※この頁では，一番よく登場する文字xで説明しますが，他の文字a, b, yなどが登場する場合でも同様です．

• 例えば，x=1のとき，(1)式は
2+3=5
を表しており，x=1のとき，(1)式は成り立ちます．

• また，x=2のとき，(1)式は
4+6=10
を表しており，x=2のときも，(1)式は成り立ちます．

• さらに，x=−3のとき，(1)式は
−6+(−9)=−15
を表しており，x=−3のときも，(1)式は成り立ちます．

• 例えば，x=−1のとき，(2)式は
2(−1+3)=4=−2+6
を表しており，x=−1のとき，(2)式は成り立ちます．

• また，x=4のとき，(2)式は
2(4+3)=14=8+6
を表しており，x=4のとき，(2)式は成り立ちます．

• さらに，x=5のとき，(2)式は
2(5+3)=16=10+6
を表しており，x=5のとき，(2)式は成り立ちます．

同類項の係数を集めたり，かっこを外したりするような，
文字xの値がどんな値であってもその等号は成り立ちます．

• 例えば，x=1のとき，(3)式は
左辺は1+3，右辺は8
なので，等号は成り立ちません．
• 同様にして，x=2, 3, 4のとき，(3)式はそれぞれ
左辺は2+3，右辺は8
左辺は3+3，右辺は8
左辺は4+3，右辺は8
なので，等号は成り立ちません．

• ところが，x=5のとき，(3)式は
左辺は5+3，右辺は8
となって，等号が成り立ちます．

※x=5以外のどんなxの値を持ってきても，この等号が成り立つことはありません．

　ところで，ここで行った代入の方法を振り返ってみると，方程式が成り立つようなxの値を求めるための「原始的な」方法を思い付きます．すなわち，「総当たりで値を代入」して行って，「まぐれ当たり」をねらう方法です．

表１

	単なる文字の等式	方程式
例	2x+3x=5x …(1) 2(x+3)=2x+6 …(2)	x+3=8 …(3) 3x=4 …(4)
特徴	xがどんな値であっても等号が成り立つ	特定のxの値に対してだけ等号が成り立ち，他のxの値では成り立たない

　このようにして，どうしても分からないときは，まぐれ当たりをねらって，総当たりで調べる方法でもxの値は求まることがあります．ただし，総当たりで調べる方法は最後の切り札として使うことはありますが，中学生が普通に問題を解くときは，この方法はお薦めできません．
　中学校１年生では，「移項や割り算を使って方程式を解く」方法を必ず身に付けてください．

（≪総当たりで≫xに値を代入する方法の短所）
• 「かっこが悪い」「能率が悪い」です．
• 例(4)のようにxの値が分数になるときは，x=1,2,3,4,...とどこまで調べても，答にたどりつかないことがあります．

（答が出てから≪検算として１つの値だけ≫をxに代入する方法の長所）
• 検算は，問題を解く経過とは別ルートで行う方がよく，その別ルートが代入です
• 代入は，簡単で確実な計算です
• 答が出てから検算するときは，「調べるのは１つだけ」なので，能率がよい

• x=のとき，
左辺は3×，右辺は4

になって(4)式は成り立ちます．他のxの値では成り立ちません．

【文字の等式と方程式】（まとめ）
○　単なる文字の等式(*)も方程式も同じ等号（= イコール）を使いますので，使われている記号だけでは見分けがつきません．

単なるxの文字の等式	xの方程式
xがどんな値であっても等号が成り立ちます．	ある特定のxに対してだけ成り立ちます．
単なる文字の等式を，方程式だと思って解こうとすると「xはどんな値でもよい」という結果になります． ≪例≫ x+2x=3x → 0x=0 → xはどんな値でもよい	中学校１年生で登場するxの方程式を解くと，xの値はただ１つに決まります．（中学校３年生では，xの値が２つあるような方程式も登場します） ≪例≫ x+2x=12 → 3x=12 → x=4
係数を集めて簡単にしたり，かっこをはずすような変形によって，左辺から右辺ができます．	xに値を代入しない限り，左辺を変形しても右辺にはなりません．

○　方程式を満たすxの値を求めることを，「方程式を解く」といいます．

※以下の問題では，正しい選択肢をクリックしてください．
解答すれば，採点結果が表示され，HELPが選べて解答も出ます．

［問題１］
次の等式のうちで，左辺を変形していけば右辺になるものを選んでください．

(1)2x+3=x−5 (2)2(x−1)=x+5 (3)(3x+1)+(−x+2)=2x+3 (4)5x−2x=3x+1

解説

(3)は左辺の文字の項，数字の項をそれぞれ簡単にすると右辺になります．他は，左辺を変形しても右辺にはなりません．
(3)はどんなxの値に対しても成り立つ単なる文字の等式（高校の用語でいえば恒等式）で，(1)(2)(4)は特定のxの値に対してだけ成り立つ方程式です．
［実際には(4)はさらに「解なし」=「どんなxを持ってきても成り立たない式」ですが，この事情は解答する上で支障にならないでしょう．=左辺を変形しても右辺にならない事情は同じ］

［問題２］
次の等式のうちで，方程式（特定のxの値に対してだけ成り立ち，それ以外の値に対しては成り立たないもの）を選んでください．

(1)3(x+1)−2=3x+1 (2)2x+3=x−3 (3)2(3x+1)=6x+2 (4)2x+3x=5x

解説

(2)式以外の式は左辺を変形すると右辺になり，どんなxの値に対しても成り立ちます．
これに対して(2)は左辺を変形しても右辺にはならず，xに−6を代入したときだけ等しくなります．
(1)(3)(4)はどんなxの値に対しても成り立つ単なる文字の等式（高校の用語でいえば恒等式）で，(2)は特定のxの値に対してだけ成り立つ方程式です．

方程式
3x−1=x+5
から（正しい変形をして）
x=3
のように変形することを，方程式を解くといいます．（得られた結果を方程式の解といいます）

(1)両辺に同じ数や同じ式を足してもよい．

方程式
x−3=2
の両辺に3を足すと
x−3+3=2+3
ここで−3+3=0, 2+3=5だから
x=5
となって，方程式が解けます

方程式
−x=−2x+4
の両辺に2xを足すと
−x+2x=−2x+2x+4
ここで−x+2x=x, −2x+2x=0だから
x=4
となって，方程式が解けます

（元の方程式）x−3=2
x=2−3
x=−1

（元の方程式）−x=−2x+4
−x+x=−2+4
0x=2
???

［問題３］
次の方程式を解いてください．
x−5=3

(1)x=−2 (2)x=2 (3)x=−8 (4)x=8

解説

x−5+5=3+5
x+0=3+5
x=8
と変形して(4)が答になります．

［問題４］
次の方程式を解いてください．
−3x=−4x+2

(1)x=−2 (2)x=−1 (3)x=1 (4)x=2

解説

−3x+4x=−4x+4x+2
x=0+2
x=2
と変形して(4)が答になります．

(2)両辺から同じ数や同じ式を引いてもよい．

方程式
x+5=9
の両辺から5を引くと
x+5−5=9−5
ここで+5−5=0, 9−5=4だから
x=4
となって，方程式が解けます

方程式
3x=2x+6
の両辺から2xを引くと
3x−2x=2x−2x+6
ここで3x−2x=x, 2x−2x=0だから
x=6
となって，方程式が解けます

（元の方程式）x+5=9
x=9+5
x=14

　2xは2×xです．このうちの2だけとかxだけを足したり引いたりすることは,できません．
　横断歩道=を渡るときは，
係数と文字とが離れ離れにならないように，しっかりと手をつなごう．

［問題５］
次の方程式を解いてください．
x−3=−4

(1)x=−7 (2)x=−1 (3)x=1 (4)x=7

解説

x−3+3=−4+3
x+0=−1
x=−1
と変形して(2)が答になります．

［問題６］
次の方程式を解いてください．
4x=3x−3

(1)x=−3 (2)x=−2 (3)x=2 (4)x=0

解説

4x−3x=3x−3x−3
x=0−3
x=−3
と変形して(1)が答になります．

(3)両辺に同じ数を掛けてもよい．
（正確に言えば，同じ式も掛けてもよいが，中学校１年では分母に文字式が来ることはないので，両辺に同じ文字式を掛けなければならないことは起りません．）

方程式
=2
の両辺に3を掛けると
×3=2×3
ここで左辺の分母と分子（横にあるのは上にあるのと同じ）
×=2×3
の3は約分で消えるから
x=6
となって，方程式が解けます

（元の方程式）=2
x=

（元の方程式）=2
x=2+3
x=5
（この問題の場合は，正しくはx=−6になります）

［問題７］
次の方程式を解いてください．
=6

(1)x=3(2)x= (3)x=8 (4)x=12

解説

×2=6×2
x=12
と変形して(4)が答になります．

［問題８］
次の方程式を解いてください．
=12

(1)x=−24 (2)x=−12 (3)x=−6 (4)x=8 (5)x=10 (6)x=14

解説

×(−2)=12×(−2)
x=−24
と変形して(1)が答になります．

(4)両辺を同じ数で割ってもよい．（ただし，0で割ることを除く）
（正確に言えば，同じ式で割ってもよいが，中学校１年では両辺を同じ文字式で割らなければならないことは起りません．）

方程式
3x=2
の両辺を3で割る（を掛ける）と
3x×=2×
ここで左辺の分母と分子の3は約分で消えるから（横にあるのは上にあるのと同じ）
×=2×
x=
となって，方程式が解けます

方程式
=
の両辺にを掛けると
×=×
ここで左辺の分母と分子の3, 2は約分で消えるから
x=
となって，方程式が解けます

［問題９］
次の方程式を解いてください．
4x=−20

(1)x=−80 (2)x=−24 (3)x=−5 (4)x=5


解説

4x×=−20×
ここで，左辺の分母と分子の4は約分で消えるから（横にあるのは上にあるのと同じ）
×=−20×
x=−5
と変形して(3)が答になります．

［問題10］
次の方程式を解いてください．
x=

(1)x= (2)x=
(3)x= (4)x=


解説

x×=×
ここで，左辺の分母と分子の3, 4は約分で消えるから
x=
と変形して(3)が答になります．

(1)と(2)
◎　どちらの場合でも，定数項−aまたは+aは， 「符号を変えて他方の辺に動かしてよい」 ということになります．（符号を変えて他方の辺に移動させることを「移項」といいます．）
【例】
x−3=2 → x=2+3
x+3=2 → x=2−3

(3)と(4)

【例１】
方程式2x−5=4x+7を解いてください．

文字xと定数項とが左辺と右辺の両方にあるときは，「移項」によって
⇒　文字の部分を左辺に集め，定数項を右辺に集めます．

(3)で説明した「係数を掛ける」話と，(4)で説明した「係数で割る」話は，「逆数を掛ける」とまとめることができます

答が出たら「ゆだん」してしまうのが普通の生徒の甘さ⇒「検算」を忘れないようにしましょう．
2×(−6)−5→−17←4×(−6)+7
だからＯＫ〜♪

【例２】
方程式5(x+3)=3(x−1)を解いてください．

かっこ（　　）があるときは，はじめにかっこ（　　　）をはずすと分かりやすくなります

「検算」をします
5(−9+3) → −30 ← 3(−9−1)
だからＯＫ〜♪

【例３】
方程式=を解いてください．

分数をいつまでも引きずっていると計算間違いが起りやすいので，「分数があれば，はじめに分母を払う」と決めるとよい

「検算」をします
→ 5 ←
だからＯＫ〜♪

【例４】
方程式x+5=−3を解いてください．

　分数をいつまでも引きずっていると計算間違いが起りやすいので，「分数があれば，はじめに分母を払う」と決めるとよい

「検算」をします
（左辺）=×(−)+5=−+5=−
（右辺）=×(−)−3=−−3=−
だからＯＫ〜♪

［問題11］
次の方程式を解いてください．
5x+3=2x−9

(1)x=−12 (2)x=−4 (3)x=6 (4)x=9


解説

3を右辺に2xを左辺に移項します
5x−2x=−9−3
3x=−12
両辺にxの係数3の逆数を掛けます
3 x×=−12×
x=−4
と変形して(2)が答になります．

［問題12］
次の方程式を解いてください．
4(2x+1)=5(x−1)

(1)x=−3 (2)x=−2 (3)x=2 (4)x=3


解説

はじめに，かっこ（　　）をはずします
8x+4=5x−5
文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます
8x−5x=−5−4
3x=−9
両辺にxの係数3の逆数を掛けます
3 x×=−9×
x=−3
と変形して(1)が答になります．

［問題13］
次の方程式を解いてください．
=

(1)x=−3 (2)x=−2 (3)x=2 (4)x=3


解説

はじめに，分母を払います．左辺の分母が3で，右辺の分母が2だから，それらの「最小公倍数」の6を掛けます
×6=×6
2(x+3)=3(x+1)
かっこ（　　）を外します
2x+6=3x+3
文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます
2x−3x=3−6
−x=−3
両辺にxの係数−1の逆数=−1を掛けます
−x×(−1)=−3×(−1)
x=3
と変形して(4)が答になります．

［問題14］
次の方程式を解いてください．
+2=3−

(1)x=− (2)x=
(3)x=− (4)x=


解説

はじめに，分母を払います．左辺の分母が4で，右辺の分母が6だから，それらの「最小公倍数」の12を掛けます（「最小公倍数」に自信がない場合は，やむを得ず「分母の積」24を掛けてもできますが，その場合は数字が大きくなります）
(+2)×12=(3−)×12
かっこ（　　）を外します
3x+24=36−2x
文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます
3x+2x=36−24
5x=12
両辺にxの係数5の逆数を掛けます
5x×=12×
x=
と変形して(2)が答になります．