行列の積

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※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

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≪行列の積の定義≫
［行ベクトルと列ベクトルの内積］
●行と列の掛け方
内積については，左からは行ベクトルを
右からは列ベクトルを掛けるものとします。
（左右を逆にしたものは定義されません。）

●要素数
行ベクトルの要素の個数(列数)と
列ベクトルの要素の個数(行数)が
等しいときに，行と列の内積が定義されます。

内積が定義できるものの例

内積が定義できないものの例

［行列の積］
●［ｍ×ｎ型］［ｎ×ｐ型］＝［ｍ×ｐ型］
積が定義されるためには，左の列数と右の行数が等しくなければなりません。

結果は，［ｍ×ｐ型］となります。…(*1)
●成分は，成分は，i行とｊ列の積がｉ行ｊ列成分となります。…(*2)

(*2)の図解

(*2)の具体例
1行と1列の積が１行１列成分：(1,1)成分になります．
1行と2列の積が１行２列成分：(1,2)成分になります．
1行と3列の積が１行３列成分：(1,3)成分になります．

2行と1列の積が２行１列成分：(2,1)成分になります．
2行と2列の積が２行２列成分：(2,2)成分になります．
2行と3列の積が２行３列成分：(2,3)成分になります．

3行と1列の積が３行１列成分：(3,1)成分になります．
3行と2列の積が３行２列成分：(3,2)成分になります．
3行と3列の積が３行３列成分：(3,3)成分になります．

【ここまでの要約】
　(*2)　「行と列の積」が「行列の各要素」になる．
　(*1)　できた行列の型は「しりとり」

例
次の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，２×３行列 Ａ＝

に対して，右から掛けることができるものは，Ｂ₇，Ｂ₈，Ｂ₉で（行数が３のものです。），積は各々２×１型，２×２型，２×３型になります。

　また，２×３行列

Ａ＝

に対して，左から掛けることのできるものは，Ｂ₂，Ｂ₅，Ｂ₈で（列数が２のものです。）す，積は各々１×３型，２×３型，３×３型になります。

Ｂ₁=,Ｂ₂=,Ｂ₃=

Ｂ₄=,Ｂ₅=,Ｂ₆=

Ｂ₇=,Ｂ₈=,
Ｂ₉=

［問題］
１
次の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，３×２行列 Ｃ＝

に対して，右から掛けることができるものを選びなさい。（チェックを付けなさい。） Cは3行2列の行列だから，これに右から掛けることのできるものは，2行？列の行列になります． ⇒ B₄，B₅，B₆の3個にチェックをつければ正解

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２
次の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，３×２行列 Ｃ＝

に対して，左から掛けることができるものを選びなさい。（チェックを付けなさい。） Cは3行2列の行列だから，これに左から掛けることのできるものは，?行3列の行列になります． ⇒ B₃，B₆，B₉の3個にチェックをつければ正解

→閉じる←

[積の計算]
例

［問題］

３

４
各々正しいものを選んでください．

(1)行列の積

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ は
1×2行列 2×2行列 2×1行列
解説
になり，その (2,1) 成分は
−1 −2 −3 1 2 3
解説になる．

2×2行列と 2×1行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×1行列になります

左の行列の２行目 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ と右の行列の１列目 $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を掛けると $6-4=2$

(2)行列の積

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ は
3×2行列 2×2行列 3×3行列
解説
になり，その (1,2) 成分は
3 4 5 6 7 8
解説になる．

2×3行列と 3×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×2行列になります

左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $1 + 0 + 6=7$

(3)行列の積

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix}$ は
3×2行列 2×2行列 3×3行列
解説
になり，その (2,1) 成分は
−3 −2 −1 0 1 2
解説になる．

3×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと3×3行列になります

左の行列の2行目 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \end{pmatrix}$ と右の行列の1列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $2 + 0 =2$

(4)行列の積

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ は
1×2行列 2×2行列 2×1行列
解説
になり，その (1,2) 成分は
−7 −6 −5 5 6 7
解説になる．

1×2行列と 2×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと1×2行列になります

左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ を掛けると $1-8=-7$

(5)行列の積

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ は
1×2行列 1×3行列 2×1行列

2×1行列 2×3行列解説
になり，その (1,2) 成分は
2 3 4 5 6 7
解説になる．

1×2行列と 2×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組と組を落としていくと1×3行列になります

左端の行列と中の行列を掛けて，できた行列に右端の行列を右から掛けると
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -12 & 7 & -18 \end{pmatrix}$

だから (1,2)　成分は7になります

（参考）Excelで行列の積を確かめる方法

○1
　行ベクトルと行ベクトル，または，列ベクトルと列ベクトルの（内）積を求めるには =SUMPRODUCT() を使う
（SUM+PRUDUCT：積の和ということか）

【例１】
$\vec{a}=(1,2,3),\vec{b}=(4,5,6)$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めるには，右図のようにA1::C3の範囲にデータを入力しておいて
=SUMPRODUCT(A1:C1,A2:C2)
とするとよい．これにより，積1×4, 2×5, 3×6の和
4+10+18=32
が求められる．
【例２】
同様にして，２つの列ベクトル $\vec{c}=\Big(\begin{matrix}1 \\ 4 \end{matrix}\Big),\vec{d}=\Big(\begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix}\Big)$ の内積 $\vec{c}\cdot \vec{d}$ を求めるには，右図のようにA1::B2の範囲にデータを入力しておいて
=SUMPRODUCT(A1:A2,B1:B2)
とするとよい．これにより，積1×2, 4×5の和
2+20=22
が求められる．
　このようにExcelにおいては，=SUMPRODUCT()は「行と行」「列と列」の内積を求めるのに使う．

○2
　行ベクトルと列ベクトル，もっと一般的に行列の積を求めるには =MMULT()を使う
（Matrix+MULT：行列の積ということか）

【例３】
行ベクトル $\vec{a}=(1,2,3)$ と列ベクトル $\vec{p}=\Big(\begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\Big)$ の積を求めるには，右図のようにデータを入力しておいて
=MMULT(A1:C1,D1:D3)
とするとよい．これにより，積1×4, 2×5, 3×6の和
4+10+18=32
が求められる．
【例３】
２×３行列 $A=\Big(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}\Big)$ と３×２行列 $B=\Big(\begin{matrix}4 & 3 \\ 5 & 1 \\ 6 & 2 \end{matrix}\Big)$ の積を求めるには

［2×3型］×［3×2型］の積はしりとりで［2×2型］になる

例えばF4のセルから右2×下2の範囲で結果を表したいとき

(1) はじめに，F4のセルに =MMULT(A1:C2,D1:E3) と書きこみます．

※このように書きこんでも，F2に(1,1)成分の１つの数しか得られないことに注意．他の計算でよくやるようにコピー＆ペーストやドラッグをしても残りの3個のセルには値が入らない．
次のようにして，２×２型の配列にするところが重要

(2) F4からG5までの［2×2型］の範囲を反転表示しておいて，画面上にある数式ウィンドウにマウスを当てながらCtrl+Shift+Enterとします．（CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押します）
これにより２×2行列 $AB=\Big(\begin{matrix}32 & 11 \\ 16 & 4\end{matrix}\Big)$ が得られます．

　このように「横向きの並び」に対して「縦向きの並び」のものを順に対応させて，掛けてから足すときは =MMULT() を使う．

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.6.12］

昭和の初期に生まれた84歳の老人です。ふとしたことから行列、ベクトルに興味をもち、これまた偶然にこのサイトに出会いました。（もちろん高校時代に行列やベクトルなど教科書にありませんでした。）説明が非常にわかりやすく、よく理解できました。ありがとうございました。最後のページの行列の積の問題をやり全問正解だったとき自分で拍手をしてしまいました。これからも時間があったら少しずつ勉強してみようと思っております。よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材の管理人が行列を習ったのは今からほぼ半世紀前です．50歩100歩かも．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.3.21］

行　列　行　列　と頭の中で念仏の様に唱えながら解きました行は漢字に横の線があるから横　列は縦の漢字があるから縦とも覚えてみました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の内的なロジックで身に着いていくのだと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.1.22］

わかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.10.7］

すごく参考になります！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.9.26］

私は、行列について初心者でしたが、分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.3.3］

行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.2.8］

windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．原因となる箇所は特定できるのですが，区切り文字のスペースを入れるとエラーになる場合と，区切り文字のスペースを入れないとエラーになる場合があって，やってみないと分からないという感じです．(2)はスペースあり：エラー，なし：正常，(5)はなし：エラー，あり：正常とちょうど逆にすると直りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.1.12］

(5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このエラーが時々起こることは認識していましたが，今原因が特定できました（たぶん）．直っています．