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== 位置ベクトルの応用 ==

◇公式の要約◇
２点 A( ) , B( ) を結ぶベクトル →AB は，→AB = −

○補足説明

　記号　A( )　は，関数の記号 f(x) とは無関係。
平面の座標を表わすときに，「点 A，その座標を (3 , 4) とおく」というのを A(3 , 4) と書くのと同様にして，
「点A，その位置ベクトルを とおく」というのを単に，点 A( ) と書く。

【注意】　 →AB = − ではない！
２点 A( ) , B( ) の中点 M の位置ベクトル は，
=

○補足説明

２点 A( ) , B( ) を結ぶ線分 AB m : n に内分する点 P の位置ベクトル は，
=

○補足説明

△ABC の頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 ，， とすると，△ABC の重心 G の位置ベクトルは，
=

○補足説明



■　問題　次の空欄を埋めなさい。
（半角数字［１バイト文字］で答えてください）
(1)　△ABC の線分 AB,BC,CA の中点を各々 L,M,N とする。△ABC の重心 G と△LMN の重心 G ’ は一致することを証明しなさい。
(証明)
A,B,C の位置ベクトルを各々 ，， とおくと，重心 G の位置ベクトルは，

= ・・・(ア)

L,M,N の位置ベクトルは各々

, ,
だから，

重心 G ’の位置ベクトルは，


== ・・・(イ)

(ア)(イ)より G , G’ の位置ベクトルが等しいから G , G’ は一致する。

(2)　△ABC 頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 , , とするとき，右の空欄を埋めなさい。
線分 AB を２：１に内分する点を P，線分 CA の中点を Q とするとき，P , Q の位置ベクトル , を， , , で表わすと

 = , =

→PQ を ，， で表わすと，

 →PQ=−=

(3)　△ABC と点 P について

→PA+2→PB+3→PC=2→AB

が成り立っているとき，点 P はどのような点か。
A , B , C , P の位置ベクトルを各々 ，，， とおくと，
( −) + 2(−) + 3( − ) = 2( − ) より，
+ 2 + 3 − = 2−2
= となるから，P は AC の。

(4)　△ABCと点 P について

 2→PA+ 3→PB+ 4→PC=

が成り立っているとき，点 P はどのような点か。
A,B,C,P の位置ベクトルを各々 ，，， とおく。
 2(− )+ 3( − )+ 4( − )= より，

=


= と変形すると，

線分 AB を ： に内分する点を D とするとき，
線分 DC を ： に内分する点が P となる。


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