交点の内分比，ベクトル，複素数，メネラウスの定理,チェバの定理

【このページのテーマ】

このページでは，次のような問題を，平面幾何の定理やベクトル（複素数）を使って解く方法を考えます.

　△ABCにおいて，ABをk:lに内分する点をP，CAをm:nに内分する点をRとし，CPとBRの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPは幾らになるか？

【要点１：メネラウスの定理】

(メネラウスはギリシャの数学者,1世紀

　直線lが△ABCの３辺AB, BC, CAまたはその延長と，それぞれ，P, Q, Rで交わるとき，次の式が成り立つ．
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　右の図では，交点Qだけ変な位置にあるように見えるが，１つの直線と３辺AB, BC, CAの交点を考えるとき，少なくとも１つの交点は辺の延長上に来る．
　③：BC→④：CQと見るのではなく，上の定理のように③：BQ→④：QCと正しく読むには，機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよい．

【要するに】

分母と分子を逆に覚えても（①③⑤を分母にしても）結果が１になるのだから，式としては正しい．
通常，「メネラウスの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている．

※証明はこのページ

【要点２：チェバの定理】

(チェバはイタリアの数学者,17世紀

　△ABCの辺上にない１点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとするとき，次の式が成り立つ．
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$

※チェバの定理の式自体は，メネラウスの定理と全く同じ形になりますが，P, Q, Rの場所が違います．
メネラウスの定理では３点P, Q, Rは１直線上に並びますが，チェバの定理では，それぞれ辺AB, BC, CAにあります．

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよいのもメネラウスの定理と同じ．

【要するに】

分母と分子を逆に覚えても（①③⑤を分母にしても）結果が１になるのだから，式としては正しい．
通常，「チェバの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている．

※チェバの定理は，点Oが△ABCの外部にある場合にも証明できる．
※証明はこのページ

【要点3：直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】

　右図のような△OABにおいて，辺OAを3:2に内分する点をC，辺OBを4:5に内分する点をDとするとき，直線ADと直線BCの交点Pの位置ベクトル $\vec{OP}$ を求める方法

　Pは直線BC上にあるから
$\vec{OP}=\vec{OC}+ s\vec{CB}$
（sは１よりも小さな実数，つまりCBを何倍に縮小したらCPになる）
$\vec{OP}=\frac{3}{5}\vec{a}+ s(\vec{b}-\frac{3}{5}\vec{a})=\frac{3}{5}(1-s)\vec{a}+ s\vec{b}$ …(1)
また，Pは直線AD上にあるから
$\vec{OP}=\vec{OD}+ t\vec{DA}$
（tは１よりも小さな実数，つまりDAを何倍に縮小したらDPになる）
$\vec{OP}=\frac{4}{9}\vec{b}+ t(\vec{a}-\frac{4}{9}\vec{b})=t\vec{a}+ \frac{4}{9}(1-t)\vec{b}$ …(2)
ADとBCの交点Pは(1)(2)の両方を満たす．逆に(1)(2)の両方を満たす点はADとBCの交点になる．そこで(1)(2)が成立するような実数s, tを求めるとよい．
$\frac{3}{5}(1-s)\vec{a}+ s\vec{b}=t\vec{a}+ \frac{4}{9}(1-t)\vec{b}$ …(3)

【ベクトルの１次独立】
■1 一般に，平行でなく零ベクトルでもない２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ が
$s\vec{a}+ t\vec{b}=\vec{0}$
を満たすなら
$s=0,\hspace{5}t=0$
が成り立ちます．

（証明）
$s\ne 0$ ならば， $\vec{a}=-\frac{t}{s}\vec{b}$ と変形できて， $\vec{a}//\vec{b}$ となる．これは平行でないという仮定に反する．よって， $s=0$
次に， $s=0$ なら， $t\vec{b}=\vec{0}$ になるが， $\vec{b}$ は零ベクトルでないから $t=0$
以上により， $s=0,\hspace{5}t=0$

■2 上記の定理から，次の定理が導かれる．
　平行でなく零ベクトルでもない２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ が
$s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}=s_2\vec{a}+ t_2\vec{b}$
を満たすなら
$s_1=s_2,\hspace{5}t_1=t_2$
が成り立つ．

（証明）
$s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}=s_2\vec{a}+ t_2\vec{b}$
ならば， $(s_1-s_2)\vec{a}+ (t_1-t_2)\vec{b}=\vec{0}$ となり，上記の結果から $s_1-s_2=0,\hspace{5}t_1-t_2=0$ がいえる．

(3)より，次の連立方程式を解けばよいことになります．

$\frac{3}{5}(1-s)=t$
$s=\frac{4}{9}(1-t)$
この連立方程式を解くと， $s=\frac{8}{33},\hspace{5}t=\frac{5}{11}$ となるから（途中経過は各自確認してください）
これを(1)または(2)に代入すると
$\vec{OP}=\frac{15\vec{a}+ 8\vec{b}}{33}$ …(答)

※この問題を，複素数平面上において直線の交点を求めることにした場合，点A, B, Pを表す複素数を各々α, β, zとおけば，上記とほとんど同じ形で求められます．

【要点４：内分点の公式を２段階に使う方法】

　右図１のように，２点A, Bの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ とすると，線分ABをm:nに内分する点Xの位置ベクトルは
$\frac{n\vec{a}+ m\vec{b}}{m+ n}$
になります．

　右図２のように，３点A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ とすると，
$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}$
で表される点は

ABをq:pに内分する点をDとするとき，DCをr:(q+p)に内分する点になります． …(1)

BCをr:qに内分する点をEとするとき，EAをp:(r+q)に内分する点になります． …(2)

CAをp:rに内分する点をFとするとき，FBをq:(r+p)に内分する点になります． …(3)

　図１とその公式は教科書に載っている基本なので，ここでは証明は省略する．
　図２の式は，次のように変形すると分かります．

$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{(q+ p)\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}}{q+ p}+ r\vec{c}}{r+ (q+ p)}$
は
$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}}{q+ p}$ と $\vec{c}$ をr:(q+p)に内分する． →(1)

$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{p\vec{a}+ (q+ r)\frac{q\vec{b}+ r\vec{c}}{q+ r}}{p+ (q+ r)}$
は
$\frac{q\vec{b}+ r\vec{c}}{q+ r}$ と $\vec{a}$ をp:(q+r)に内分する． →(2)

$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{q\vec{b}+ (p+ r)\frac{p\vec{a}+ r\vec{c}}{p+ r}}{q+ (p+ r)}$
は
$\frac{p\vec{a}+ r\vec{c}}{p+ r}$ と $\vec{b}$ をq:(p+r)に内分する． →(3)

【例題１】
　右図の△ABCにおいて，ABを2:3に内分する点をP，ACを5:4に内分する点をRとし，BRとCPの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（チェバの定理，メネラウスの定理で解く場合）
■チェバの定理により
$\frac{2}{3}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{4}{5}=1$
だから
$\frac{BQ}{QC}=\frac{15}{8}$
BQ:QC=15:8

次に，メネラウスの定理を使って，△ABCの内部の線分の長さの比を求める．
メネラウスの定理では，三角形と交わる直線の長さの比は出てこずに，直線によって分けられる三角形の辺の比が出てくることに注意
右図のように△ABQに直線PXCが交わるとみると，QX:XAの比が分かる

■メネラウスの定理を右図のように使うと
$\frac{2}{3}\cdot\frac{23}{8}\cdot\frac{QX}{XA}=1$
だから
$\frac{QX}{XA}=\frac{24}{46}=\frac{12}{23}$
QX:XA=12:23

■メネラウスの定理を右図のように使うと
$\frac{2}{3}\cdot\frac{BX}{XR}\cdot\frac{4}{9}=1$
だから
$\frac{BX}{XR}=\frac{27}{8}$
BX:XR=27:8

■メネラウスの定理を右図のように使うと
$\frac{5}{3}\cdot\frac{PX}{XC}\cdot\frac{4}{5}=1$
だから
$\frac{PX}{XC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$
PX:XC=3:4
CX:XP=4:3

例題1続き（直線の交点をベクトルや複素数で求める場合）

　右図のように点Aを原点に選んで， $\vec{AB}=\vec{b},\hspace{5}\vec{AC}=\vec{c}$ とおき，2直線CP, BRの交点Xの位置ベクトルを $\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ で表すことを考える．
　XはBR上にあるから
$\vec{AX}=\vec{AB}+ s\vec{BR}\hspace{10}(0\lt s\lt 1)$
$=\vec{b}+ s(\frac{5}{9}\vec{c}-\vec{b})$
$=(1-s)\vec{b}+ \frac{5}{9}s\vec{c}$ …(1)
　XはCP上にあるから
$\vec{AX}=\vec{AC}+ t\vec{CP}\hspace{10}(0\lt t\lt 1)$
$=\vec{c}+ t(\frac{2}{5}\vec{b}-\vec{c})$
$=\frac{2}{5}t\vec{b}+ (1-t)\vec{c}$ …(2)
(1)(2)の両方が成り立つから
$(1-s)\vec{b}+ \frac{5}{9}s\vec{c}=\frac{2}{5}t\vec{b}+ (1-t)\vec{c}$
$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は平行でなく，零ベクトルでもないから

$1-s=\frac{2}{5}t$
$\frac{5}{9}s=1-t$
この連立方程式を解くと
$s=\frac{27}{35},\hspace{5}t=\frac{4}{7}$
したがって
$BX:XR=s:(1-s)=\frac{27}{35}:\frac{8}{35}=27:8$
$CX:XP=t:(1-t)=\frac{4}{7}:\frac{3}{7}=4:3$
また， $s,\hspace{5}t$ を代入すると
$\vec{AX}=\frac{8\vec{b}+ 15\vec{c}}{35}$
だから

この変形を覚えておく方がよい

$\vec{AX}=\frac{23}{35}\cdot\frac{8\vec{b}+ 15\vec{c}}{23}$
$BQ:QC=15:8$
$AX:XQ=23:12$

※複素数平面で2直線の交点を求める場合も，ほぼ同様の答案でよい･･･B, C位置ベクトル$ \overrightarrow{\rm{AB}}=\vec{b},\overrightarrow{\rm{AC}}=\vec{c} $ の代わりに，Aを原点としたときのB, Cが表す複素数をβ, γを用いると，上記の途中計算の$\vec{b},\vec{c}$をβ, γに置き換えた式が複素数での計算式になる．

例題1続き（内分点の公式を２段階に使う場合）

［再掲］
３点A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ とすると，
$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{(q+ p)\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}}{q+ p}+ r\vec{c}}{r+ (q+ p)}$
で表される点は
ABをq:pに内分する点をPとするとき，PCをr:(q+p)に内分する点になる．

適当な場所に原点をとり，３点A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a},\hspace{5}\vec{b},\hspace{5}\vec{c}$ とすると，PはABを2:3に内分するから
$\vec{OP}=\frac{3\vec{a}+ 2\vec{b}}{5}$
XはCPをk:lに内分する点とすると
$\vec{OX}=\frac{k\frac{3\vec{a}+ 2\vec{b}}{5}+ l\vec{c}}{k+ l}$
これにより，k, lの比が何であっても， $\vec{a}$ の係数と $\vec{b}$ の係数の比は3:2になる．
p:q=3:2…(1)

RはACを5:4に内分するから
$\vec{OR}=\frac{4\vec{a}+ 5\vec{c}}{9}$
XはBRをm:nに内分する点とすると
$\vec{OX}=\frac{m\frac{4\vec{a}+ 5\vec{c}}{9}+ n\vec{b}}{m+ n}$
これにより，m, nの比が何であっても， $\vec{a}$ の係数と $\vec{c}$ の係数の比は4:5になる．
p:r=4:5…(2)

(1)(2)より，p:q:rを連比にするために，pの値をそろえると（通分する | 最小公倍数にする | 同じスケールで表す）
p:q=3:2=12:8…(1)
p:r=4:5=12:15…(2)
p:q:r=12:8:15
$\vec{OX}=\frac{12\vec{a}+ 8\vec{b}+ 15\vec{c}}{35}$ …(*)

(*)により
$\vec{OX}=\frac{20\frac{12\vec{a}+ 8\vec{b}}{20}+ 15\vec{c}}{35}=\frac{20\vec{OP}+ 15\vec{c}}{35}$
は，CPを20:15=4:3に内分する．
$\vec{OX}=\frac{12\vec{a}+ 23\frac{8\vec{b}+ 15\vec{c}}{23}}{35}=\frac{12\vec{a}+ 23\vec{OQ}}{35}$
は，AQを23:12に内分する．
また，BCを15:8に内分する．
$\vec{OX}=\frac{8\vec{b}+ 27\frac{12\vec{a}+ 15\vec{c}}{27}}{35}=\frac{8\vec{b}+ 27\vec{OR}}{35}$
は，BRを27:8に内分する．

（全部できなければならない訳ではない．
どの方法を「自分の得意技」にするか：筆者の印象）
■「三辺の内分比」は，チェバの定理を覚えていればできる．「三角形の内部の線分の比」をメネラウスの定理で解くためには，三角形と交わる直線の選び方に頭を使わなければならない．
■ベクトル（または複素数）を使って２直線の交点を求める方法は，考え方は簡単であるが，計算は大変
■内分点を２段階に使う方法は，p:q:rを求めると，全部の比が分かるが，三角形の内部の点は
$\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}\hspace{5}(p,q,r\gt 0)$
で表せるということが分かっていなければならないので，その考え方に慣れるまでが大変かもしれない．
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【例題２】
　右図の△ABCにおいて，ABを1:3に内分する点をP，BCを1:2に内分する点をQとし，BRとCPの交点をXとする．さらに，BXの延長がACと交わる点をRとする．
　このとき，CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

CR:RA=6:1
AX:XQ=1:2
BX:XR=7:2
CX:XP=8:1

■例題2の詳しい解答■

中学数学の平行線の性質（相似図形）で解く方法

(1) AX:XQを求めよ
QからCPに平行な直線を引き，BPとの交点をSとおくと
BS:SP=BQ:QC=1:2
AX:XQ=AP:PS=1:2…（答）

(2) CX:XPを求めよ
PからXQに平行な直線を引き，BQとの交点をTとおくと
BT:TQ=BP:PA=3:1
BQの縮尺を1→4に4倍しているから，QCも4倍すると
TQ:QC=1:8
CX:XP=CQ:QT=8:1…（答）

(3) CR:RAを求めよ
QからBRに平行な直線を引き，CRとの交点をUとおくと
AR:RU=AX:XQ=1:2
RU:UC=BQ:QC=1:2
RUを2にそろえると
AR:RU:UC=1:2:4
CR:RA=6:1…（答）

(4) BX:XRを求めよ
RからXPに平行な直線を引き，APとの交点をVとおくと
AV:VP=AR:RC=1:6
APの縮尺を1→7に7倍しているから，PBも7倍すると
AV:VP:PB=1:6:21
BX:XR=BP:PV=21:6=7:2…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Aのチェバの定理，メネラウスの定理で解く方法

(1) CR:RAを求めよ
　チェバの定理から，
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
$\frac{CR}{RA}=\frac{6}{1}$
ゆえに，CR:RA=6:1…（答）
(2) BX:XRを求めよ

△ABRに直線PXCが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BX}{XR}\cdot\frac{RC}{CA}=1$
が成り立つから
$\frac{1}{3}\cdot\frac{BX}{XR}\cdot\frac{6}{7}=1$
$\frac{BX}{XR}=\frac{7}{2}$
ゆえに，BX:XR=7:2…（答）

(3) AX:XQを求めよ

△ABQに直線PXCが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QX}{XA}=1$
が成り立つから
$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{QX}{XA}=1$
$\frac{QX}{XA}=\frac{2}{1}$
ゆえに，AX:XQ=1:2…（答）
(4) CX:XPを求めよ

△APCに直線BXRが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると
$\frac{AB}{BP}\cdot\frac{PX}{XC}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
が成り立つから
$\frac{4}{3}\cdot\frac{PX}{XC}\cdot\frac{6}{1}=1$
$\frac{PX}{XC}=\frac{1}{8}$
ゆえに，CX:XP=8:1…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Bのベクトルで内分比を２段階に分けて使う方法

　 $\Delta ABC$ の頂点の位置ベクトルを各々 $A(\vec{a}),\hspace{2}B(\vec{b}),\hspace{2}C(\vec{c})$ とするとき，
$\vec{OX}=\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}$
$(p\gt 0,\hspace{2}q\gt 0,\hspace{2}r\gt 0)$ …(1)
となる点 $X$ は $\Delta ABC$ の内部の１点を表す．（逆も言える）
$\vec{OX}=\frac{(p+ q)\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}}{p+ q}+ r\vec{c}}{(p+ q)+ r}$
と変形すると，問題よりp:q=3:1
また
$\vec{OX}=\frac{p\vec{a}+(q+ r)\frac{q\vec{b}+ r\vec{c}}{q+ r}}{p+(q+ r)}$
と変形すると，問題よりq:r=2:1
qを2にそろえると，p:q:r=6:2:1
$\vec{OX}=\frac{6\vec{a}+ 2\vec{b}+ \vec{c}}{6+ 2+ 1}$ …(*)

CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．
$\vec{OX}=\frac{(6+ 1)\frac{6\vec{a}+ \vec{c}}{6+ 1}+ 2\vec{b}}{(6+ 1)+ 2}$
と変形できるから，Xは「ACを1：6に内分する点R」と「B」を2:7に内分する．
したがって，CR:RA=6:1, BX:XR=7:2…（答）
$\vec{OX}=\frac{6\vec{a}+(2+ 1)\frac{2\vec{b}+ \vec{c}}{2+ 1}}{6+(2+ 1)}$
と変形できるから，Xは「BCを1：2に内分する点Q」と「A」を6:3に内分する．
したがって，AX:XQ=1:2…（答）
$\vec{OX}=\frac{(6+ 2)\frac{6\vec{a}+ 2\vec{b}}{6+ 2}+ \vec{c}}{(6+ 2)+ 1}$
と変形できるから，Xは「ABを1：3に内分する点P」と「C」を1:8に内分する．
したがって，CX:XP=8:1…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Bのベクトルで2直線の交点を求める方法

　右図において原点をBにとった位置ベクトルを用いて，CPとAQの交点Xを求める．
BからPを通ってXに行くには
$\vec{BX}=\vec{BP}+ s\vec{PC}$
$=\frac{3}{4}\vec{a}+ s(\vec{c}-\frac{3}{4}\vec{a})$
$=\frac{3}{4}(1-s)\vec{a}+ s\vec{c}$ …(1)
BからQを通ってXに行くには
$\vec{BX}=\vec{BQ}+ t\vec{QA}$
$=\frac{1}{3}\vec{c}+ t(\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{c})$
$=t\vec{a}+\frac{1}{3}(1-t)\vec{c}$ …(2)
2直線の交点Xは(1)(2)の両方を満たすから
$\frac{3}{4}(1-s)\vec{a}+ s\vec{c}=t\vec{a}+\frac{1}{3}(1-t)\vec{c}$ …(3)
(3)において， $\vec{a},\hspace{2}\vec{c}$ は三角形の２辺に対応しているから，平行でなく零ベクトルでもないから

$\frac{3}{4}(1-s)=t$
$s=\frac{1}{3}(1-t)$
この連立方程式を解くと
$s=\frac{1}{9},\hspace{2}t=\frac{2}{3}$
これらを(1)または(2)に戻すと
$\vec{BX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{c}$

CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．
sはPX/PCの比を表すから，CX:XP=8:1…（答）
tはQX/QAの比を表すから，AX:XQ=1:2…（答）
$\vec{BX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{c}=\frac{7}{9}\frac{6\vec{a}+\vec{c}}{7}$
と変形できるから
Xは「CAを6:1に内分する点R」と「B」を2:7に内分する点
CR:RA=6:1…（答）
BX:XR=7:2…（答）

【例題３】
　△ABCにおいて，BCを3:4に内分する点をQ，CAを2:5に内分する点をRとし，AQとBRの交点をXとする．さらに，CXの延長がABと交わる点をPとする．
　このとき，AP:PB, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=10:3
AX:XQ=35:6
BX:XR=21:20
CX:XP=26:15

【例題４】
　△ABCにおいて，BCを2:3に内分する点をQ，AQを2:1に内分する点をXとし，BXの延長とCAの交点をR，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=6:5
CR:RA=5:4
BX:XR=3:2
CX:XP=11:4

【例題５】
　△ABCにおいて，ACを4:3に内分する点をR，BRを5:2に内分する点をXとし，AXの延長とBCの交点をQ，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, BQ:QC, AX:XQ, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=14:15
BQ:QC=10:7
AX:XQ=34:15
CX:XP=29:20

【一般に(1)】
　△ABCにおいて，ABをk:lに内分する点をP，CAをm:nに内分する点をRとし，AQとBRの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので，共通因数があれば割って答えるものとする．

これは「覚えるような公式ではない！」
必要になってから「作る」のが秘訣

BQ:QC=ln:km
AX:XQ=km+ln:lm
BX:XR=l(m+n):km
CX:XP=(k+l)m:ln

各自で確かめるとよいが，ここでは内分点の公式を２段階に使う方法で解説する．
求めるベクトルを
$\vec{OX}=\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{(p+ q)\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}}{p+ q}+ r\vec{c}}{(p+ q)+ r}$
とおくと
p:q=l:k…(1)
$\vec{OX}=\frac{p\vec{a}+ q\vec{b}+ r\vec{c}}{p+ q+ r}=\frac{(p+ r)\frac{p\vec{a}+ r\vec{c}}{p+ r}+ q\vec{b}}{(p+ r)+ q}$
とおくと
p:r=m:n…(2)
(1)(2)から
p:q:r=lm:km:ln…(*)
したがって
$\vec{OX}=\frac{lm\vec{a}+ km\vec{b}+ ln\vec{c}}{lm+ km+ ln}$
$=\frac{(lm+ km)\frac{lm\vec{a}+ km\vec{b}}{lm+ km}+ ln\vec{c}}{(lm+ km)+ ln}$
により，CX:XP=(k+l)m:ln
$\vec{OX}=\frac{(lm+ ln)\frac{lm\vec{a}+ ln\vec{c}}{lm+ ln}+ km\vec{b}}{(lm+ ln)+ km}$
により，BX:XR=lm+ln:km
$\vec{OX}=\frac{(km+ ln)\frac{km\vec{b}+ ln\vec{c}}{km+ ln}+ lm\vec{a}}{(km+ ln)+ lm}$
により，AX:XQ=km+ln:lm
また，BQ:QC=ln:km

【一般に(2)】
　△ABCにおいて，BCをk:lに内分する点をQ，AQをm:nに内分する点をXとし，BXの延長とCAの交点をR，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので，共通因数があれば割って答えるものとする．

これは「覚えるような公式ではない！」
必要になってから「作る」のが秘訣

AP:PB=lm:(k+l)n
CR:RA=(k+l)n:km
BX:XR=(k+l)n+km:lm
CX:XP=(k+l)n+lm:km

各自で確かめるとよいが，ここではメネラウスの定理，チェバの定理を使って解説する．
△ABQに直線PCが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると
$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{k+ l}{l}\cdot\frac{n}{m}=1$
$\frac{AP}{PB}=\frac{lm}{(k+ l)n}$
$AP:PB=lm:(k+ l)n$
△ABCにチェバの定理を適用すると
$\frac{lm}{(k+ l)n}\cdot\frac{k}{l}\cdot\frac{CR}{RA}=1$
$\frac{CR}{RA}=\frac{(k+ l)n}{km}$
$CR:RA=(k+ l)n:km$
△ABRに直線PCが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると
$\frac{lm}{(k+ l)n}\cdot\frac{BX}{XR}\cdot\frac{(k+ l)n}{(k+ l)n+ km}=1$
$\frac{BX}{XR}=\frac{(k+ l)n+ km}{lm}$
$BX:XR=(k+ l)n+ km:lm$
△APCに直線BRが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると
$\frac{lm+ (k+ l)n}{(k+ l)n}\cdot\frac{PX}{XC}\cdot\frac{(k+ l)n}{km}=1$
$\frac{PX}{XC}=\frac{km}{lm+ (k+ l)n}$
$PX:XC=km:lm+ (k+ l)n$

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点(３通り)について／18.7.15］

【要点３：直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】において、OCベクトルを2/5aベクトルと書かれてますが、3/5aベクトルの間違いかと思われます。ご確認おねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いかん，いかん，得意の計算間違いでしたので，訂正しました．（こんな調子で，ん十年勤まったとは，どんなゆるい職場？）