位置ベクトルの応用

(1)２点 $A(\vec{a}),\hspace{5}B(\vec{b})$ を結ぶベクトルは,
$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

$\vec{a}-\vec{b}$ ではなく、
$\vec{b}-\vec{a}$ である点に注意
※　(終点) − (始点) の形が重要

（記号についての注意）
　高校の数学では，点Aの座標が $(3,\hspace{5}4)$ であるとき， $A(3,\hspace{5}4)$ と書き， $A=(3,\hspace{5}4)$ とは書かないのと同様に，点Aの位置ベクトルが $\vec{a}$ であるとき， $A(\vec{a})$ と書き， $A=\vec{a}$ とは書きません．
　大学の数学と違って，点の関数などを考えないので，点が点以外の何かに等しいという記号を使う必要がありません．
　「A，その位置ベクトルは $\vec{a}$ 」という感じに棒読みに受け取るとよい．

■解説■
$\vec{OA}=\vec{a},\hspace{5}\vec{OB}=\vec{b}$

だから
$\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}$
$=-\vec{OA}+\vec{OB}$
$=-\vec{a}+\vec{b}$
$=\vec{b}-\vec{a}$

[考え方のポイント]
分かっている道（青の道）をつないで，
分からない道（赤の道）の別ルートを作る！

(2)２点 $A(\vec{a}),\hspace{5}B(\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は，

$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+ m\vec{b}}{m+ n}$

　特に， $A(\vec{a}),\hspace{5}B(\vec{b})$ の中点Mの位置ベクトル $\vec{m}$ は，

$\vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

■解説■

求めているのはPの位置ベクトルなので， $\vec{AP}$ ではなくて $\vec{OP}$ であることに注意
（直線ABの中に入っているものではなく，原点OからPに向かっているものが位置ベクトル）

　まず $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
　次に,この $\vec{AB}$ を $\frac{m}{m+ n}$ 倍に縮めると
$\vec{AP}=\frac{m}{m+ n}(\vec{b}-\vec{a})$
できたベクトルを $\vec{OA}$ につぎ足すと
$\vec{OA}+\vec{AP}=\vec{a}+\frac{m}{m+ n}(\vec{b}-\vec{a})$
$\vec{OP}=\frac{m\vec{a}+ n\vec{a}+ m(\vec{b}-\vec{a})}{m+ n}$
$=\frac{n\vec{a}+ m\vec{b}}{m+ n}$

※結果としてできた公式を見てみると，
ABをm:nに内分するとき， $\vec{a}$ には図形的に遠い方の比率nを掛けています． $\vec{b}$ には図形的に遠い方の比率mを掛けています．
（「いじわる公式」「へそ曲げ公式」と覚えておくと間違わない）

【問題１】
　△ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ とし， AB, BC, CAの中点をL, M, Nとするとき，次のベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ を用いて表しなさい。

○初めに問題を選び，続いて選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。
○［解説］を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選択すれば，解答を再開できます．

【問題２】
　△ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ とし，

ABを2:1に内分する点をP，BCを2:1に内分する点をQ，CAを2:1に内分する点をRとする。さらに，PQの中点をS，QRを2:1に内分する点をT，RPを1:2に内分する点をUとする。
　次の各点の位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ を用いて表しなさい。

○初めに問題を選び、続いて選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。
○間違った場合，HELPボタンは問題の下，解説は選択肢の下に出ます．
○［解説］を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選択すれば，解答を再開できます．