■指数関数,対数関数の不定積分 (個別に置換積分,部分積分を要しない問題だけ)携帯版
≪公式≫
■指数関数の不定積分
exdx=ex+C …(1)
e=2.71828...は自然対数の底)
ekxdx=ekx+C …(1’)
axdx=+C (a>0, a≠1) …(2)
■対数関数の不定積分
log x dx=x log x−x+C …(3)
底が省略されているとき,対数の底はe.このような自然対数を表すためにln xという記号もよく使われる. (natural logarithm)
≪公式の証明≫
(1)←
(ex)=exexdx=ex+C
(1’)←
(ekx)=kekx(ekx)=ekx
ekxdx=ekx+C
(2)←
ax=exlog aだから,(1’)により
axdx=exlog adx=exlog a+C=+C
(3)←
(x log x−x)=log x+x −1=log x+1−1=log x
log xdx=x log x−x+C

※通常(3)は部分積分によって証明されるが,ここでは部分積分を使わずに微分←→積分の関係だけで示した.

1.e3xdx=e3x+C ←(1’)
2.2xdx=+C ←(2)
3.log 3x dx=(log 3+log x)dx
=x log 3+x log x−x+C
←(3)
=x(log 3+log x)−x+C=x log 3x−x+C





指数関数,対数関数の積分の多くは置換積分,部分積分の応用問題として登場するが,この頁では置換積分や部分積分を使わなくても(まだ習っていなくても)できる簡単な問題だけを扱う.
問題次の積分を求めよ.
初めに,左欄から問題を選び,続いて右欄の選択肢から答を選びなさい.
選択肢










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