\overrightarrow{a}{|}^2-\frac{5}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2}$
${\displaystyle =\frac{25}{16}-\frac{5}{4}+1=\frac{25-20+16}{16}=\frac{21}{16}}$
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}|=\frac{\sqrt{21}}{4}}$→シス,セ
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$だから
${\displaystyle S_1=\mathrm{O}\mathrm{P}\cdot \mathrm{O}\mathrm{Q}=\frac{\sqrt{7}}{3}\times \frac{\sqrt{21}}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{24}}$→ソ,タ,チツ
→解説を隠す←

(2)　辺BCを1:3に内分する点をRとし，直線ORと直線PQとの交点をTとする．${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{T}}}$を${\displaystyle \overrightarrow{a}}$と${\displaystyle \overrightarrow{b}}$を用いて表し，三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。
　Tは直線OR上の点であり，直線PQ上の点でもあるので，実数r, sを用いて
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}+s\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$

と表すと，r=

テ

ト

，s=

ナ

ニ

となることがわかる。

よって，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{T}}=}$

ヌネ

ノハ

${\displaystyle \overrightarrow{a}+}$

ヒ

フ

${\displaystyle \overrightarrow{b}}$である。

　上で求めたr, sの値から，三角形OPQの面積S1と，三角形PRTの面積S2との比は，S1:S2=ヘホ:2である。

(2)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+(-\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}})=-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}+s\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$より
${\displaystyle r(-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(1-s)(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b})+s(-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
${\displaystyle -\frac{1}{4}r\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b}=(\frac{1-s}{3}-\frac{5s}{4})\overrightarrow{a}+(\frac{2-2s}{3}+s)\overrightarrow{b}}$
${\displaystyle =\frac{4-19s}{12}\overrightarrow{a}+\frac{2+s}{3}\overrightarrow{b}}$
ここで，${\displaystyle \overrightarrow{a}}$∦${\displaystyle \overrightarrow{b}}$かつ${\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}}$だから（ベクトルの一次独立により）
${\displaystyle -\frac{1}{4}r=\frac{4-19s}{12}}$
${\displaystyle r=\frac{2+s}{3}}$
この連立方程式を解くと
${\displaystyle r=\frac{2+s}{3}}$→テ,ト,ナ,ニ
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}}=\frac{7}{9}(-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
このとき
${\displaystyle =-\frac{7}{36}\overrightarrow{a}+\frac{7}{9}\overrightarrow{b}}$→ヌネ,ノハ,ヒ,フ
△OPQ:△PRT=S1:S2
において
PT:TQ=s:(1−s)=1:2, OT:TR=7:2
${\displaystyle S_1:S_2=7:2\times \frac{1}{3}=21:2}$→ヘホ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
　四面体OABCにおいて，${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}|=3,}$${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}|=|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}|=2,}$∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また，辺OA上に点Pをとり，辺BC上に点Qをとる。以下，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\overrightarrow{c}}$とおく。
(1)　0≦s≦1, 0≦t≦1であるような実数s, tを用いて${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=s\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}}$と表す。
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}$=ア，${\displaystyle \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}}$=イであることから
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{|}^2=(}$ウs−エ${\displaystyle {)}^2+(}$オt−カ${\displaystyle {)}^2+}$キ

となる。したがって，${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}|}$が最小となるのはs=

ク

ケ

，

t=

コ

サ

のときであり，このとき${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}|=}$${\displaystyle \sqrt{}}$シ　とな

る。

(1)
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\times 2\times \cos {60}^{\circ }=3\times 2\times \frac{1}{2}}$
=3
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3\times 2\times \cos {60}^{\circ }=3\times 2\times \frac{1}{2}}$
=3→ア
${\displaystyle \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2\times 2\times \cos {60}^{\circ }=2\times 2\times \frac{1}{2}}$
=2→イ
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{|}^2=|(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}-s\overrightarrow{a}{|}^2}$
${\displaystyle =(1-t{)}^2|\overrightarrow{b}{|}^2+t^2|\overrightarrow{c}{|}^2+s^2|\overrightarrow{a}{|}^2}$
${\displaystyle +2t(1-t)\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}-2st\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}-2s(1-t)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$
${\displaystyle =4(1-t{)}^2+4t^2+9s^2+4t(1-t)-6st-6s(1-t)}$
${\displaystyle =9s^2-6s+4t^2-4t+4}$
${\displaystyle =(3s-1{)}^2-1+(2t-1{)}^2-1+4}$
${\displaystyle =(3s-1{)}^2+(2t-1{)}^2+2}$→ウ,エ,オ,カ,キ
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}|}$が最小となるのは
${\displaystyle s=\frac{1}{3},t=\frac{1}{2}}$のとき→ク,ケ,コ,サ
このとき
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}|=\sqrt{2}}$→シ
→解説を隠す←

(2)　三角形ABCの重心をGとする。${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}|=}$${\displaystyle \sqrt{}}$シ　のとき，三角形GPQの面積を求めよう。
　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=}$ スから，∠APQ=セソ°である。
したがって，三角形APQの面積は${\displaystyle \sqrt{}}$タ　である。また

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{G}}=}$

チ

ツ

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+}$

テ

ト

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$

であり，点Gは線分AQをナ:1に内分する点である。
　

以上のことから，三角形GPQの面積は

${\displaystyle \sqrt{}}$ニ

ヌ

である。

(2)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}}$のとき
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\overrightarrow{a}\cdot (\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a})}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}-\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}{|}^2}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}(3+3)-\frac{1}{3}\times 3^2=0}$→ス
∠APQ=180°−∠OPQ=90°→セ,ソ
△APQ=AP×PQ÷2
=2×${\displaystyle \sqrt{2}÷2=\sqrt{2}}$→タ
△ABCの重心Gは，AとBCの中点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分するから→ナ
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{G}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}}$→チ,ツ,テ,ト
スの結果からOA⊥PQだから
△OAQ=OA×PQ÷2=${\displaystyle 3\times \sqrt{2}÷2}$
△PAQ=△OAQ×${\displaystyle \frac{2}{3}}$
さらに
△GPQ=△PAQ×${\displaystyle \frac{1}{3}}$
したがって
△GPQ=${\displaystyle 3\times \sqrt{2}÷2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}}$→ニ,ヌ
→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
　座標平面上に点A(2, 0)をとり，原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B, C, D, E, Fを，点A, B, C, D, E, Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし，Bは第1象限にあるとする。
(1)　点Bの座標は(ア，${\displaystyle \sqrt{}}$イ　)，点Dの座標は(−ウ，0)である。
(2)　線分BDの中点をMとし，直線AMと直線CDの交点をNとする。${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}}$を求めよう。
　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}}$は実数r, sを用いて，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+r\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}}$，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{D}}+s\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}}$と2通りに表すことができる。ここで

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}=(-}$

エ

オ

，

${\displaystyle \sqrt{}}$カ

キ

${\displaystyle )}$

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}}$= ( ク，${\displaystyle \sqrt{}}$ケ　)
であるから

r=

コ

サ

，s=

シ

ス

である。よって

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}=(-}$

セ

ソ

，

タ${\displaystyle \sqrt{}}$チ

ツ

${\displaystyle )}$

である。

(1)
△OABは正三角形であるから
${\displaystyle \mathrm{B}(1,\sqrt{3})}$→ア,イ
OA=ODであるから
D(−2, 0)→ウ
(2)
${\displaystyle \mathrm{B}(1,\sqrt{3}),\mathrm{D}(-2,0)}$の中点Mの座標は
${\displaystyle (\frac{1-2}{2},\frac{\sqrt{3}+0}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}$
だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}=(-\frac{1}{2}-2,\frac{\sqrt{3}}{2}-0)=(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}$→エ,オ,カ,キ (#1)
${\displaystyle \mathrm{C}(-1,\sqrt{3}),\mathrm{D}(-2,0)}$だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}=(1,\sqrt{3})}$→ク,ケ (#2)
(#1)(#2)を${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+r\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{D}}+s\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}}$に代入すると
${\displaystyle (2,0)+r(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(-2,0)+s(1,\sqrt{3})}$
x, y成分に分けると
${\displaystyle 2-\frac{5}{2}r-2+s⟹4-5r=-4+2s}$･･･(#3)
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}s⟹r=2s}$･･･(#4)
(#4)を(#3)に代入
4−10s=−4+2s
12s=8
${\displaystyle s=\frac{2}{3}}$→シ,ス
${\displaystyle r=\frac{4}{3}}$→コ,サ
よって
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+r\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}}$
${\displaystyle =(2,0)+\frac{4}{3}(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}$
${\displaystyle =(2,0)+(-\frac{10}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})}$
${\displaystyle =(-\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})}$→セ,ソ,タ,チ,ツ
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(3)　線分BF上に点Pをとり，そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と，点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{P}}}$が
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{P}}}$= ( テ，ト+${\displaystyle \sqrt{}}$ナ　)
と表せることにより，Hの座標をaを用いて表すと

${\displaystyle (}$

ニaヌ+ネ

ノ

，ハ${\displaystyle )}$

である。
　さらに，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}}$と${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}}$のなす角をθとする。${\displaystyle \cos \theta =\frac{12}{13}}$のとき，aの値は

a=±

ヒ

フヘ

である。

(3)
${\displaystyle \mathrm{P}(1,a),\mathrm{E}(-1,-\sqrt{3})}$だから
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{P}}=(2,a+\sqrt{3})}$→テ,ト,ナ
${\displaystyle \mathrm{C}(-1,\sqrt{3})}$だからH(x, a)とおくと
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{H}}=(x+1,a-\sqrt{3})}$
CH⊥EPにより
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{P}}=2(x+1)+(a^2-3)=0}$
${\displaystyle 2x+a^2-1=0}$
${\displaystyle x=\frac{1-a^2}{2}}$
${\displaystyle \mathrm{H}(\frac{-a^2+1}{2},a)}$→ニ,ヌ,ネ,ノ,ハ
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(1,a),\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(\frac{-a^2+1}{2},a)}$のなす角をθとすると
${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}}{|\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}|\cdot |\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}|}}$
${\displaystyle =\frac{\frac{1-a^2}{2}+a^2}{\sqrt{1+a^2}\times \sqrt{(\frac{1-a^2}{2}{)}^2+a^2}}}$
${\displaystyle =\frac{\frac{1+a^2}{2}}{\sqrt{1+a^2}\times \sqrt{\frac{1-2a^2+a^4+4a^2}{4}}}}$
${\displaystyle =\frac{\frac{1+a^2}{2}}{\sqrt{1+a^2}\times \sqrt{\frac{1+2a^2+a^4}{4}}}}$
${\displaystyle =\frac{\frac{1+a^2}{2}}{\sqrt{1+a^2}\times \frac{1+a^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{12}{13}}$
${\displaystyle 1+a^2=\frac{169}{144}}$
${\displaystyle a^2=\frac{25}{144}}$
${\displaystyle a=\pm \frac{5}{12}}$→ヒ,フ,ヘ
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【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第4問（選択問題）
　aを0<a<1を満たす定数とする。三角形ABCを考え，辺ABを1:3に内分する点をD，辺BCをa:(1−a)に内分する点をE，直線AEと直線CDの交点をFとする。${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{A}}=\overrightarrow{p},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{B}}=\overrightarrow{q},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{C}}=\overrightarrow{r}}$とおく。
(1)　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=}$アであり
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}{|}^2=|\overrightarrow{p}{|}^2-}$イ${\displaystyle \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}+|\overrightarrow{q}{|}^2}$･･･①
である。ただし，アについては，当てはまるものを,次の⓪～③のうちから一つ選べ。 (2)　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$を${\displaystyle \overrightarrow{p}}$と${\displaystyle \overrightarrow{q}}$を用いて表すと

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{D}}=}$

ウ

エ

${\displaystyle \overrightarrow{p}+}$

オ

カ

${\displaystyle \overrightarrow{q}}$･･･②

である。

(1)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}}$→②ア
${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}{|}^2=(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})\cdot (\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})}$
${\displaystyle =|\overrightarrow{p}{|}^2-2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}+|\overrightarrow{q}{|}^2}$→イ
(2)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{D}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{p}+\frac{1}{4}\overrightarrow{q}}$→ウ,エ,オ,カ
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(3)　s, tをそれぞれ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{D}}=s\overrightarrow{r},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{E}}=t\overrightarrow{p}}$となる実数とする。sとtをaを用いて表そう。
　${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{D}}=s\overrightarrow{r}}$であるから，②により
${\displaystyle \overrightarrow{q}=}$キク${\displaystyle \overrightarrow{p}+}$ケ${\displaystyle s\overrightarrow{r}}$･･･③
である。また，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{E}}=t\overrightarrow{p}}$であるから

${\displaystyle \overrightarrow{q}=}$

t

コ−サ

${\displaystyle \overrightarrow{p}-}$

シ

コ−サ

${\displaystyle \overrightarrow{r}}$･･･④

である。③と④により

s=

スセ

ソ(コ−サ)

t=タチ(コ−サ)
である。