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== 指数関数,対数関数の不定積分 ==
指数関数,対数関数の積分の多くは置換積分,部分積分の応用問題として登場するが,この頁では置換積分や部分積分を使わなくても(まだ習っていなくても)できる簡単な問題だけを扱う.
≪公式≫
■指数関数の不定積分
exdx=ex+C …(1)
e=2.71828...は自然対数の底)
ekxdx=ekx+C …(1’)
axdx=+C (a>0, a≠1) …(2)
■対数関数の不定積分
logx dx=x logx−x+C …(3)
底が省略されているとき,対数の底はe.このような自然対数を表すためにln xという記号もよく使われる. (natural logarithm)
≪公式の証明≫
(1)←
(ex)=exexdx=ex+C
(1’)←
(ekx)=kekx(ekx)=ekx
ekxdx=ekx+C
(2)←
ax=exlogaだから,(1’)により
axdx=exlogadx=exloga+C=+C
(3)←
(x logx−x)=logx+x −1=logx+1−1=logx
logxdx=x logx−x+C

※通常(3)は部分積分によって証明されるが,ここでは部分積分を使わずに微分←→積分の関係だけで示した.

1.e3xdx=e3x+C ←(1’)
2.2xdx=+C ←(2)
3.log3x dx=(log3+logx)dx
=x log3+x logx−x+C
←(3)
=x(log3+logx)−x+C=x log3x−x+C


問題次の積分を求めよ.
初めに,上の欄から問題を選び,続いて下の選択肢から答を選びなさい.
選択肢










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