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※中学校の数学で取り扱える三角形の面積について,このサイトには次の教材があります.
GoogleやYAHOO ! などから検索でこの頁に直接来たが前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください.  が現在地です.

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三角形の面積
(中学1年または3年,面積比も登場する)
三角形の等積変形
(中学2年の中点の座標,直線の方程式も使う)
三角形の面積の二等分線
(中学2年の中点の座標,直線の方程式も使う)
放物線と三角形の面積
(中学3年の放物線と直線の交点も使う)
放物線と三角形の面積2
(中学3年の放物線と直線の交点も使う)

== 放物線と三角形の面積 ==


【例題1】
 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとするとき,△AOBの面積を求めてください
(解答)
 はじめに,連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求めます.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)
 次に,直線y=x+2 …(2)
y軸との交点(切片)をPとしてPの座標を求めると,P(0, 2)

 右図のように△AOBy軸で2つに分けて,△AOP△BOPとする.

 各々の三角形の底辺をOP=2と考えると高さはA, Bx座標(の絶対値=符号を正にしたもの)だから,
△AOPの高さは1
△BOPの高さは2
三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2で求められるから
△AOPの面積は
=1
△BOPの面積は
=2
よって
△AOBの面積は3…(答)
【要点】
 三角形をy軸で2つに分けると
  • 切片の長さが底辺になる
  • A, Bx座標(の符号を正にしたもの)が高さになる
※なお,この方法がただ1つの正しい方法だということではない.解き方は幾つもあるが,この方法なら簡単に解けるということである

【問題1】正しい選択肢をクリックしてください
 放物線y=x2と直線y=−x+6の交点A(−3, 9), B(2, 4)と原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください.


【問題2】
 放物線y=x2と直線y=2x+3の2交点A, Bと原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください.


3 4 6 8 9 12


【例題2】
 放物線y=x2と直線y=x+6の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(1, 1)とするとき,△APBの面積を求めてください
(解答)
連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+6 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+6
x2−x−6=0
(x−3)(x+2)=0
x=3, −2
A(−2, 4), B(3, 9)
 次に,P(1, 1)からy軸に平行な直線をひき,ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)
y=x+6 …(4)
より,Q(1, 7)


△APB△APQ△BPQに分けると
PQ=7−1=6
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−2)=3
△BPQの高さは
3−1=2
△APQ, △BPQの面積は各々
=9=6
だから,△AOBの面積は9+6=15…(答)
【問題3】
  放物線y=x2と直線y=2x+3の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(2, 4)とするとき,△APBの面積を求めてください.


3 4 6 8 9 12
【問題4】
  放物線y=x2と直線y=x+4の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(−6, 18)とするとき,△APBの面積を求めてください.


【例題3】
 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(1, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください
(解答)
連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)
 次に,P(1, 0)からy軸に平行な直線をひき,ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)
y=x+2 …(4)
より,Q(1, 3)


△APB△APQ△BPQに分けると
PQ=3
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−1)=2
△BPQの高さは
1−1=1
△APQ, △BPQの面積は各々

だから,△AOBの面積は+=…(答)
【問題5】
  放物線y=x2と直線y=−2x+3の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(−1, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください.
6 7 8 9 10 11
【問題6】
  放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(3, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください.

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